Variation der modifizierten Einstein Hilbert Aktion

In der allgemeinen Relativitätstheorie kann man die Einstein-Feldgleichungen durch das Prinzip der geringsten Wirkung durch Variationen in Bezug auf die Umkehrung des metrischen Tensors ableiten. In einigen modifizierten Gravitationstheorien wie der Brans-Dicke-Theorie wird der Einstein-Hilbert-Aktion ein Skalarfeld hinzugefügt und die Gravitationskonstante durch eine Funktion des Skalarfelds ersetzt. Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Feldgleichungen aus dieser Aktion ableiten soll, insbesondere den Teil, in dem das Skalarfeld an den Ricci-Skalar angehängt ist ϕ R. ϕ R. .

Die Brans-Dicke-Aktion ist

S. B D. = ∫ d 4 x - g - - - - - - √ [ 1 16 π ( ϕ R - ω ϕ G a b ∂ ein ϕ ϕ b ϕ ) + L. M. ] . S. B. D. = ∫ d 4 x - - G [ 1 16 π ( ϕ R. - - ω ϕ G ein b ∂ ein ϕ ∂ b ϕ ) + L. M. ]] .

Die resultierende Feldgleichung lautet

G a b = 8 π ϕ T. a b + ω ϕ 2 ( ∂ ein ϕ ϕ b ϕ - 1 2 G a b ∂ c ϕ ϕ c ϕ ) + 1 ϕ ( ∇ ein ∇ b ϕ - g a b □ ϕ ) . G ein b = 8 π ϕ T. ein b + ω ϕ 2 ( ∂ ein ϕ ∂ b ϕ - - 1 2 G ein b ∂ c ϕ ∂ c ϕ ) + 1 ϕ ( ∇ ein ∇ b ϕ - - G ein b ◻ ϕ ) .

Ich möchte auch eine neue Feldgleichung für die Praxis ableiten. Meine Fragen sind also:

  1. Wie leitet man die Bewegungsgleichungen ab?

  2. Wie führe ich die Variation der folgenden Aktion durch?

    S. = ∫ d 4 x - g - - - - - - √ [ 1 16 π G R - ϕ ( ∇ μ G a b ∇ ν G a b ) - 2 Λ + L. M. ) ] S. = ∫ d 4 x - - G [ 1 16 π G R. - - ϕ ( ∇ μ G ein b ∇ ν G ein b ) - - 2 Λ + L. M. ) ]]

Der Ricci-Skalar, die kosmologische Konstante und die Materie Lagrangian variieren einfach wie die Einstein-Hilbert-Aktion zu:

δ S. = ∫ d 4 x - g - - - - - - √ [ 1 κ ( R. a b - 1 2 R g a b + Λ g a b ) - T. a b ] δ G a b . δ S. = ∫ d 4 x - - G [ 1 κ ( R. ein b - - 1 2 R. G ein b + Λ G ein b ) - - T. ein b ]] δ G ein b .
Was ist mit dem zusätzlichen Begriff? Würde man einfach in Bezug auf variieren ϕ ϕ oder ist auch die Variation der kovarianten Ableitung des metrischen Tensors erforderlich? Wenn letzteres zutrifft, wäre die Variation dieses zusätzlichen Begriffs
∂ L. ∂ G a b - ∂ μ ∂ L. ∂ ( ∇ μ G a b ) = 0. ∂ L. ∂ G ein b - - ∂ μ ∂ L. ∂ ( ∇ μ G ein b ) = 0.
Jede Hilfe wäre dankbar. Übrigens ist ∇ μ G a b ∇ ν G a b ∇ μ G ein b ∇ ν G ein b Ein Ausdruck, der die Änderungsrate (Ableitung) des metrischen Tensors in Bezug auf eine Koordinate zeigt ( t , x , y z ) ( t , x , y , z ) ?

Normalerweise wählen Sie ohne Torsion die (eindeutige) Verbindung wie z ∇ μ G a b = 0 ∇ μ G ein b = 0 , siehe diese PSE- Frage
Die grundlegende Intuition, die der Brans-Dicke-Theorie zugrunde liegt, sollte lauten: "Was ist, wenn wir die Newtonsche Konstante ersetzen?" G G durch ein Skalarfeld ϕ ϕ ? (Oder, abhängig von Ihrer Religion, ϕ - 1 ϕ - - 1 ?) "... alles andere folgt daraus.
Auch bei Torsion bekommt man noch ∇ μ G a b = 0 ∇ μ G ein b = 0 . Sie würden auch den Tensor ohne Metrik benötigen, um etwas anderes daraus zu machen, das ziemlich selten verwendet wird.

Antworten (1)

Hier finden Sie die Antwort auf Frage 1. Frage 2. ist seitdem komisch ∇ μ G α β = 0 ∇ μ G α β = 0 (wenn die Verbindung metrisch kompatibel ist) wie von @Trimok erwähnt. In jedem Fall kann die Variation der Aktion unter Verwendung des nachstehend beschriebenen Verfahrens abgeleitet werden.

Wir beginnen mit der BD-Aktion

S. = 1 16 π ∫ d 4 x - g - - - - - - √ [ ϕ R - ω ϕ G μ ν ∂ μ ϕ ϕ ν ϕ ] + S. M. S. = 1 16 π ∫ d 4 x - - G [ ϕ R. - - ω ϕ G μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ]] + S. M.
wo S. M. S. M. ist die Sache Aktion. Um Einsteins Feldgleichungen zu bestimmen, variieren wir die Aktion in Bezug auf die Metrik. Wir werden die Formeln verwenden (siehe Wikipedia )
δ R = R. μ ν δ G μ ν + ∇ σ ( g μ ν δ Γ σ μ ν - g μ σ δ Γ ρ ρ μ ) δ R. = R. μ ν δ G μ ν + ∇ σ ( G μ ν δ Γ μ ν σ - - G μ σ δ Γ ρ μ ρ )
Die Variation des Christoffel-Tensors ist
δ Γ λ μ ν = δ G λ ρ G ρ α Γ α μ ν + 1 2 G λ ρ ( ∂ μ δ G ν ρ + ∂ ν δ G μ ρ - ∂ ρ δ G μ ν ) = 1 2 G λ ρ ( ∇ μ δ G ν ρ + ∇ ν δ G μ ρ - ∇ ρ δ G μ ν ) = - 1 2 ( g ν α ∇ μ δ G α λ + g μ α ∇ ν δ G α λ - g μ α G ν β ∇ λ δ G α β ) δ Γ μ ν λ = δ G λ ρ G ρ α Γ μ ν α + 1 2 G λ ρ ( ∂ μ δ G ν ρ + ∂ ν δ G μ ρ - - ∂ ρ δ G μ ν ) = 1 2 G λ ρ ( ∇ μ δ G ν ρ + ∇ ν δ G μ ρ - - ∇ ρ δ G μ ν ) = - - 1 2 ( G ν α ∇ μ δ G α λ + G μ α ∇ ν δ G α λ - - G μ α G ν β ∇ λ δ G α β )
wo wir verwendet haben δ G μ ν = - g μ α G ν β δ G α β δ G μ ν = - - G μ α G ν β δ G α β . Dies impliziert
G μ ν δ Γ σ μ ν G μ σ δ Γ λ λ μ = - ∇ α δ G α σ + 1 2 G α β ∇ σ δ G α β = - 1 2 G α β ∇ σ δ G α β G μ ν δ Γ μ ν σ = - - ∇ α δ G α σ + 1 2 G α β ∇ σ δ G α β G μ σ δ Γ λ μ λ = - - 1 2 G α β ∇ σ δ G α β
was impliziert
δ R = R. μ ν δ G μ ν - ∇ μ ∇ ν δ G μ ν + g μ ν ∇ 2 δ G μ ν δ R. = R. μ ν δ G μ ν - - ∇ μ ∇ ν δ G μ ν + G μ ν ∇ 2 δ G μ ν
Schließlich haben wir ab 1 auch
δ - g - - - - - - √ = - 1 2 - g - - - - - - √ G μ ν δ G μ ν δ - - G = - - 1 2 - - G G μ ν δ G μ ν
Schließlich sind wir bereit, die Variation der Aktion zu berechnen. Wir haben
δ S. = 1 16 π ∫ d 4 x δ - g - - - - - - √ [ ϕ R - ω ϕ G μ ν ∂ μ ϕ ϕ ν ϕ ]              + 1 16 π ∫ d 4 x - g - - - - - - √ [ ϕ δ R - ω ϕ δ G μ ν ∂ μ ϕ ϕ ν ϕ ] + δ S. M. = - 1 32 π ∫ d 4 x - g - - - - - - √ G μ ν [ ϕ R - ω ϕ G α β ∂ α ϕ ϕ β ϕ ] δ G μ ν + ∫ d 4 x δ S. M. δ G μ ν δ G μ ν              + 1 16 π ∫ d 4 x - g - - - - - - √ [ ( ϕ R. μ ν - ∇ μ ∇ ν ϕ + g μ ν ∇ 2 ϕ ) - ω ϕ ∂ μ ϕ ϕ ν ϕ ] δ G μ ν δ S. = 1 16 π ∫ d 4 x δ - - G [ ϕ R. - - ω ϕ G μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ]] + 1 16 π ∫ d 4 x - - G [ ϕ δ R. - - ω ϕ δ G μ ν ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ]] + δ S. M. = - - 1 32 π ∫ d 4 x - - G G μ ν [ ϕ R. - - ω ϕ G α β ∂ α ϕ ∂ β ϕ ]] δ G μ ν + ∫ d 4 x δ S. M. δ G μ ν δ G μ ν + 1 16 π ∫ d 4 x - - G [ ( ϕ R. μ ν - - ∇ μ ∇ ν ϕ + G μ ν ∇ 2 ϕ ) - - ω ϕ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ ]] δ G μ ν
Voraussetzung ist, dass die Variation der Aktion verschwindet (in führender Reihenfolge in δ G μ ν δ G μ ν ) gibt
G μ ν = - 16 π ϕ - g - - - - - - √ δ S. M. δ G μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ϕ ν ϕ - 1 2 G μ ν ∂ α ϕ ϕ α ϕ ] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - g μ ν ∇ 2 ϕ ] G μ ν = - - 16 π ϕ - - G δ S. M. δ G μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - - 1 2 G μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ]] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - - G μ ν ∇ 2 ϕ ]]
Denken Sie daran, dass der Spannungstensor definiert ist als
T. μ ν = - 2 - g - - - - - - √ δ S. M. δ G μ ν T. μ ν = - - 2 - - G δ S. M. δ G μ ν
Somit
G μ ν = 8 π ϕ T. μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ϕ ν ϕ - 1 2 G μ ν ∂ α ϕ ϕ α ϕ ] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - g μ ν ∇ 2 ϕ ] G μ ν = 8 π ϕ T. μ ν + ω ϕ 2 [ ∂ μ ϕ ∂ ν ϕ - - 1 2 G μ ν ∂ α ϕ ∂ α ϕ ]] + 1 ϕ [ ∇ μ ∇ ν ϕ - - G μ ν ∇ 2 ϕ ]]
Das ist die Brans-Dicke-Gleichung.

Ich sehe jetzt, wie es geht. Wird der zusätzliche Term in Bezug auf meine zweite Frage einfach Null, da die kovariante Ableitung des metrischen Tensors Null ist? So wird die Aktion nun zur bekannten Einstein-Hilbert-Aktion?
Das ist richtig.
Wie beweisen Sie? δ - g - - - - - - √ = - 1 2 - g - - - - - - √ G μ ν δ G μ ν δ - - G = - - 1 2 - - G G μ ν δ G μ ν ? Ich kann dem Wikipedia-Eintrag nicht folgen ...
δ - g - - - - - - √ = - 1 2 - g - - - - - - √ δ G = - 1 2 - g - - - - - - √ G G μ ν δ G μ ν = - 1 2 - g - - - - - - √ - g - - - - - - √ - g - - - - - - √ G μ ν δ G μ ν = - 1 2 - g - - - - - - √ G μ ν δ G μ ν ≠ 1 2 - g - - - - - - √ G μ ν δ G μ ν δ - - G = - - 1 2 - - G δ G = - - 1 2 - - G G G μ ν δ G μ ν = - - 1 2 - - G - - G - - G G μ ν δ G μ ν = - - 1 2 - - G G μ ν δ G μ ν ≠ 1 2 - - G G μ ν δ G μ ν
Was ist mit dem Vorzeichenfehler?
@BreakingM_a_t Beachten Sie, dass per Definition δ G = det ( g + δ G ) - det g = det g   [ det ( 1 + g - 1 δ G ) - 1   ]] δ G = det ( G + δ G ) - - det G = det G [ det ( 1 + G - - 1 δ G ) - - 1 ]] . Nun zu berechnen det ( 1 + g - 1 δ G ) det ( 1 + G - - 1 δ G ) zur führenden Bestellung in δ G δ G verwenden wir die Identität Log det M. = tr log M. Log ⁡ det M. = tr Log ⁡ M. . Dann haben wir det ( 1 + M. ) = exp Log det ( 1 + M. ) = exp tr log ( 1 + M. ) = exp [ tr ( M. + O ( M. 2 ) ) ] = exp ( tr M. ) + O ( M. 2 ) = 1 + tr M. + O ( M. 2 ) det ( 1 + M. ) = exp ⁡ Log ⁡ det ( 1 + M. ) = exp ⁡ tr Log ⁡ ( 1 + M. ) = exp ⁡ [ tr ( M. + Ö ( M. 2 ) ) ]] = exp ⁡ ( tr M. ) + Ö ( M. 2 ) = 1 + tr M. + Ö ( M. 2 ) .
@BreakingM_a_t Dies impliziert δ G = det g tr ( g - 1 δ G ) = det g G μ ν δ G μ ν δ G = det G tr ( G - - 1 δ G ) = det G G μ ν δ G μ ν . So finden wir das δ - g - - - - - - √ = - 1 2 - g √ δ G = - 1 2 - g √ G G μ ν δ G μ ν = 1 2 - g - - - - - - √ G μ ν δ G μ ν δ - - G = - - 1 2 - - G δ G = - - 1 2 - - G G G μ ν δ G μ ν = 1 2 - - G G μ ν δ G μ ν .
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