Wie kann ich die Achsen der Polarisationsellipse aus dem Jones-Vektor des Lichts erhalten?

Question

Wie kann ich die Achsen der Polarisationsellipse aus dem Jones-Vektor des Lichts erhalten?

Optik
Physik
Polarisation
Elektromagnetismus
Elektromagnetische-strahlung

Emilio Pisanty

Ich analysiere den Polarisationszustand einer monochromatischen, kohärenten Lichtquelle, für die ich den Jones-Vektor der Polarisation kenne.

E. = (\begin{matrix} {E.}_{x} \\ {E.}_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} | {E.}_{x} | e^{ich φ_{x}} \\ | {E.}_{y} | e^{ich φ_{y}} \end{matrix}),

und ich möchte es in Bezug auf eine Haupt- und eine Nebenachse der Elliptizität erweitern, dh in der Form

E. = e^{ich φ} (EIN \hat{u} + ich B. \hat{v}) = e^{ich φ} (EIN (\begin{matrix} \cos (θ) \\ Sünde (θ) \end{matrix}) + ich B. (\begin{matrix} - - Sünde (θ) \\ \cos (θ) \end{matrix})),

oder wie grafisch wie folgt dargestellt:

^Bildquelle

Wikipedia bietet ein mehrstufiges Verfahren, das die Stokes-Parameter durchläuft, aber ich denke, es gibt sicherlich einen saubereren und direkteren Weg, dies zu erreichen $A$ $A$ $EIN$ , $B$ $B$ $B.$ , $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ , $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , $θ$ $θ$ $θ$ und die Komponenten $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $EIN \hat{u}$ und $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B. \hat{v}$ , von $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ ${E.}_{x}$ und $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ ${E.}_{y}$ und es ist nicht besonders offensichtlich aus den Suchergebnissen, die ich finden kann. Was ist der sauberste Weg, dies zu tun?

Um es klar auszudrücken: Was meiner Meinung nach in den vorhandenen Ressourcen fehlt und was die Frage direkt verlangt, ist eine explizite Reihe von möglichst einfachen Verbindungen für die genannten Parameter (alle $A$ $A$ $EIN$ , $B$ $B$ $B.$ , $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ , $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , $θ$ $θ$ $θ$ und die Komponenten $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $A \hat{u}$ $EIN \hat{u}$ und $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B \hat{v}$ $B. \hat{v}$ ) in Bezug auf die kartesischen Komponenten $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ ${E.}_{x}$ und $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ ${E.}_{y}$ . Schemata, die einfach an andere komplexe Manipulationen gesendet werden, sind bereits bei Wikipedia erhältlich und entsprechen nicht den Anforderungen der Frage.

CR Drost

Um ganz klar zu sein, dieses Diagramm, das Sie aus Wikipedia streichen, scheint so etwas wie die Punkte zu sein

(p (ψ), q (ψ)) = (| {E.}_{x} | \cos (ψ + ϕ_{x}), | {E.}_{y} | \cos (ψ + ϕ_{y}) .

Was den unternehmungslustigen Schüler davon abhält, beispielsweise zu minimieren / zu maximieren

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

p^{2} + q^{2}

etwas zu finden wie (rektale Extraktionsmethode)

bräunen (2 ψ_{c}) = - - (| {E.}_{x} |^{2} Sünde (2 ϕ_{x}) + | {E.}_{y} |^{2} Sünde (2 ϕ_{y})) /. (| {E.}_{x} |^{2} \cos (2 ϕ_{x}) + | {E.}_{y} |^{2} \cos (2 ϕ_{y}))

und dann geben Sie eine Reihe von Antworten in Bezug auf

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

ψ_{c}

? Nur dass es nicht elegant genug ist, um diesen unordentlichen Arkustangens in der Mitte zu haben?

Mischa

Um das Feld im Koordinatensystem der Ellipse auszudrücken, müssen Sie die Eigenachsen dieser Ellipse aus dem Jones-Polarisationsvektor ermitteln. Der einzige Weg, dies zu tun, den ich kenne, ist die Diagonalisierung von

2 \times 2

2 \times 2

2 \times 2

Matrix. Die dabei zu diagonalisierende Matrix ist die Dichtematrix des Lichts. Die Zerlegung dieser Matrix in die Pauli-Matrizen gibt Ihnen die Stokes-Parameter. Das ist also nicht die Frage nach der Physik, sondern die Frage, wie man die Berechnung vereinfacht, nicht wahr?

Jack

Vielleicht könnten Sie das sechste Kapitel [in diesem Buch] [1] lesen. [1]: optics.byu.edu/BYUOpticsBook_2015.pdf

Antworten (3)

Wie kann ich die Achsen der Polarisationsellipse aus dem Jones-Vektor des Lichts erhalten?

Um ganz klar zu sein, dieses Diagramm, das Sie aus Wikipedia streichen, scheint so etwas wie die Punkte zu sein $(p (ψ), q (ψ)) = (| {E.}_{x} | \cos (ψ + ϕ_{x}), | {E.}_{y} | \cos (ψ + ϕ_{y}) .$ Was den unternehmungslustigen Schüler davon abhält, beispielsweise zu minimieren / zu maximieren $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ $p^{2} + q^{2}$ etwas zu finden wie (rektale Extraktionsmethode) $bräunen (2 ψ_{c}) = - - (| {E.}_{x} |^{2} Sünde (2 ϕ_{x}) + | {E.}_{y} |^{2} Sünde (2 ϕ_{y})) /. (| {E.}_{x} |^{2} \cos (2 ϕ_{x}) + | {E.}_{y} |^{2} \cos (2 ϕ_{y}))$ und dann geben Sie eine Reihe von Antworten in Bezug auf $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ $ψ_{c}$ ? Nur dass es nicht elegant genug ist, um diesen unordentlichen Arkustangens in der Mitte zu haben?
Um das Feld im Koordinatensystem der Ellipse auszudrücken, müssen Sie die Eigenachsen dieser Ellipse aus dem Jones-Polarisationsvektor ermitteln. Der einzige Weg, dies zu tun, den ich kenne, ist die Diagonalisierung von $2 \times 2$ $2 \times 2$ $2 \times 2$ Matrix. Die dabei zu diagonalisierende Matrix ist die Dichtematrix des Lichts. Die Zerlegung dieser Matrix in die Pauli-Matrizen gibt Ihnen die Stokes-Parameter. Das ist also nicht die Frage nach der Physik, sondern die Frage, wie man die Berechnung vereinfacht, nicht wahr?
Vielleicht könnten Sie das sechste Kapitel [in diesem Buch] [1] lesen. [1]: optics.byu.edu/BYUOpticsBook_2015.pdf

Wolpertinger · Answer 1

Lassen Sie mich ein zweites Mal versuchen. Ich verwende https://math.stackexchange.com/questions/1204131/converting-a-rotated-ellipse-in-parametric-form-to-cartesian-form als Ressource.

Vorherige Manipulationen

Das physikalische elektrische Feld ist

{E.}_{p h y s} = R. e [E. e^{ich ω t}]] = R. e [(\begin{matrix} | {E.}_{x} | e^{ich φ_{x}} \\ | {E.}_{y} | e^{ich φ_{y}} \end{matrix}) e^{ich ω t}]] = (\begin{matrix} | {E.}_{x} | \cos (ω t + φ_{x}) \\ | {E.}_{y} | \cos (ω t + φ_{y}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} | {E.}_{x} | [\cos (ω t) \cos (φ_{x}) - - Sünde (ω t) Sünde (φ_{x})]] \\ | {E.}_{y} | [\cos (ω t) \cos (φ_{y}) - - Sünde (ω t) Sünde (φ_{y})]] \end{matrix})

Dies ist eine parametrische Gleichung für eine Ellipse, die vom elektrischen Feld verfolgt wird.

Hauptachsenwinkel

Lassen

ein = | {E.}_{x} | \cos (φ_{x})

b = | {E.}_{x} | Sünde (φ_{x})

c = | {E.}_{y} | \cos (φ_{y})

d = | {E.}_{y} | Sünde (φ_{y})

Im Vergleich mit der verknüpften math.SE-Frage gibt die akzeptierte Antwort an, dass die Haupt- und Nebenachse auf der Ellipse (die auf den Ursprung zentriert ist) zeigen

ω t = \frac{1}{2} Arctan \frac{2 (ein b + c d)}{({ein}^{2} + c^{2}) - - (b^{2} + d^{2})} + \frac{k π}{2} (0 \leq k \leq 3) .

Vom OP geforderte Erweiterung

In der Tat ist diese Größe der Winkel $θ$ $θ$ $θ$ in der Erweiterung in der OP-Frage erscheinen. Allerdings abhängig von welchem Wert für $k$ $k$ $k$ wird in Mai gewählt $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π / 2 - θ$ $π /. 2 - - θ$ Eine Unterscheidung der Fälle in Abhängigkeit vom Sektor des Arktans ist erforderlich.

Dies ergibt natürlich auch $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ und $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ Die Erweiterung kann nun leicht erhalten werden, indem der Jones-Vektor auf diese Basis projiziert wird.

Die Formeln können mitgehen, stellen jedoch eine enge Formlösung für das Problem dar, bis hin zur Fallunterscheidung der Auswahl $k$ $k$ $k$ . Ich sehe nicht ein, wie eine einfachere Lösung existieren kann, da die Formel für den angegebenen Winkel nicht algebraisch reduzierbar erscheint.

Entschuldigung, dass ich das Kopfgeld nicht vergeben habe, aber das war ziemlich kurz von dem, wonach ich gesucht habe. Ich habe jetzt die sauberen Ausdrücke gefunden, nach denen ich gesucht habe, und sie als Antwort hinzugefügt.
@EmilioPisanty keine Sorge, ich verstehe jetzt was du meinst (siehe Kommentar unter deiner Antwort).

Emilio Pisanty · Answer 2

Der sauberste Weg, dies zu tun, wird von Michael Berry in der Zeitung angeboten

Indexformeln für singuläre Polarisationslinien. MV Berry, J. Opt. A: Reine Appl. Opt. 6 , 675–678 (2004) , Autor eprint .

In Berrys Notation kann das elektrische Feld wie folgt geschrieben werden

E. = P. + ich Q. = e^{ich γ} (EIN + ich B.),

wo

P

P

P.

,

Q

Q

Q.

,

A

A

EIN

und

B

B

B.

sind reelle Vektoren,

A

A

EIN

und

B

B

B.

sind jeweils die Haupt- und Nebenachse der Polarisationsellipse, und diese beiden werden bis zu einem Vorzeichen durch definiert

A \cdot B = 0

A \cdot B = 0

EIN \cdot B. = 0

und

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| A | \geq | B |

| EIN | \geq | B. |

. Mit dieser Notation werden die Polarisationsachsen und die Phase definiert als

γ = \frac{1}{2} \arg (E. \cdot E.) und EIN + ich B. = \frac{\sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}}}{| \sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} |} E.,

oder mit anderen Worten

EIN = \frac{1}{| \sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} |} R. e [\sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} E.]] und B. = \frac{1}{| \sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} |} ich m [\sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} E.]] .

Es gibt eine offensichtliche Mehrdeutigkeit der Zeichen, wenn beide umgedreht werden

A

A

EIN

und

B

B

B.

und hinzufügen

π

π

π

zu

γ

γ

γ

ändert nichts (dh das Drehen der Polarisationsellipse um 180 ° entspricht dem Hinzufügen einer Phase), was sich in den Verzweigungsschnitten sowohl der Argument- als auch der Quadratwurzelfunktion widerspiegelt. Diese greifen natürlich ineinander, solange beide Astschnitte auf demselben Schnitt ausgeführt werden, idealerweise entlang der negativen realen Achse.

Als weiterer kniffliger Punkt sollte man beachten, dass diese Formeln nicht definiert sind, wenn $E \cdot E = 0$ $E \cdot E = 0$ $E. \cdot E. = 0$ , was einer zirkularen Polarisation entspricht; in diesem Fall sowohl die Polarisationsachsen als auch die Phase $γ$ $γ$ $γ$ an der Hauptachse sind schlecht definiert, so dass dies kein Problem ist.

Als zusätzlichen Bonus gibt dieser Ansatz natürlich auch die Richtung der Normalen zur Ebene der Polarisationsellipse in der Form an

C. = \frac{1}{2} ich m ({E.}^{*} \times E.) = P. \times Q. = EIN \times B.,

wo das Kreuzprodukt

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

E^{*} \times E

{E.}^{*} \times E.

ist natürlich imaginär, da sein Konjugat minus sich selbst ist. Dies wird natürlich verschwinden, wenn

E

E

E.

und

E^{*}

E^{*}

E^{*}

E^{*}

{E.}^{*}

(oder

P

P

P.

und

Q

Q

Q.

) sind linear abhängig, was einer linearen Polarisation entspricht; in diesem Fall,

B

B

B.

wird verschwinden, weil

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{E^{*} \cdot E^{*}} E

\sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} E.

ist natürlich echt.

Berry Credits

Polarisationssingularitäten in paraxialen Vektorfeldern: Morphologie und Statistik. MR Dennis, Opt. Kommun. 213 , 201–21 (2002) , eprint .

für diese Form und diese Referenz enthält einen umfassenderen Beweis dafür, wie und warum die Zerlegung funktioniert.

Dies ist in der Tat ziemlich einfach, sobald Sie erkennen, dass die Zerlegung als $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E = e^{i γ} (A + i B)$ $E. = e^{ich γ} (EIN + ich B.)$ muss wie oben vorhanden sein, da sich unter diesen Bedingungen das Punktprodukt auf reduziert

E. \cdot E. = e^{2 ich γ} (EIN + ich B.) \cdot (EIN + ich B.) = e^{2 ich γ} ({EIN}^{2} - - {B.}^{2}),

wo

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

A^{2} - B^{2}

{EIN}^{2} - - {B.}^{2}

ist real und positiv, daher ergibt die Argumentation beider Seiten natürlich die Phase als

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E \cdot E) .

2 γ = \arg (E. \cdot E.) .

In ähnlicher Weise kehrt die Annahme des Moduls dieser Gleichung zurück

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

A^{2} - B^{2} = | E \cdot E |

{EIN}^{2} - - {B.}^{2} = | E. \cdot E. |

, so können wir einfach den Phasenfaktor als erhalten

e^{2 ich γ} = \frac{E. \cdot E.}{{EIN}^{2} - - {B.}^{2}} = \frac{E. \cdot E.}{| E. \cdot E. |}, damit e^{ich γ} = \frac{\sqrt{E. \cdot E.}}{| \sqrt{E. \cdot E.} |}, und deshalb e^{- - ich γ} = \frac{\sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}}}{| \sqrt{{E.}^{*} \cdot {E.}^{*}} |};;

die Charakterisierung für

A + i B

A + i B

EIN + ich B.

dann folgt aus

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E = e^{i γ} (A + i B)

E. = e^{ich γ} (EIN + ich B.)

durch einfaches Teilen durch

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{i γ}

e^{ich γ}

.

Das ist fair, ich kann sehen, wie ordentlich das ist. Anfangs schien es mir nur ein geometrisches Problem zu sein, weshalb ich mit einer ziemlich kurzen Antwort antwortete. Ich denke auch, dass Ihre Lösung hier durch den intelligenten Einsatz von Parametrisierung und komplexen Operationen mehr physische Einblicke bietet. Deshalb +1 von mir

LedHead · Answer 3

Ich denke, Sie können dies mit einer Singularwertzerlegung erreichen. Ich werde mit dem Schreiben beginnen $E$ $E$ $E.$ in der folgenden Form

$E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E = E_{x} \hat{x} + E_{y} \hat{y} = E_{u} \hat{u} + E_{v} \hat{v}$ $E. = {E.}_{x} \hat{x} + {E.}_{y} \hat{y} = {E.}_{u} \hat{u} + {E.}_{v} \hat{v}$

wo $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ $E_{x}$ ${E.}_{x}$ und $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ $E_{y}$ ${E.}_{y}$ sind komplexe Zahlen bekannt. Im Allgemeinen $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ $E_{x} E_{y}^{*} \neq 0$ ${E.}_{x} {E.}_{y}^{*} \neq 0$ , aber wir wollen $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ ${E.}_{u} {E.}_{v}^{*} = 0$ . Wir können dies in Matrixform schreiben als

$(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) (\begin{matrix} {E.}_{x} \\ {E.}_{y} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) (\begin{matrix} {E.}_{u} \\ {E.}_{v} \end{matrix})$

Wir sollten schreiben können

$(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T}$ $(\begin{array}{cc} \hat{x} & \hat{y} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \hat{u} & \hat{v} \end{array}) Λ^{T.}$

wo $Λ$ $Λ$ $Λ$ ist eine reale orthogonale Matrix, die eine Drehung von Koordinatensystemen beschreibt. Es ist derzeit unbekannt. Da nehmen wir das an $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ und $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ $\hat{y}$ sind also orthogonal $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ und $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ wird auch orthogonal sein. Und wir können auch schreiben

$(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})$ $(\begin{matrix} {E.}_{x} \\ {E.}_{y} \end{matrix}) = EIN (\begin{matrix} 1 \\ ich \end{matrix})$

wo $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})$ $EIN = (\begin{array}{cc} ein & b \\ c & d \end{array})$ ist eine bekannte reale Matrix. Wir können uns zersetzen $A$ $A$ $EIN$ unter Verwendung einer Singularwertzerlegung

$A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $A = U S V^{T}$ $EIN = U. S. {V.}^{T.}$

wo $U$ $U$ $U.$ , $S$ $S$ $S.$ , und $V$ $V$ $V.$ sind echte Matrizen. $U$ $U$ $U.$ und $V$ $V$ $V.$ sind orthogonale Matrizen und $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})$ $S. = (\begin{array}{cc} EIN & 0 \\ 0 & B. \end{array})$ wo $A$ $A$ $EIN$ und $B$ $B$ $B.$ sind positiv mit $A \geq B$ $A \geq B$ $EIN \geq B.$ .

Das alles ergibt

$Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T} U S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $Λ^{T.} U. S. {V.}^{T.} (\begin{matrix} 1 \\ ich \end{matrix}) = (\begin{matrix} {E.}_{u} \\ {E.}_{v} \end{matrix})$

Wenn wir uns entscheiden $Λ = U$ $Λ = U$ $Λ = U.$ , was gibt $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ $\hat{u}$ und $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ $\hat{v}$ , dann reduziert sich dies auf

$S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S V^{T} (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{u} \\ E_{v} \end{matrix})$ $S. {V.}^{T.} (\begin{matrix} 1 \\ ich \end{matrix}) = (\begin{matrix} {E.}_{u} \\ {E.}_{v} \end{matrix})$

Schon seit $V$ $V$ $V.$ ist eine orthogonale Matrix, so ist es auch $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ $V^{T}$ ${V.}^{T.}$ , und $S$ $S$ $S.$ ist diagonal und real, also $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ $E_{u} E_{v}^{*} = 0$ ${E.}_{u} {E.}_{v}^{*} = 0$ .

Ich habe das in Eile aufgeschrieben, also habe ich vielleicht etwas verpasst oder war ungenau. Ich entschuldige mich, wenn das der Fall ist.

Wie kann ich die Achsen der Polarisationsellipse aus dem Jones-Vektor des Lichts erhalten?

Emilio Pisanty

CR Drost

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Jack

Antworten (3)

Wolpertinger

Emilio Pisanty

Wolpertinger

Emilio Pisanty

Wolpertinger

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LedHead

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