Brownsche Bewegung: Erwarteter Wert gleichmäßiger Potenzen der Geschwindigkeitskorrelationsfunktion

Question

Brownsche Bewegung: Erwarteter Wert gleichmäßiger Potenzen der Geschwindigkeitskorrelationsfunktion

Physik
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Bella

Bei einem Brownschen Teilchen, das einer Reibung ausgesetzt ist $γ$ $γ$ $γ$ und ein weißes Gaußsches Rauschen $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ $ξ (t)$ mit Varianz $σ$ $σ$ $σ$ sind die Langevin-Gleichungen

{\begin{cases} \frac{d v (t)}{d t} = - - \frac{γ}{m} v (t) + \frac{1}{m} ξ (t) \\ \frac{d v (t)}{d t} = v (t) \end{cases}

Es ist möglich, diese Gleichungen zu lösen und vorausgesetzt $v (0) = 0$ $v (0) = 0$ $v (0) = 0$ , erhalten

{⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = \frac{G}{2 m γ} (1 - - e^{- - 2 \frac{γ}{m} t}),

wo $g$ $g$ $G$ kommt aus dem Delta-korrelierten Rauschen,

{⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{2}) ⟩}_{ξ} = G δ (t_{2} - - t_{1}) .

Frage: Was ich jetzt wissen möchte, ist, ob es möglich ist zu berechnen ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ , ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{6} (t) ⟩}_{ξ}$ , ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{8} (t) ⟩}_{ξ}$ , etc ..., von ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ . Ist es?

Ich weiß, dass wir die daraus resultierenden Integrale direkt mit dem Wickschen Theorem berechnen können, z. B. haben wir die folgende Identität, die zur Berechnung verwendet werden kann ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$

{⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{2}) ξ (t_{3}) ξ (t_{4}) ⟩}_{ξ} = {⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{2}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (t_{4}) ξ (t_{4}) ⟩}_{ξ} + {⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{3}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (t_{2}) ξ (t_{4}) ⟩}_{ξ} + {⟨ ξ (t_{1}) ξ (t_{4}) ⟩}_{ξ} {⟨ ξ (t_{2}) ξ (t_{3}) ⟩}_{ξ}

aber ich würde gerne wissen, ob wir den langen Weg der Berechnung all dieser Integrale vermeiden können, indem wir nur das Ergebnis für verwenden ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ}$ .

BEARBEITEN:

Ich habe die integrale "Brute Force" unter Verwendung des Wickschen Theorems berechnet ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ ${⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ}$ und erhalten

{⟨ v^{4} (t) ⟩}_{ξ} = 3 {(\frac{G}{2 m γ})}^{2} e^{- - \frac{4 γ}{m} t} {(e^{\frac{2 γ}{m} t} - - 1)}^{2}

Meine Berechnung ist lang und deshalb veröffentliche ich nur das Endergebnis. Ich weiß nicht, ob dies korrekt ist, aber wenn Sie es zufällig wissen oder wissen, welche Referenz zu überprüfen ist, können Sie mir bitte signalisieren, ob dieses Ergebnis korrekt ist? Ich wäre dankbar!

DanielSank

Wick's Theorem ist der richtige Weg. Sie können wahrscheinlich ein rekursives Muster finden, um Zeit zu sparen.

Bella

Vielen Dank, dass Sie @DanielSank. Ich würde es zwar gerne finden, aber in der Zwischenzeit habe ich versucht, es für die vierte Potenz brutal zu machen. Ich weiß nicht, ob mein Ergebnis korrekt ist. Haben Sie eine Möglichkeit zu überprüfen? Es wäre sehr hilfreich. Ich werde die Frage bearbeiten und mein Ergebnis veröffentlichen. Bitte geben Sie mir ein Feedback! :) :)

LonelyProf

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie Integrale erstellen müssen.

v (t)

v (t)

v (t)

wird nur als Gaußscher Wert mit dem Mittelwert Null verteilt, sodass der vierte Moment dreimal so groß ist wie der zweite Moment im Quadrat usw., wie Ihr Brute-Force-Ergebnis zeigt.

Antworten (1)

Brownsche Bewegung: Erwarteter Wert gleichmäßiger Potenzen der Geschwindigkeitskorrelationsfunktion

Wick's Theorem ist der richtige Weg. Sie können wahrscheinlich ein rekursives Muster finden, um Zeit zu sparen.
Vielen Dank, dass Sie @DanielSank. Ich würde es zwar gerne finden, aber in der Zwischenzeit habe ich versucht, es für die vierte Potenz brutal zu machen. Ich weiß nicht, ob mein Ergebnis korrekt ist. Haben Sie eine Möglichkeit zu überprüfen? Es wäre sehr hilfreich. Ich werde die Frage bearbeiten und mein Ergebnis veröffentlichen. Bitte geben Sie mir ein Feedback! :) :)
Ich bin mir nicht sicher, warum Sie Integrale erstellen müssen. $v (t)$ $v (t)$ $v (t)$ wird nur als Gaußscher Wert mit dem Mittelwert Null verteilt, sodass der vierte Moment dreimal so groß ist wie der zweite Moment im Quadrat usw., wie Ihr Brute-Force-Ergebnis zeigt.

LonelyProf · Answer 1

Ich hoffe, Sie entschuldigen mich, wenn Sie meinen Kommentar als Antwort kopieren. Die Langevin-Gleichung ist linear, daher impliziert die Gaußsche Natur der Zufallskraft dies $v (t)$ $v (t)$ $v (t)$ wird als Gaußscher verteilt. Daher ist bei einer Anfangsgeschwindigkeit von Null das vierte Moment dreimal so groß wie das Quadrat des zweiten Moments usw. Dies haben Sie bei der Berechnung Ihrer Brute Force festgestellt.

[Nach OP-Kommentar bearbeiten]

Mehr Details. Für eine Gauß-verteilte Variable werden alle Momente durch die ersten beiden bestimmt. Eine Tabelle finden Sie beispielsweise auf der Wikipedia-Seite im Abschnitt "Momente" (wo sie auch eine allgemeine Formel angeben). Für den Fall, dass die Verteilung den Mittelwert Null hat $⟨ v (t) ⟩ = 0$ $⟨ v (t) ⟩ = 0$ $⟨ v (t) ⟩ = 0$ Es gelten die Formeln in der rechten Spalte dieser Tabelle (zentrale Momente): if $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ $⟨ v (t)^{2} ⟩ = σ^{2}$ , dann $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ $⟨ v (t)^{4} ⟩ = 3 σ^{4}$ , $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = 15 σ^{6}$ $⟨ v (t)^{6} ⟩ = fünfzehn σ^{6}$ usw. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist, bedeutet dies, dass $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ $⟨ v (t) ⟩ = μ \neq 0$ gelten die Formeln in der mittleren Spalte: etwas komplizierter, aber bei weitem nicht so schlimm wie das tatsächliche Aufschreiben von Integralen über die Zufallskraft.

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, zu sagen, dass die Kumulanten höherer Ordnung der Gaußschen Verteilung Null sind (dh eine höhere Ordnung als der zweite Kumulant).

Danke! Ich fürchte, ich verstehe Ihre Argumentation nicht. Warum ist der vierte Moment dreimal so groß wie das Quadrat des zweiten Augenblicks? Und wie verallgemeinert sich dies für höhere Mächte?
Vielen Dank. Dann nur zur Verdeutlichung, da Sie das gleiche Symbol verwendet haben: Sie definieren ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ ${⟨ v^{2} (t) ⟩}_{ξ} = σ^{2}$ , aber das ist nicht dasselbe $σ$ $σ$ $σ$ für die Varianz der zufälligen Kraft, die ich oben definiert habe, richtig?
Tut mir leid, dass ich das nicht klargestellt habe. Ich habe nur benutzt $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ $σ^{2}$ (und $μ$ $μ$ $μ$ ), um mit der Tabelle auf der Wikipedia-Seite übereinzustimmen, und natürlich meinte ich die Varianz (und den Mittelwert) der Variablen $v (t)$ $v (t)$ $v (t)$ . Ich hätte sagen sollen, dass dies nicht der Parameter ist, der mit der Verteilung der zufälligen Kraft verbunden ist.

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