Lösen Sie die Bewegung der rotierenden Stange nur nach Newtons Gesetzen?

Ich habe eine Frage, die mich seit Jahren beschäftigt.

Gegeben ist ein Stab mit gleichmäßiger Massenverteilung mit Gesamtmasse M M und Länge L L das liegt auf einem horizontalen Tisch (mit einem Ende, das am Tisch befestigt ist, um den sich die Stange in der horizontalen Ebene frei drehen kann, und einer Kraft F, die senkrecht auf die Stange am anderen Ende wirkt), wie löst man die Bewegung von die Stange (und die inneren Kräfte) nur nach Newtons Gesetzen und der Annahme, dass die Stange ein rotierender starrer Körper ist? Damit meine ich, nur die grundlegendste Konzeption der Newtonschen Gesetze und der Beschränkungen des Systems zu verwenden, ohne die Ideen von Drehmoment und Trägheitsmoment, Energie und Impuls und sogar ohne die Idee, dass die Nettokraft auf den Stab die Beschleunigung des Zentrums ergibt der Masse - also nur mit Newtons Gesetzen für Punktteilchen, oder in diesem Fall infinitesimal d m d m Abschnitte der Stange.

Ich habe versucht, dies zu lösen, indem ich die Stange in diese kleinen Teile zerlegte d m d m Komponenten und unter Verwendung einer Idee, die ich gesehen habe (zumindest glaube ich, dass ich gesehen habe), wo Sie gesetzt haben F ( x + d x ) - F ( x ) = d m ( a ) F ( x + d x ) - F ( x ) = d m ( ein ) und dann in der Lage zu finden F ′ ( x ) F ′ ( x ) und integrieren und dann die Randbedingungen auf die Kraft anwenden. Ich habe dies sowohl für tangentiale als auch für radiale Komponenten durchgeführt, wobei die radiale Beschleunigung gleich war x ( ω ( t ) ) 2 x ( ω ( t ) ) 2 und tangentiale Beschleunigung gleich ω   ′ ( t ) x ω ′ ( t ) x , konnte aber nicht die richtige Antwort erhalten. Ich habe die Kraft an einem Ende der Stange als Randbedingung verwendet (ist das richtig?), Konnte aber nicht einmal die Kraft am Drehpunkt ermitteln, geschweige denn die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit und habe keine Ahnung, ob Diese Technik ist sogar gültig. Ab einem bestimmten Punkt kann es sein, dass meine Kraftgleichung das Vorzeichen wechselt, da die Nettokraft, die die infinitesimale Masse beschleunigt, von innen nach außen kommt.

Es würde mich auch interessieren, allgemeiner zu wissen, wie man die inneren Kräfte und die Bewegung eines starren Körpers unter Verwendung nur dieser grundlegendsten Annahmen löst, beispielsweise für ein freies gleichförmiges Quadrat auf einem horizontalen Tisch mit einer Kraft, die senkrecht auf eine Seite in eine Seite wirkt Ecke.

Warum willst du die "totale Kraft" finden? Noch wichtiger ist, was genau beinhaltet die totale Kraft (da wir das Konzept des Massenzentrums nicht anwenden sollen)?
Entschuldigung, ich habe offensichtlich keine Ahnung, wovon ich spreche. Ich denke, ich meine stattdessen, dass ich versucht habe, die Randbedingung für die Kraft an einem Ende zu integrieren und zu verwenden, obwohl ich keine Ahnung habe, ob dies gültig ist. Ich werde bearbeiten.
Die innere Kraft ist die Spannung in der Stange, und der Punkt am Drehpunkt würde keine Kraft benötigen (er bewegt sich nicht). Die tangentialen Beschleunigungen würden tangentiale Kräfte erfordern.
Ja, das ist ein Teil dessen, was mich verwirrt hat. Es gibt offensichtlich keine Nettokraft auf die Spitze der Stange am Drehpunkt, aber ich denke, es gibt eine innere Kraft, die eine Tangentialkraft ist, die einen infinitesimalen Abstand entfernt ist und der Kraft des Drehpunkts auf die Stange genau entgegenwirkt. Ich bin mir aber nicht sicher, wie all diese internen und externen Kräfte bei der Integration des Ausdrucks ins Spiel kommen ... Sind das die Grenzwerte? Muss ich überhaupt integrieren?
Können wir also das Ergebnis von Drehmoment und Trägheitsmoment ableiten und dann weitermachen?

Antworten (4)

Bei einem General θ θ ,

Es ist leicht zu erkennen, da sich der Stab nicht verformt. Die Geschwindigkeit der Partikel muss proportional zu ihrem Abstand vom Zentrum sein.

Lassen ω ( t ) ω ( t ) sei die Konstante, die hier involviert ist.

p ( t ) = ∑ m ich v ich = ∑ m ich ω r ich p ( t ) = ∑ m ich v ich = ∑ m ich ω r ich

Beachten Sie, dass sich alle Partikel in die gleiche Richtung bewegen.

p ( t ) = ∫ l 0 ω r d m = ∫ l 0 ω r m d r / l = ωml / 2 p ( t ) = ∫ 0 l ω r d m = ∫ 0 l ω r m d r / l = ω m l / 2

Rechtzeitig d t d t ein Teilchen bedeckt ω r d t ω r d t Entfernung. Und daher d θ = ω d t d θ = ω d t

Sie können das Newtonsche Gesetz für beide Achsen anwenden und vergessen nicht, die Kraft zu berücksichtigen, die durch den Drehpunkt bereitgestellt wird.

Sie haben drei Unbekannte: N x , N y , θ ( t ) N x , N y , θ ( t )

Beachten Sie, dass für eine bestimmte Kraft auf ein Partikel,

F = ma = m v d v d x ⟹ F ⃗ ⋅ d x ⃗ = m v d v F = m ein = m v d v d x ⟹ F → ⋅ d x → = m v d v

Kombiniere dies für alle Partikel und das Punktprodukt von N Kräften ist Null, da dieser Punkt in Ruhe ist. Dies wird nachgeben d ( K E ) d ( K E ) beim Hinzufügen.

Daher,

F l d θ = d ( K E ) F l d θ = d ( K E )

Berechnen Sie KE mit der Integrationsmethode.

Sie haben drei Unbekannte und drei Gleichungen.

Wir gehen davon aus, dass der Stab als gerader Abschnitt mit dem Drehwinkel betrachtet werden kann φ φ als einziger Freiheitsgrad. Wir verwenden den Pivot als Ursprung. Mit diesen Annahmen kann der Balken als beschrieben werden

z ( s , t ) = s exp ( i φ ( t ) ) . z ( s , t ) = s exp ⁡ ( ich φ ( t ) ) .
in der komplexen Ebene mit s ∈ [ 0 , l ] s ∈ [ 0 , l ] . Daraus können wir leicht die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Balkenpunkte berechnen:
z ˙ ( s , t ) z ¨ ( s , t ) = i s exp ( i φ ( t ) ) φ ˙ ( t ) = s exp ( i φ ( t ) ) ( - φ ˙ ( t ) 2 + i φ ¨ ( t ) ) z ˙ ( s , t ) = ich s exp ⁡ ( ich φ ( t ) ) φ ˙ ( t ) z ¨ ( s , t ) = s exp ⁡ ( ich φ ( t ) ) ( - φ ˙ ( t ) 2 + ich φ ¨ ( t ) )

Wie Sie sagen, kennen wir die Kraft, die auf das äußere Lenkerende ausgeübt wird. Nennen wir es F l ( t ) F l ( t ) .

Da Sie sich nicht mit Elastizitäten befassen möchten, haben Sie Einschränkungen und müssen eines der Prinzipien der Mechanik für eingeschränkte Systeme anwenden. Dies ist so nah wie möglich an Newtons Prinzipien für ein System mit Einschränkungen . Es hat die Interpretation, dass Newtons Gesetz in Richtung des Freiheitsgrades gültig sein muss. In allen anderen Richtungen gibt es Zwangskräfte, die das System innerhalb der Zwänge halten. Wenn Sie eines der Prinzipien der Mechanik nicht anwenden möchten, müssen Sie den vollen 3D-Balken mit elastischen Kräften betrachten und möglicherweise die Grenze für eine starre Stange ziehen. Eine gute Beschreibung dieser Prozedur finden Sie im Arnolds-Buch für Punktmassensysteme. Ich wende hier das Prinzip von d'Alembert an. Zum Glück brauchen wir die Schwenkkraft nicht zu berücksichtigen, da dort die virtuelle Verschiebung erfolgt δ z ( s , φ ) = s exp ( i φ ( t ) ) i δ φ δ z ( s , φ ) = s exp ⁡ ( ich φ ( t ) ) ich δ φ ist Null wegen s = 0 s = 0 Dort.

0 = ∫ l s = 0 ⟨Δ z ( s , φ ( t ) ) ∣ - z ¨ ( s , φ ( t ) ) ⟩ m l d s + ⟨δ z ( l , φ ( t ) ) ∣ F l ( t ) ⟩ 0 = ∫ s = 0 l ⟨ δ z ( s , φ ( t ) ) ∣ - z ¨ ( s , φ ( t ) ) ⟩ m l d s + ⟨ δ z ( l , φ ( t ) ) ∣ F l ( t ) ⟩
Damit, ⟨⟨∣ ∙ ∙ ⟨ ∙ ∣ ∙ ⟩ ist das normale Skalarprodukt von R 2 R 2 die berechnet werden kann als ⟨A ∣ b⟩ = R ( a ∗ ⋅ b ) = a x b x + a y b y ⟨ ein ∣ b ⟩ = ℜ ( ein ∗ ⋅ b ) = ein x b x + ein y b y .
0 0 = R ( ∫ l 0 ( s exp ( - i φ ( t ) ) ( - i ) δ φ ⋅ ( - s exp ( i φ ( t ) ) ( - φ ˙ ( t ) 2 + i φ ¨ ( t ) ) ) ) m l d s + ( l exp ( - i φ ( t ) ) ( - i ) δ φ ⋅ F l ( t ) ) ) = δ φ ⋅ ( - φ ¨ ( t ) ml 2 3 + l R ( - i exp ( - i φ ( t ) ) F l ( t ) ) ) 0 = ℜ ( ∫ 0 l ( s exp ⁡ ( - ich φ ( t ) ) ( - ich ) δ φ ⋅ ( - s exp ⁡ ( ich φ ( t ) ) ( - φ ˙ ( t ) 2 + ich φ ¨ ( t ) ) ) ) m l d s + ( l exp ⁡ ( - ich φ ( t ) ) ( - ich ) δ φ ⋅ F l ( t ) ) ) 0 = δ φ ⋅ ( - φ ¨ ( t ) m l 2 3 + l ℜ ( - ich exp ⁡ ( - ich φ ( t ) ) F l ( t ) ) )
Diese Gleichung muss für alle virtuellen Verschiebungen gültig sein δ φ δ φ , z.B δ φ = 1 δ φ = 1 was uns die Bewegungsgleichung gibt
φ ¨ ( t ) ml 2 3 = l R ( - i exp ( - i φ ( t ) ) F l ( t ) ) φ ¨ ( t ) m l 2 3 = l ℜ ( - ich exp ⁡ ( - ich φ ( t ) ) F l ( t ) )
Betrachten wir eine Kraft F l ( t ) F l ( t ) das wirkt immer orthogonal zum Balken und hat einen konstanten absoluten Wert F ^ F ^ . Wir wählen die Ausrichtung der Kraft so, dass sie die Stange in mathematisch positive Richtung treibt. Es kann dargestellt werden als
F l ( t ) = i F ^ exp ( i φ ( t ) ) F l ( t ) = ich F ^ exp ⁡ ( ich φ ( t ) )
Damit bekommen wir
φ ¨ ( t ) ml 2 3 = 1 R ( F ^ ) = 1 F ^ . φ ¨ ( t ) m l 2 3 = l ℜ ( F ^ ) = l F ^ .
Der Balken wurde als Liniensegment modelliert, um die Berechnung zu vereinfachen. Die Beschränkung der Bewegung auf eine Ebene ist eine weitere Vereinfachung.

Das allgemeine Starrkörpermodell ist eine Domäne B ⊂ R 3 B ⊂ R 3 eingebettet durch eine Starrkörperbewegung

r ⃗ ( r ⃗ L t ) = r ⃗ 0 ( t ) + R ( t ) ⋅ r ⃗ L r → ( r → L , t ) = r → 0 ( t ) + R ( t ) ⋅ r → L
mit r ⃗ L ∈ B r → L ∈ B . Damit, r ⃗ L r → L sind Punktkoordinaten im Bezugssystem des starren Körpers und (der Einfachheit halber) R R ist eine Rotationsmatrix (mit R R T = 1 R R T = 1 und det ( R ) = 1 det ⁡ ( R ) = 1 ). Lassen F ⃗ k F → k werden äußere Kräfte auf den Körper an Punkten eingeprägt r ⃗ L k r → k L ( k = 1 , … , n ) ( k = 1 , … , n ) . Die entsprechenden Punkte im Raum sind r ⃗ k = r ⃗ 0 + R r ⃗ L k r → k = r → 0 + R r → k L .

Die Variation von r ⃗ 0 r → 0 ist δ r ⃗ 0 δ r → 0 .

Wir betrachten die Variation von R R etwas enger. Die Ableitung von R R T = 1 R R T = 1 gibt

0 = δ ( 1 ) = δ ( R ⋅ R T ) = δ R ⋅ R T + R ≤ δ R T . 0 = δ ( 1 ) = δ ( R ⋅ R T ) = δ R ⋅ R T + R ⋅ δ R T .
Das heißt die Matrix
δ Φ : = δ R ⋅ R T = - R ⋅ δ R T = - ( δ R ⋅ R T ) T δ Φ : = δ R ⋅ R T = - R ⋅ δ R T = - ( δ R ⋅ R T ) T
ist schiefsymmetrisch und hat daher nur 3 relevante Komponenten δ φ 1 : = δ Φ 32 , δ φ 2 : = δ Φ 13 , δ φ 3 : = δ Φ 21 δ φ 1 : = δ Φ 32 , δ φ 2 : = δ Φ 13 , δ φ 3 : = δ Φ 21 . Mit dem Vektor δ φ ⃗ : = ( δ φ 1 , δ φ 2 , δ φ 3 ) δ φ → : = ( δ φ 1 , δ φ 2 , δ φ 3 ) dieser drei relevanten Komponenten das Produkt von δ Φ δ Φ mit einem beliebigen Vektor ein ⃗ ein → kann als Kreuzprodukt dargestellt werden
δ Φ Φ a ⃗ = δ φ ⃗ × a ⃗ . δ Φ ⋅ ein → = δ φ → × ein → .
Nun können wir die virtuelle Verschiebung der Starrkörperbewegung berechnen
δ r ⃗ ( r ⃗ L ) = δ r ⃗ 0 + δ R r ⃗ L δ r → ( r → L ) = δ r → 0 + δ R r → L
Erweitern mit dem Faktor 1 = R T R 1 = R T R gibt
δ r ⃗ ( r ⃗ L ) = δ r ⃗ 0 + δ R R T R r ⃗ L = δ r ⃗ 0 + δ φ ⃗ × R r ⃗ L δ r → ( r → L ) = δ r → 0 + δ R R T R r → L = δ r → 0 + δ φ → × R r → L
Auf die gleiche Weise können wir die Geschwindigkeit der Körperpunkte berechnen
v ⃗ ( r ⃗ L , t ) : = r ⃗ ˙ ( r ⃗ L t ) = r ⃗ ˙ 0 + R ˙ r ⃗ L = v ⃗ 0 + ω ⃗ × R r ⃗ L v → ( r → L , t ) : = r → ˙ ( r → L , t ) = r → ˙ 0 + R ˙ r → L = v → 0 + ω → × R r → L
mit ω ⃗ × ( R r ⃗ L ) : = R ˙ R T ( R r ⃗ L ) ω → × ( R r → L ) : = R ˙ R T ( R r → L ) . Alemberts Prinzip gibt
0 = d d t ∫ r ⃗ L ∈ B δ r ⃗ ( r ⃗ L ) T ⋅ ( - ρ v ⃗ ( r ⃗ L , t ) ) ⋅ d V + ∑ k = 1 n δ r ⃗ k ⋅ F ⃗ k 0 = d d t ∫ r → L ∈ B δ r → ( r → L ) T ⋅ ( - ρ v → ( r → L , t ) ) ⋅ d V + ∑ k = 1 n δ r → k ⋅ F → k
Das Einfügen aller Bits ergibt:
d d t ∫ r ⃗ L ∈ B ( δ r ⃗ 0 + δ φ ⃗ × R r ⃗ L ) T ⋅ ( v ⃗ 0 + ω ⃗ × R r ⃗ L ) ⋅ ρ d V - ∑ k = 1 n ( δ r ⃗ 0 + δ φ ⃗ × R r ⃗ L k ) T ⋅ F ⃗ k = 0 d d t ∫ r → L ∈ B ( δ r → 0 + δ φ → × R r → L ) T ⋅ ( v → 0 + ω → × R r → L ) ⋅ ρ d V - ∑ k = 1 n ( δ r → 0 + δ φ → × R r → k L ) T ⋅ F → k = 0
In Anbetracht dessen im Allgemeinen ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = a ⃗ ⋅ ( b ⃗ × c ⃗ ) ( ein → × b → ) ⋅ c → = ein → ⋅ ( b → × c → ) Man erhält
δ r ⃗ T 0 ⋅ ( d d t ∫ r ⃗ ∈ B ( v ⃗ 0 + ω ⃗ × R r ⃗ L ) ⋅ ρ d V - ∑ k F ⃗ k ) + δ φ ⃗ T ⋅ ( d d t ∫ r ⃗ ∈ B ( R r ⃗ L ) × ( v ⃗ 0 - ( R r ⃗ L ) × ω ⃗ ) ρ d V - ∑ k ( R r ⃗ L k ) × F ⃗ k ) = 0 δ r → 0 T ⋅ ( d d t ∫ r → ∈ B ( v → 0 + ω → × R r → L ) ⋅ ρ d V - ∑ k F → k ) + δ φ → T ⋅ ( d d t ∫ r → ∈ B ( R r → L ) × ( v → 0 - ( R r → L ) × ω → ) ρ d V - ∑ k ( R r → k L ) × F → k ) = 0
und mit J ( t ) : = ∫ r ⃗ ∈ B - ( R r ⃗ L ) × ( R r ⃗ L ) ρ d V J ( t ) : = ∫ r → ∈ B - ( R r → L ) × ( R r → L ) ρ d V und m : = ∫ r ⃗ ∈ B ρ d V m : = ∫ r → ∈ B ρ d V Man erhält
δ r ⃗ T 0 ⋅ ( d d t ( v ⃗ 0 + ω ⃗ × R r ⃗ L ) m - ∑ k F ⃗ k ) + δ φ ⃗ T ⋅ ( d d t ( m ( R r ⃗ L ) × v ⃗ 0 + J ( t ) × ω ⃗ ) - ∑ k ( R r ⃗ L k ) × F ⃗ k ) = 0 δ r → 0 T ⋅ ( d d t ( v → 0 + ω → × R r → L ) m - ∑ k F → k ) + δ φ → T ⋅ ( d d t ( m ( R r → L ) × v → 0 + J ( t ) × ω → ) - ∑ k ( R r → k L ) × F → k ) = 0
Da die Variationen von δ r ⃗ δ r → und δ φ ⃗ δ φ → sind voneinander unabhängig, müssen ihre Faktoren getrennt verschwinden und man erhält die bekannten Gleichungen
d d t ( v ⃗ 0 + ω ⃗ × R r ⃗ L ) m d d t ( m ( R r ⃗ L ) × v ⃗ 0 + J ( t ) × ω ⃗ ) = ∑ k F ⃗ k = ∑ k ( R r ⃗ L k ) × F ⃗ k d d t ( v → 0 + ω → × R r → L ) m = ∑ k F → k d d t ( m ( R r → L ) × v → 0 + J ( t ) × ω → ) = ∑ k ( R r → k L ) × F → k

Frage: Ich habe darüber nachgedacht. Hat die Beschränkung der Verwendung von Newtons Gesetzen etwas damit zu tun, dass der Stab ein eindimensionales Objekt in einer 2D-Ebene ist? Mein Lehrbuch zur Intromechanik belegt die Erhaltung des Drehimpulses unter der Annahme, dass die inneren Kräfte des starren Körpers im Mittelpunkt stehen. Aber ist das hier nur möglich, wenn sich der Balken biegt?
@ user47050 Das 1d-Objekt in der 2d-Ebene vereinfacht die Sache, ist aber für die Methode nicht wesentlich. Nun stelle ich in der Antwort den allgemeinen Fall eines 3d-starren Körpers im 3d-Raum vor. Könnten Sie etwas näher erläutern, was Sie mit dem zweiten Teil der Frage meinen? Ich verstehe noch nicht ganz, was Sie unter "Aber ist das hier nur möglich, wenn sich der Strahl biegt?"
@ user47050 Ich musste hier einige Bits korrigieren. Ich hatte nur begrenzte Zeit, um das Zeug zu schreiben. Ich denke, der Text macht zumindest deutlich, wie die Methode von der einfachen 1d-Stange in 2d auf die gesamte 3D-Starrkörperbewegung ausgedehnt werden kann. Hinterlasse einfach einen Kommentar, wenn etwas im Text nicht stimmt.

Ich kann Ihrem Ansatz nicht ganz folgen (zum Beispiel verstehe ich nicht was w ( t ) w ( t ) ist), aber hier sind einige Kommentare.

In Ihrem Ansatz jeweils d m d m muss eine Kraft auf seine Nachbarn anwenden d m d m . Normalerweise würde man die Stange als ein durchgehendes elastisches Material mit geeigneten elastischen Parametern, also der Kraft einer, betrachten d m d m auf einen anderen wäre eine elastische Kraft. Ich nehme an, Sie wollen mikroskopischer werden.

Ein mögliches Modell: Nehmen Sie Ihre Rute als ein Kugel-und-Masse -loses-Stab-System mit einer steifen, wiederherstellenden Biegekraft zwischen benachbarten Kugelpaaren, um den Biegemodul (wenn das das richtige Wort ist) in einer echten Rute zu modellieren. Sie müssen vorsichtig sein, um diese Biegekraft richtig einzustellen, wenn sich die Stange dreht. Fixieren Sie die Länge der Stangen zur Vereinfachung. Wenden Sie Ihre äußere Kraft auf die erste Kugel an, fixieren Sie die Position der letzten Kugel, entfernen Sie jedoch die Biegekraft, damit sich die Kugel drehen kann. Das Problem wird dann ein großer Satz gekoppelter Gleichungen. Es klingt chaotisch und kompliziert, aber machbar für mich.

Später können Sie verallgemeinern, indem Sie die Bedingung entfernen, dass die Länge der Stangen festgelegt ist. Fügen Sie eine zusätzliche Rückstellkraft hinzu, um den Elastizitätsmodul zu modellieren.

Dieses Problem lässt sich leichter simulieren als lösen. In der Tat ist hier eine Simulation genau Ihres Problems , mit der Ausnahme, dass das "entfernte Ende" der Stange frei ist und nicht an einem Drehpunkt befestigt ist. (Läuft nicht mit Chrome auf meinem MacBook. Läuft mit Firefox.) Es ist in GlowScript geschrieben und basiert auf VPython , einem wunderbaren Tool für Physiksimulationen.

Entschuldigung, ich das als Winkelgeschwindigkeit, aber wie wir sehen können, bin ich ein Idiot, der nicht weiß, wie man ein Omega schreibt.

Nehmen Sie ein Koordinatensystem mit Ursprung am fixierten Ende, wo sich der Stab entlang der horizontalen Achse befindet, und geben Sie dort eine Kraft vor F F am anderen Ende angewendet x = ℓ x = ℓ .

Jeder Abschnitt der Stange hat ein Kräftegleichgewicht

d S = y ¨ d m d M = S d x d S = y ¨ d m d M = S d x
Betrachtet man nur lineare Masseneffekte. S S ist die innere Scherkraft und M M der innere Moment, y ¨ = x θ ¨ y ¨ = x θ ¨ ist die lineare Beschleunigung des Stangensegments und m m ist die Gesamtmasse der Stange. Beachten Sie, dass d m = m ℓ d x d m = m ℓ d x

Als Differentialgleichung gilt:

d S d x = m ℓ x θ ¨ d S d x = m ℓ x θ ¨
d M d x = S d M d x = S

Das Obige wird mit den Randbedingungen gelöst S ( x = ℓ ) = F S ( x = ℓ ) = F und M ( x = ℓ ) = 0 M ( x = ℓ ) = 0 wie

S = F + m ( ℓ 2 - x 2 2 ℓ ) θ ¨ S = F + m ( ℓ 2 - x 2 2 ℓ ) θ ¨
M = F ( ℓ - x ) + m ( ℓ 2 3 - ℓ x 2 + x 3 6 ℓ ) θ ¨ M = F ( ℓ - x ) + m ( ℓ 2 3 - ℓ x 2 + x 3 6 ℓ ) θ ¨

Die Reaktionskraft, mit der der Stift gefunden wird S ( x = 0 ) = F + m ℓ 2 θ ¨ S ( x = 0 ) = F + m ℓ 2 θ ¨ und die Kraftbeschleunigungsbeziehung (wonach Sie suchen) wird ermittelt, indem festgestellt wird, dass am Stift kein Reaktionsdrehmoment vorhanden ist :

M ( x = 0 ) = 0 } F = m ℓ 3 θ ¨ M ( x = 0 ) = 0 } F = m ℓ 3 θ ¨

Die Gleichung wird normalerweise als das aufgebrachte Drehmoment von ausgedrückt τ = F ℓ τ = F ℓ wie

τ = Ich p i n θ ¨ ich p i n = m ℓ 2 3 τ = ich p ich n θ ¨ ich p ich n = m ℓ 2 3

Wir haben also das Massenträgheitsmoment eines Stabs, der an einem Ende nur mit linearer Masse befestigt ist, in a abgeleitet d S = d m y ¨ d S = d m y ¨ Kraftausgleichsbeziehung.

Haben Sie den folgenden Teil der Frage gelesen? "Damit meine ich nur die grundlegendste Auffassung von Newtons Gesetzen und den Beschränkungen des Systems, ohne die Ideen von Drehmoment und Trägheitsmoment, Energie und Impuls und sogar ohne die Idee, dass die Nettokraft auf die Stange die Beschleunigung der Schwerpunkt - also nur Newtons Gesetze für Punktteilchen verwenden, oder in diesem Fall infinitesimale dm-Abschnitte des Stabes. "
Und dann geht er und zerlegt die Stange in d m d m Abschnitt und geht von dort aus. Ich denke also, die Frage ist inkonsistent.
Ja, das Gleichgewicht des Impulses gehört axial zur Kontinuumsmechanik. Dies alles impliziert die Symmetrie des Spannungstensors. Aus diesem Grund habe ich mich in meiner Antwort mit einem der Prinzipien der Mechanik befasst, bei dem man die explizite Berechnung von Zwangskraftgrößen (wie dem Spannungstensor) vermeiden kann. Vielleicht ist es ein fauler Kompromiss ... Trotzdem mag ich die Frage, weil sie einen dazu zwingt, über das Zeug nachzudenken.
Hey, mir ist klar, dass dies Monate zu spät ist, aber ich habe möglicherweise das Problem mit meiner Frage und meinem Denken erkannt. Ich weiß nicht, ob ich Recht habe, aber ich glaube, mein Problem bestand darin, dass alle Annahmen des starren Körpers (wie die Wechselwirkung verschiedener Körperteile durch die Kraft, die entlang der Verschiebung verläuft, die sie verbindet) gelten, wenn Sie eine 1D haben Objekt im 2D-Raum. Daher ist ein Teil des Grundes, warum die Verwendung von Newtons Gesetzen keinen Sinn ergibt.
Die Newtonschen Gesetze gelten nur für Punktmassen. Sie benötigen die Drehgesetze von Euler für starre Körperbewegungen. Wenn der Raum 2D oder 3D ist, spielt es keine Rolle.
Lösen Sie die Bewegung der rotierenden Stange nur nach Newtons Gesetzen?
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