Warum kann die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens nicht explizit von der Position oder der Zeit abhängen?

Auf P. 5 Zoll § 3 des Buches der Mechanik von Landau & Lifshitz wird behauptet, dass

[...] für ein freies Teilchen impliziert die Homogenität von Raum und Zeit, dass Lagrange nicht explizit von Ort oder Zeit abhängen kann.[...]

Nach meinem Verständnis ist die Lagrange-Funktion eines Systems jedoch die Funktion, die die Bewegungsgleichung bestimmt, dh angesichts der Anfangsbedingungen und der Lagrange-Funktion des Systems können wir die zukünftige Konfiguration des Systems bestimmen, wie im Fall des zweiten Newtonschen Gesetzes .

Wir wissen jedoch auch, dass sich die Bewegungsgleichung nicht ändert, wenn wir eine Konstante zu unserem Lagrange oder einer Zeitableitung einer Funktion von Ort und Zeit hinzufügen, daher erhalten wir einen "äquivalenten" Lagrange in dem Sinne, dass beide Funktionen führen uns zu der gleichen Schlussfolgerung über die Dynamik des vorliegenden Systems.

Angesichts dessen kann ich nicht verstehen, warum die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens nicht explizit von der Position oder Zeit abhängen kann.

Ich meine, es ist klar, dass wir in diesem Fall einen einfachen Lagrange-Operator haben, der alle Eigenschaften erfüllt, die Sie von ihm erwarten würden. warum dies jedoch der einzige Fall ist, den ein freies Teilchen als Lagrange haben kann.

Hinweis: Ich habe diese Frage gelesen , aber ich kann immer noch nicht verstehen, warum der Ursprung in diesem Fall einen privilegierten Status haben würde.

Können Sie zeigen, wie das Hinzufügen Ihrer vorgeschlagenen Abhängigkeiten von Position und Zeit zu denselben Gleichungen bei Bewegung führt? Ich bin mir nicht sicher, ob ich dir folge.
@AaronStevens Ich behaupte so etwas nicht. Ich sage nur, dass ich nicht sehen kann, wie eine Positions- oder Zeitabhängigkeit in unserem Lagrange zu einer Kontraktion oder einer Verletzung eines unserer Prinzipien führen kann.
@AaronStevens Ich meine zum Beispiel, wenn wir eine Differentialgleichung zur Hand haben, können Sie das sagen F ( X ) ist eine Lösung dieses DE, aber es bedeutet nicht, dass es die einzige Lösung ist. Ähnlich sehe ich das K ( v 2 ) ist ein schöner Lagrange für das freie Teilchen möglich, aber warum kann kein anderer Lagrange nicht möglich sein?

Antworten (2)

Auf ein freies Teilchen wirken keine äußeren Kräfte. Daher bleiben Impuls und Energie erhalten. Nach dem Satz von Noether bedeutet dies, dass das System eine räumliche und zeitliche Translationssymmetrie hat. Wenn die Lagrange-Funktion eine explizite Positions- oder Zeitabhängigkeit hat, kann dies nicht der Fall sein.

Beachten Sie auch, dass das Hinzufügen einer Konstante zum Lagrange nicht dasselbe ist wie das Hinzufügen einer expliziten Positions- oder Zeitabhängigkeit.

Letztendlich scheint es, als würde das Buch eher ein physikalisches als ein mathematisches Argument vorbringen. Es gibt Transformationen, die am Ende dieselben Bewegungsgleichungen ergeben, aber wenn Sie die Lagrange-Funktion als Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie interpretieren möchten, möchten Sie keine explizite Positions- und Zeitabhängigkeit. Gäbe es diese Abhängigkeit, dann würde das bedeuten, dass das Teilchen nicht mehr frei ist.

Alter, ich bin am Anfang des Buches. Nach der Theorie, die ich bisher entwickelt habe, gibt es keine Noether-Theorie, weder Energie noch Impuls.
@onurcanbektas Ich habe weitere Informationen hinzugefügt.
Zwei äquivalente Lagrange-Operatoren können sich jedoch durch einige Funktionen unterscheiden D F ( X , T ) / D T , und in einem solchen Fall ∂ L ( v ) D X = 0 , Aber ∂ L ( X , v , T ) ' D T = ∂ [ L ( v ) + D F ( X , T ) / D T ] ∂ X ≠ 0 .
@onurcanbektas sagst du weil D F D T hat ein X ˙ Abhängigkeit?
Nicht X ˙ , Aber X .
@onurcanbektas D F D T = ∂ F ∂ X X ˙ + ∂ F ∂ T
Kleiner Kommentar zur Antwort (v6): Das scheint das inverse Noethersche Theorem zu sein.
@Qmechanic Ich habe mehr in die Richtung gedacht, wenn es eine Abhängigkeit von diesen Variablen gibt, muss es mit etwas interagieren.

Ich werde versuchen, Fachjargon zu vermeiden: Wenn die Lagrange-Funktion explizit unabhängig von einer Koordinate wie Ort oder Zeit ist, dann bleiben die entsprechenden kanonischen Impulse dieser Koordinate erhalten. Auf ein freies Teilchen wirken also keine äußeren Kräfte, also hat die Lagrange-Funktion nur einen kinetischen Energieterm, der nur von der Geschwindigkeit des Teilchens abhängt. Somit wird Energie konserviert, weil die Zeit nicht in der Lagrange-Funktion erscheint, und linearer Impuls wird konserviert, weil die Position nicht in der Lagrange-Funktion erscheint.

Wie Sie sagten, können Sie eine Zeitableitung einer Funktion hinzufügen, die die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt, aber dies gewährt Ihnen nicht das Privileg, eine explizite Zeit- oder Positionsabhängigkeit aufzuerlegen.

warum dies jedoch der einzige Fall ist, den ein freies Teilchen als Lagrange haben kann.

Ich denke, dies ist eine viel tiefere Frage, als Sie vielleicht erkennen: Wie sich herausstellt, sind Lagrange-Operatoren im Allgemeinen mathematisch nicht eindeutig, aber in Bezug auf die Erstellung der richtigen Bewegungsgleichungen für einige Systeme funktionieren nur bestimmte Lagrange-Operatoren. Es ist ein offenes Problem der theoretischen Physik, die Frage zu beantworten: "Warum diese Langrangianer für diese Systeme?" und es gibt derzeit keine offensichtliche Antwort darauf, außer dass es bei der Erstellung der korrekten Bewegungsgleichungen funktioniert (experimentell verifiziert).

In Bezug auf Ihren ersten Absatz versucht das Buch, die Form des Lagraians eines freien Teilchens zu verstehen, und wir am Anfang des Buches; Ihr Argument hängt von Dingen ab, die entwickelt werden, also ist Ihr Argument in gewisser Weise ein Zirkelschluss, denn alles, was abgeleitet wird, hängt von dieser Interpretation ab, sodass Sie diese Ableitungen nicht verwenden können, um dieses Ding zu erklären.
Ich meine, ich habe gerade das Gleiche gesagt wie AaronStevens, aber nur in einer einfacheren Sprache, und Sie schienen sich nicht an dem Jargon zu stören, den er gegen Ende Ihres Buches herausgepeitscht hat ...? Der erste Absatz soll nur einen Kontext setzen, aber der Kern meiner Antwort ist der letzte Absatz, in dem ich Ihre „Warum“ -Frage anspreche: Es ist eine Frage, auf die es derzeit keine Antwort gibt. Und der erste Absatz ist nicht meine Interpretation, es ist wie es ist: Per Definition hat ein freies Teilchen nur kinetische Energie und daher hat der Lagrangian nur einen Begriff für kinetische Energie. Es ist wirklich so einfach.
Warum kann die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens nicht explizit von der Position oder der Zeit abhängen?
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