Wie wird die Dissipationsfunktion des Fluktuationssatzes zur Entropie?

Question

Wie wird die Dissipationsfunktion des Fluktuationssatzes zur Entropie?

Physik
Entropie
Statistische-mechanik
Fluktuation-dissipation

aidan.plenert.macdonald

In "The Fluctuation Theorem" von Evans and Searles leiten sie den Satz der transienten Fluktuation aus dem Satz von Liouville ab (S. 1541). Nach ihrer Notation $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ Verwenden sie Liouvilles Theorem und die Kontinuitätsgleichung, um daraus zu schließen

\begin{aligned} \frac{d f}{d t} & = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{d f}{d Γ} \cdot \dot{Γ} \\ 0 & = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{d}{d Γ} \cdot (f \dot{Γ}) \\ ∴ \frac{d f}{d t} & = - f \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ} . \end{aligned}

Sie definieren dann $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ und leiten Sie den Fluktuationssatz her, der die Dissipationsfunktion definiert als

\begin{aligned} Ω_{t} t & = \int_{0}^{t} Ω (Γ (s)) d s \equiv \ln [\frac{f (Γ (0), 0)}{f (Γ (t), 0)}] - \int_{0}^{t} Λ (Γ (s)) d s . \end{aligned}

Wikipedia definiert,

\begin{aligned} Ω_{t} (Γ) = \int_{0}^{t} d s Ω (Γ; s) \equiv \ln [\frac{f (Γ (0), 0)}{f (Γ (t), 0)}] + \frac{Δ Q. (Γ; t)}{k T} . \end{aligned}

Welche Magie erlaubt diesen Sprung? Warum fehlt Wikipedia der Faktor $t$ $t$ $t$ vor?

Eine Sache, die mir aufgefallen ist, ist die für nicht konservative Systeme

\begin{aligned} {\dot{q}}_{ich} = \frac{\partial H}{\partial p_{ich}} + F_{q} & ; {\dot{p}}_{ich} = - \frac{\partial H}{\partial q_{ich}} + F_{p} \end{aligned}

\begin{aligned} Λ (Γ (s)) & = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ} = \sum_{ich} (\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{ich} \partial p_{ich}} - \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{ich} \partial q_{ich}} + (\frac{\partial F_{q}}{\partial q_{ich}} + \frac{\partial F_{p}}{\partial p_{ich}})) = \sum_{ich} (\frac{\partial F_{q}}{\partial q_{ich}} + \frac{\partial F_{p}}{\partial p_{ich}}) \\ \frac{Δ Q. (Γ; t)}{k T} & = - \int_{0}^{t} Λ (Γ (s)) d s = - \sum_{ich} \int_{0}^{t} (\frac{\partial F_{q}}{\partial q_{ich}} + \frac{\partial F_{p}}{\partial p_{ich}}) . \end{aligned}

Also für rein konservative Systeme $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ ,

\begin{aligned} \frac{P r (Ω_{t} = EIN)}{P r (Ω_{t} = - EIN)} & = 1 . \end{aligned}

Die Entropieerzeugung erfolgt also durch Forcierung oder Dissipation.

honeste_vivere

Die Kompressibilität des Phasenraums (dh

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

) impliziert selbst Irreversibilität, die oft als Entropieproduktion interpretiert wird (obwohl ich beachten sollte, dass Entropie und Irreversibilität möglicherweise nicht synonym sind).

aidan.plenert.macdonald

@honeste_vivere Danke! Wie würden Sie in diesem Fall die Entropie berechnen? Die normale Boltzmann / Shannon-Entropie

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f Log f

scheint nicht so, als könnte es jemals damit zusammenhängen

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

da

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

hat keine Faktoren von

f

f

f

aidan.plenert.macdonald

Ich frage, ob Sie es mit einer Art Summierung berechnen müssen

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{ich} G (q_{ich}, p_{ich})

über die Teilchen (dh Teilchenentropie, nicht über ähnlich präparierte Ensembles verteilt wie

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

), dann könnte ich mir möglicherweise vorstellen, eine Verbindung herzustellen.

honeste_vivere

Sie können etwas verwenden, das der Störungstheorie und / oder der mittleren Feldtheorie ähnelt, in der Sie konstruieren / annehmen

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

und dann die normale berechnen

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f Log f

zur ersten Bestellung. Technisch gesehen haben Sie durch Auferlegen / Unterstellen des Fluktuationsdissipationssatzes Irreversibilität in die Gleichungen "eingefügt". Dies ist eine der Konsequenzen der Zufallsphasenapproximation.

aidan.plenert.macdonald

Wie hilft das, wenn es keine gibt?

f

f

f

im

Γ

Γ

Γ

? Oder doch?

f

f

f

irgendwie aufheben, um das zu bekommen

Γ

Γ

Γ

nur Ausdruck?

Antworten (1)

Wie wird die Dissipationsfunktion des Fluktuationssatzes zur Entropie?

Die Kompressibilität des Phasenraums (dh $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ ) impliziert selbst Irreversibilität, die oft als Entropieproduktion interpretiert wird (obwohl ich beachten sollte, dass Entropie und Irreversibilität möglicherweise nicht synonym sind).
@honeste_vivere Danke! Wie würden Sie in diesem Fall die Entropie berechnen? Die normale Boltzmann / Shannon-Entropie $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f Log f$ scheint nicht so, als könnte es jemals damit zusammenhängen $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ da $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ hat keine Faktoren von $f$ $f$ $f$
Ich frage, ob Sie es mit einer Art Summierung berechnen müssen $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{ich} G (q_{ich}, p_{ich})$ über die Teilchen (dh Teilchenentropie, nicht über ähnlich präparierte Ensembles verteilt wie $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ ), dann könnte ich mir möglicherweise vorstellen, eine Verbindung herzustellen.
Sie können etwas verwenden, das der Störungstheorie und / oder der mittleren Feldtheorie ähnelt, in der Sie konstruieren / annehmen $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ und dann die normale berechnen $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f Log f$ zur ersten Bestellung. Technisch gesehen haben Sie durch Auferlegen / Unterstellen des Fluktuationsdissipationssatzes Irreversibilität in die Gleichungen "eingefügt". Dies ist eine der Konsequenzen der Zufallsphasenapproximation.
Wie hilft das, wenn es keine gibt? $f$ $f$ $f$ im $Γ$ $Γ$ $Γ$ ? Oder doch? $f$ $f$ $f$ irgendwie aufheben, um das zu bekommen $Γ$ $Γ$ $Γ$ nur Ausdruck?

honeste_vivere · Answer 1

Boltzmann, Wlasow und Entropie

Die Vlasov-Gleichung ist die kollisionsfreie Form der Boltzmann-Gleichung . Die Vlasov-Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial f_{s}}{\partial t} + v \cdot \nabla f_{s} + \frac{F}{m_{s}} \cdot \nabla_{v} f_{s} = 0 \end{matrix}

woher

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

ist die Teilchengeschwindigkeitsverteilungsfunktion der Spezies

s

s

s

(zB Maxwellian ),

F

F

F

ist eine äußere Kraft und die k- ^te Komponente von

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

ist gegeben durch

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

. Ändern wir Gleichung 1 mit der Lorentzkraft für

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

und linearisieren , dh annehmen

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q. \to ⟨ Q. ⟩ + δ Q.

, woher

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

ist ein Ensemble Durchschnitt und

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q. ⟩ = 0

. Daraus können wir eine durchschnittliche und schwankende Form von Gleichung 1 konstruieren. Ich werde den Index fallen lassen

s

s

s

aus Faulheit für den Rest der Ableitung.

Die durchschnittliche Form ergibt sich aus:

\begin{matrix} (2a) & \frac{\partial ⟨ f ⟩}{\partial t} + v \cdot \nabla ⟨ f ⟩ + \frac{⟨ F_{e m} ⟩}{m} \cdot \nabla_{v} ⟨ f ⟩ = C \end{matrix}

woher

C

C

C

ist ein Proxy für einen Kollisionsbegriff von:

\begin{matrix} (2b) & C = - ⟨ \frac{δ F_{e m}}{m} \cdot \nabla_{v} δ f ⟩ \end{matrix}

Die schwankende Form ist gegeben durch:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial}{\partial t} δ f + v \cdot \nabla δ f + ⟨ F_{e m} ⟩ \cdot \nabla_{v} δ f + δ F_{e m} \cdot \nabla_{v} ⟨ f ⟩ = - δ F_{e m} \cdot \nabla_{v} δ f - C \end{matrix}

Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen dem Kollisionsbegriff, $C$ $C$ $C$ und der klassische binäre Kollisionsterm, der in der Boltzmannschen Gleichung gefunden wird. $C$ $C$ $C$ bewahrt nicht den lokalen Impuls und die Energiedichte der Partikel. Wichtiger, $C$ $C$ $C$ bewirkt nicht, dass sich das Plasma zu einem Maxwellschen entspannt [siehe z. B. Tidman und Krall , 1971].

Gibbs 'Entropie kann wie folgt geschrieben werden:

\begin{matrix} (4) & S = - k_{B} \int_{ein l l d x d v} d x d v ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ | \end{matrix}

Gibbs erkannte, dass Gleichung 4 zur negativen Unendlichkeit divergieren kann, wenn man nicht die Einteilchenwahrscheinlichkeitsverteilung verwendet , die ein Durchschnitt über Ensemblezustände ist (also die

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

s). Eine interessante Beobachtung ist, dass die Liouville-Gleichung auch vorhersagt, dass Gleichung 4 ohne die Verwendung von Ensemble-Durchschnitten zur negativen Unendlichkeit abweicht [z. B. Evans und Morriss , 1990]. Der Grund für die Divergenz liegt darin, dass Störungen im Phasenraum immer kleiner werden, was immer höher dimensionale Formen erfordert

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

. Eine der Konsequenzen (möglicherweise indirekt?) Dieses intuitiven Sprunges war die Entwicklung von Dingen wie der Mittelfeldtheorie .

Liouvilles Gleichung

Der erste Teil des Folgenden stammt aus meiner Antwort unter https://physics.stackexchange.com/a/177972/59023 .

Wir wissen das $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ erfüllt Liouvilles Gleichung , oder besser gesagt, $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ / $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ . Im Allgemeinen lautet die Bewegungsgleichung:

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial f}{\partial t} = f [(\frac{\partial}{\partial q} \frac{d q}{d t}) + (\frac{\partial}{\partial p} \frac{d p}{d t})] + [\frac{d q}{d t} \cdot \frac{\partial f}{\partial q} + \frac{d p}{d t} \cdot \frac{\partial f}{\partial p}] \end{matrix}

wo ich den kanonischen Phasenraum von definiert habe

(q, p)

(q, p)

(q, p)

(q, p)

(q, p)

. Wenn ich die Begriffe vereinfache

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q. / d t

zu

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q.}

und lass

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

dann finde ich:

\begin{aligned} (6a) & \frac{\partial f}{\partial t} & = - f \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} - \dot{Γ} \cdot \frac{\partial f}{\partial Γ} \\ (6b) & = - \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot (\dot{Γ} f) \end{aligned}

wo man sieht, dass die letzte Form wie die Kontinuitätsgleichung aussieht. Wenn ich die Gesamtzeitableitung wie folgt definiere:

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d t} = \frac{\partial}{\partial t} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial}{\partial Γ} \end{matrix}

dann kann ich zeigen, dass die zeitliche Änderungsrate der Verteilungsfunktion gegeben ist durch:

\begin{aligned} (8a) & \frac{d f}{d t} & = \frac{\partial f}{\partial t} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial f}{\partial Γ} \\ (8b) & = - [f \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial f}{\partial Γ}] + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial f}{\partial Γ} \\ (8c) & = - f \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} \\ (8d) & \equiv - f Λ (Γ) \end{aligned}

woher

Λ (Γ)

Λ (Γ)

Λ (Γ)

wird der Phasenraumkomprimierungsfaktor genannt [z. B. Evans und Morriss , 1990]. Es ist zu beachten, dass die Gleichungen 8a bis 8d verschiedene Formen der Liouville-Gleichung sind, die ohne Bezugnahme auf die Bewegungsgleichungen erhalten wurden und die Existenz eines Hamilton-Operators nicht erfordern. Ich kann Gleichung 8d in der folgenden Form umschreiben:

\begin{matrix} (9) & \frac{d}{d t} \ln | f | = - Λ (Γ) \end{matrix}

Wenn die Bewegungsgleichungen aus einem Hamilton-Operator generiert werden können, dann $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ auch in Gegenwart von äußeren Feldern, die das System aus dem Gleichgewicht bringen. Beachten Sie, dass die Existenz eines Hamiltonianers eine ausreichende, aber nicht notwendige Bedingung für ist $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ .

Entropie-Produktion

Denken Sie daran, dass wir definiert haben $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q. ⟩ / \partial t = 0$ und wir wissen aus Gleichung 9, dass $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ für konservative Systeme (dh solche mit inkompressiblem Phasenraum). Wenn wir definieren $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ Dann können wir zeigen, dass:

\begin{aligned} (10 A) & \frac{\partial F}{\partial t} \equiv \frac{\partial}{\partial t} (⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |) & = (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) \frac{\partial ⟨ f ⟩}{\partial t} = 0 \\ (10b) & \frac{\partial F}{\partial t} + \nabla \cdot (v F) & = 0 \\ (10c) & = \frac{d F}{d t} + F (\nabla \cdot v) \\ (10d) & 0 + \nabla \cdot (v F) & = ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ | (\nabla \cdot v) + (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) [v \cdot \nabla ⟨ f ⟩] \end{aligned}

Mit diesen Beziehungen kann man zeigen, dass:

\begin{aligned} (11a) & (\nabla \cdot v) F & = - v \cdot \nabla F \\ (11b) & (\nabla \cdot v) (⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |) & = - v \cdot \nabla (⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |) \\ (11c) & = - ⟨ f ⟩ v \cdot \nabla \ln | ⟨ f ⟩ | - \ln | ⟨ f ⟩ | v \cdot \nabla ⟨ f ⟩ \\ (11d) & = - v \cdot \nabla ⟨ f ⟩ - \ln | ⟨ f ⟩ | v \cdot \nabla ⟨ f ⟩ \\ (11e) & = - (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) v \cdot \nabla ⟨ f ⟩ \end{aligned}

Wir wissen auch, dass in der Grenze von $x \to \pm \infty$ $x \to \pm \infty$ $x \to \pm \infty$ , der Begriff $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ weil wir annehmen, dass alle Steigungen in dieser Grenze asymptotisch gegen Null gehen und $C$ $C$ $C$ -term geht ebenfalls auf Null. Daher finden wir, dass Gleichung 2a mit der Menge arbeitet:

\begin{matrix} (12) & \int d v (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) \end{matrix}

führt zu folgenden Ergebnissen:

\begin{aligned} (13a) & [\frac{\partial}{\partial t} + v \cdot \nabla + ⟨ F_{e m} ⟩ \cdot \nabla_{v}] \int d v (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) & = \int d v C (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) \\ (13b) & [v \cdot \nabla] \int d v (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) & = \int d v C (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) \\ (13c) & \nabla \cdot \int d v v ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ | & = \int d v C (1 + \ln | ⟨ f ⟩ |) \end{aligned}

Nun fügen wir das Formular für ein

C

C

C

aus Gleichung 2b zu finden:

\begin{matrix} (14) & \nabla \cdot \int d v v ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ | = \frac{e}{m} \int d v ⟨ δ F_{e m} δ f ⟩ \cdot \nabla_{v} \ln | ⟨ f ⟩ | \end{matrix}

wobei der Ausdruck auf der linken Seite die Divergenz des Entropieflusses ist .

Gleichung 14 ist ein Beispiel dafür, wie Entropie in einem kollisionsfreien Medium mit inkompressiblem Phasenraum erzeugt werden kann, der sich aus der Zeitabhängigkeit in ergibt $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ eingeführt durch die Schwankungen ungleich Null, die durch das gegeben sind $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ -Begriff. Auch wenn $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ Entlang von Phasenverläufen aus der inkompressiblen Liouville-Gleichung erhalten, entwickelt es immer feinere Merkmale, die der Phasenmischung entsprechen. Die Einführung der Irreversibilität (dh hier auch der Entropie) in dieses System ist größtenteils eine Folge des Ansatzes, der dem Grobkörnungsverfahren entspricht, das zur Herleitung der Boltzmann-Gleichung aus der reversiblen Liouville-Gleichung verwendet wird [z. B. Evans und Morriss , 1990] ; Tidman und Krall , 1971].

Ein ähnlicher Ansatz kann verwendet werden, wenn wir nicht annehmen $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ eine Form für die Entropie ableiten.

Verweise

Evans, DJ und G. Morriss Statistical Mechanics of Nonquilibrium Liquids, 1. Auflage , Academic Press, London, 1990.
Tidman, DA und NA Krall Stoßwellen in kollisionsfreien Plasmen , Wiley-Reihe in Plasmaphysik, New York: Wiley-Interscience, 1971.

Geniale Antwort! Es wird eine Weile dauern, bis ich mich eingehend damit befasst habe. Danke auch für die Hinweise

Wie wird die Dissipationsfunktion des Fluktuationssatzes zur Entropie?

aidan.plenert.macdonald

honeste_vivere

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aidan.plenert.macdonald

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