Also habe ich in der Vergangenheit über etwas nachgedacht
Betrachten Sie eine große kugelförmige Schaumkugel mit homogener Dichte. Wenn eine Schaumkugel als ein Objekt definiert ist, das Materie mit 0 Reibung absorbieren kann (Beispiel: eine Gravitationsbohrung ohne ein Objekt im Inneren). Dies ist ein rein theoretisches Konstrukt.
Wenn die Schaumkugel einen Radius R und eine Ladung Q hat. Welche Ladung muss die Schaumkugel haben, so dass es eine genau definierte Kugel oder einen genau definierten Horizont gibt, so dass jedes Objekt mit einer negativen Ladung (auch wenn es das kleinste Stück ist) muss Reisen Sie schneller als C, um dem Feld des Balls zu entkommen.
Aka, welche Ladung würde dies in ein Schwarzes Loch für alle Objekte mit entgegengesetztem Vorzeichen auf ihrer Ladung verwandeln?
Ich gehe wieder einmal davon aus, dass die Schaumkugel ein einzelnes Teilchen ist, das sich nicht selbst abstößt ... es ist nur ein sehr großes homogenes "Ding" mit Ladung.
Eine solche Singularität würde nicht auftreten, wenn Sie keine Untergrenze für die negative Ladung haben. Für die Schwerkraft tritt die Singularität auf, weil die potentielle Gravitationsenergie und die relativistische kinetische Energie beide von der Masse des kleineren Objekts abhängen, wodurch es sich teilen kann, wenn Sie nach der Fluchtgeschwindigkeit suchen. In diesem Fall hängt jedoch nur die elektromagnetische potentielle Energie, nicht die kinetische Energie, von der negativen Ladung ab. Dies bedeutet, dass die negative Ladung niemals aufgeteilt wird. Daher können Sie die Größe dieser Ladung beliebig verringern, um die Fluchtgeschwindigkeit so niedrig wie gewünscht zu machen.
Wenn Sie jedoch die negative Ladung auf einen bestimmten Wert festlegen q 2 kann es nicht entkommen, wenn seine elektromagnetische potentielle Energie seiner Ruheenergie entspricht (bis zu einem Zeichen). Also einfach einstellen 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r = m c 2 (wieder bis zum richtigen Vorzeichen) und lösen für r .
Um eine konsistente relativistische Behandlung des Problems zu ermöglichen, werde ich die "Schaumkugel" nach der Reissner-Nordström-Metrik modellieren, die das relativistische Gravitations- und elektromagnetische Feld eines Punktes der effektiven Masse darstellt M. und aufladen Q. . Der Grund warum ich anrufe M. Die effektive Masse besteht darin, dass selbst das reine elektromagnetische Feld notwendigerweise etwas Energie trägt und daher von weitem als Gravitationsmasse einer Masse betrachtet wird M. Q. . Ich werde hier nicht was diskutieren M. Q. sollte sein und einfach gehen M. als freier, im Prinzip ungleich Null Parameter. (Der einzige Einfluss auf diese Analyse besteht darin, dass dies die Existenz eines Ereignishorizonts ermöglicht.)
Ich werde auch den Begriff Ereignishorizont verwenden , der der übliche Horizont ist, der aus der allgemeinen Relativitätstheorie bekannt ist, hinter dem kein Teilchen entweichen kann, und den Begriff "elektromagnetischer Horizont", der ein Punkt wäre, von dem aus ein Teilchen bestimmter Ladung nicht in der Lage ist Flucht.
Die Reissner-Nordström- Metrik (in geometrischen Einheiten) lautet
Das elektromagnetische Potential EIN μ hat nur eine Nicht-Null-Komponente, die ist EIN t = - Q / r . Ein geladenes Testteilchen in diesem Feld gehorcht den vom Hamilton-Operator erzeugten Hamilton-Gleichungen
Lassen Sie uns nun den Zustand untersuchen E. > m für ein rein radial bewegliches Teilchen. Für dieses Teilchen können wir die Normalisierung mit vier Geschwindigkeiten verwenden G μ ν u μ u ν = - 1 erhalten
Wenn wir dies jetzt ersetzen E. > m erhalten wir leicht die notwendige Bedingung für die Flucht
Die beiden Fälle, wenn E. > m Das Teilchen erreicht jedoch nicht die Unendlichkeit: Erstens der Fall, wenn r ˙ < 0 , weil das einem radialen Infall und einem geodätischen Ende in der zentralen Singularität entspricht, um niemals unendlich zu werden. Zweitens der Fall, wenn r ˙ > 0 innerhalb des Horizonts (falls vorhanden), und das Teilchen entweicht dann nach draußen mit d t / d τ < 0 ;; Dieser Fall ist in der Tat der radiale Infall "rückwärts gespielt". In jedem anderen Fall E. > m ist ausreichend für das Partikelaustritt.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das elektromagnetische Feld keinen "elektromagnetischen Horizont" erzeugt, der das Entweichen von Partikeln einer bestimmten Ladung verhindern würde. Der einzige Horizont, der die Flucht eines Partikels endgültig einschränkt, ist der Ereignishorizont. Solange wir uns außerhalb des Ereignishorizonts befinden, kann ein Teilchen einer beliebigen Ladung mit genügend kinetischer Energie ausgestattet werden, um dem Potentialtopf zu entkommen.
Hier ist mein Versuch zur Frage:
Wir haben eine Ladungssphäre Q. und Radius R. . In einiger Entfernung r > R. das Potenzial V. ( r ) ist gegeben durch
Nun ist die Gesamtenergie des Teilchens X der Masse m, Ladung -q, Geschwindigkeit v gegeben durch
Angenommen, die Fluchtgeschwindigkeit von X in einem Abstand r ist gegeben durch v e und γ ( v e ) = γ e .
Aus Energieeinsparung, wenn X entweicht
Aber um ausreichend hoch zu erhalten γ , v müssen nur größer sein als v e und kann auch kleiner sein als c Dies zeigt, dass wenn die Kugel eine endliche Ladung Q hat, dann für v e ⩽ v ⩽ c X entkommt. Daher kann X sowie jedes Partikel aus jedem entweichen r > R. wenn v > v e obwohl es negativ geladen ist, ohne sich der Lichtgeschwindigkeit anzunähern. Somit ist die Kugel kein Schwarzes Loch für die negativ geladenen Teilchen.
Ich bin nicht sicher, ob das OP davon ausgeht, dass der Ball Masse hat M. und erwägen seine Gravitationseffekte oder wenn das OP nur elektromagnetische Effekte berücksichtigt. Wenn es das letztere ist, existiert eindeutig kein solcher Radius, da bei jedem endlichen Radius ein Testteilchen nur eine begrenzte potentielle Energie hat und seine kinetische Energie beliebig groß gemacht werden kann, ohne dass seine Lichtgeschwindigkeit überschritten wird.
Eine noch einfachere Möglichkeit, dies zu erkennen, besteht darin, sich auf die Dimensionsanalyse zu berufen. Ein solcher Radius müsste gleich sein R. mal eine Funktion der dimensionslosen Verhältnisse der verbleibenden relevanten Größen Q. und c Es gibt jedoch kein solches dimensionsloses Verhältnis. Wenn der Radius also existieren würde, müsste er unabhängig sein von Q. und Einstellung Q = 0 wir sehen deutlich, dass es nicht existieren kann.
Abgesehen von allem, was von den anderen gesagt wurde, möchte ich den theoretischen Rahmen für eine verallgemeinerte Lösung festlegen (jede Geschwindigkeit, jede Masse, jede Ladung, jede Entfernung, solange die "Kugeln" nicht in eine Singularität fallen). .
Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu betrachten.
Am einfachsten ist es, eine spezielle Relativitätstheorie zu wählen, wenn die Massen der Ladungen relativ klein sind. In diesem Fall können wir die Gravitationseffekte vernachlässigen. In einer solchen Situation können wir verwenden
mit
Wir verwenden diese Gleichung für jede der Schaumkugeln und lösen dann (unter Verwendung verzögerter Positionen) "Umlaufbahnen" mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit.
Wir variieren q 1 , q 2 , Diagramme zeichnen, ableiten, was passiert.
Natürlich müssen wir einige Randbedingungen (Oberflächenbedingungen) definieren, die sehr wichtig sind, da sie definieren, was passiert, wenn die beiden Kugeln kollidieren.
Werden sie sich zerstreuen? Werden sie sich verbinden? Wird sich die Ladungsdichte zu einer besonderen neuen (Art) Materie verbinden? Werden sie vernichten, um viele EM-Wellen oder andere Arten von Strahlung zu erzeugen?
Deshalb ist es sehr wichtig , genau zu definieren, was sich unter der Außenfläche des Balls befindet.
Die bloße Annahme, dass dies nur eine Singularität unter der Außenfläche ist, kann nicht übereinstimmen, wenn es um den Vergleich mit realen Experimenten geht.
Der andere Weg ist die Verwendung der allgemeinen Relativitätstheorie .
Es gibt zwei Wege, die wir hier einschlagen könnten.
Das einfachere ist anzunehmen, dass einer der Bälle eine Ladung und Masse hat, die weitaus kleiner ist als der andere: m 1 >> m 2 und q 1 >> q 2 .
Für einen solchen Fall hat @Void hier eine Antwort im Rahmen der Reissner-Nordström-Metrik gegeben, aber ich werde versuchen, die Theorie der Brücken aus einer etwas anderen Perspektive zu beantworten.
Einstein leitete die Metrik bei sphärischer Symmetrie für kombinierte Elektrizität und Schwerkraft etwas unterschiedlich ab; Er wählt das Vorzeichen des Energietensors so, dass wir durch Lösen der Feldgleichungen die Metrik erhalten G μ ν ::
Für eine solche Metrik wird also der Ereignishorizont unter definiert
Andererseits schlug Einstein eine Änderung der Variablen vor, die uns helfen würde, die Singularität des Ereignishorizonts loszuwerden.
Der erste Schritt wäre zu wählen u 2 = r 2 - q 2 2 Masse einstellen m = 0 und wenden Sie es dann auf die Metrik an, um Folgendes zu erhalten:
So wie wir sehen können, ob u variiert zwischen - ∞ zu + ∞ aber r wird nur positive Werte zwischen haben q 2 2 - - - - √ und + ∞ . Unser kleinerer Ball bewegt sich von einem Raumzeitblatt zum anderen.
Der letzte und komplizierteste Weg, der aber Antworten auf allgemeine Fälle gibt, egal wie groß / klein, wie viele, wie schnell / langsam die "Bälle" sind.
Wir haben p Singularitäten. Wir schließen jede mit bezeichnete Singularität ein s in einer geschlossenen Fläche.
Wir ordnen jeder Singularität zu s die Position ξ s mit ξ k ( x 0 ) eigentlich ein 3-Vektor sein.
Eine Entfernung von s Singularität wird definiert als:
Die verallgemeinerten Feldgleichungen sind:
wo
haben
Wir können nun eine Approximationsmethode wie die hier definierte anwenden und wie hier angegeben für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld verwenden.
Wir wollen nun die Entfernung finden, für die die beiden Singularitäten untrennbar miteinander verbunden sind, in dem Sinne, dass keine von ihnen aus dieser Entfernung herauskommen kann.
Wir nennen das den Ereignishorizont (falls es so etwas gibt) r H. ( x 0 j ) = ( η k ich - ξ k s ) ( η k ich - ξ k s ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - √ so dass r H. ( x 0 c ) ≤ r H. ( x 0 j ) für alle x 0 c > x 0 j (Hier x 0 ist offensichtlich die Zeitkomponente).
Wir suchen daher ein Feld, das maximal ist | C. μ ν | .
Entweder durch Vereinfachung der Annahmen oder durch Verwendung verschiedener Näherungsmethoden, die in jeder Phase geeignet sind, könnten wir zu einer Antwort kommen - oder wir könnten einen Supercomputer einrichten und auf ein Ergebnis warten.
Es gibt noch eine Anmerkung. Um wirklich zu verallgemeinern, müssen wir den Einfluss aller anderen Felder von der gesamten Energie im Universum berücksichtigen ( 10 53 Kg), das sich, wie sich herausstellt, in sehr kleinen Entfernungen in Form eines kosmischen Bereichs-Casimir-Effekts oder einer Vakuumenergie / -verschränkung mit Werten und Einflüssen im Bereich manifestiert Δ x Δ p = h / 2 . Wenn diese Einflüsse im Vergleich zu lokalen Feldern gering sind, können wir uns bei der experimentellen Beobachtung auf unser Ergebnis verlassen, und wir können dasselbe wie die Experimente vorhersagen.
Ich gehe davon aus, dass die Definition des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs, an den Sie denken, der Punkt ist, an dem die Fluchtgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit entspricht.
Dieser Punkt hat die Eigenschaft, dass die elektrische potentielle Energie plus die kinetische Energie des Objekts bei Lichtgeschwindigkeit gleich 0 ist.
0 = E. p o t e n t i a l + 0,5 m c 2
Die Formel für die elektrische potentielle Energie bezieht sich auf die Formel für die Anziehung. Es ist das Integral davon von unendlich bis zum Radius.
A t t r a c t i o n ( r ) = - ( r + R - | r - R | ) 3 ∗ Q ∗ q 32 ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ R. 3 ∗ r 2
E. p o t e n t i a l = - Q ∗ q 32 ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ R. 3 ∫ ∞ r ( r + R - | r - R | ) 3 r 2 d r = - Q ∗ q 4 ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ R. 3 ( R. 3 ∗ ∗ ∞ r + R + | r - R | 2 1 r 2 d r + ∫ R. r + R - | r - R | 2 r d r ) = Q ∗ q 4 ∗ π ∗ ∗ 0 ( 2 r + R + | r - R | + 4 R. 2 - ( r + R - | r - R | ) 2 8 R. 3 )
0 = m c 2 + Q ∗ q 2 ∗ π ∗ ∗ 0 ( 2 r + R + | r - R | + 4 R. 2 - ( r + R - | r - R | ) 2 8 R. 3 )
Wir können diese Gleichung verwenden, um die minimale Masse zu berechnen, die benötigt wird, um der Schaumkugel zu entkommen, und die maximale kombinierte Ladung, mit der Sie der Kugel entkommen können.
m = - Q ∗ q 2 ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ c 2 ( 2 r + R + | r - R | + 4 R. 2 - ( r + R - | r - R | ) 2 8 R. 3 )
- Q ∗ q = 2 ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ c 2 ∗ m 2 r + R + | r - R | + 4 R. 2 - ( r + R - | r - R | ) 2 8 R. 3
Wenn wir den Wert von r auf 0 setzen, können wir überprüfen, ob die Schaumkugel ein schwarzes Loch für das Partikel ist.
wenn 0 ≥ m c 2 + 3 ∗ Q ∗ q 4 ∗ R ∗ π ∗ ∗ 0 dann ist die Schaumkugel ein schwarzes Loch für das Teilchen.
Wenn die Größe von Q so oder größer ist, ist die Schaumkugel ein schwarzes Loch für das Partikel.
Q = - 4 ∗ R ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ m c 2 3 ∗ q
Wenn die Größe des Masse-Ladungsverhältnisses des Partikels dies oder weniger ist, ist die Schaumkugel ein schwarzes Loch für das Partikel.
m q = - 3 Q. 4 R ∗ π ∗ ∗ 0 ∗ c 2
Wie Sie sehen, gibt es keine Ladung, die alle geladenen Objekte dazu bringt, die Schaumkugel als schwarzes Loch anzusehen. Wenn das Objekt sehr massiv ist oder eine extrem geringe Ladung aufweist, kann es leicht aus der Schaumkugel austreten. Die Schaumkugel wirkt sich jedoch gleichermaßen auf alle Objekte mit dem gleichen Masse-Ladungsverhältnis aus. Ich hoffe das beantwortet deine Frage.
Frogeyedpeas
Tomáš Zato
Emilio Pisanty
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