Die Äquivalenz von Newtons zweitem Gesetz, Hamiltons Prinzip und Lagrange-Gleichungen [geschlossen]

Betrachten Sie die folgende Frage in der klassischen Mechanik

Sind das zweite Newtonsche Gesetz, das Hamiltonsche Prinzip und die Lagrange-Gleichungen für Teilchen und Teilchensysteme äquivalent?

  • Wenn ja , wo finde ich einen vollständigen Beweis?
    Gibt es bestimmte Bedingungen für diese Gleichwertigkeit?

  • Wenn nein , welches ist das allgemeinste?

Ich konnte die Antwort auf meine Frage in den Büchern nicht finden, da es viele Sätze und keine klare Schlussfolgerung gibt! Oder zumindest konnte ich es nicht aus den Büchern bekommen! Vielleicht liegt der Grund darin, dass physische Bücher nicht axiomatisch geschrieben sind (wie Mathematikbücher). Das Buch, auf das ich mich konzentrierte, war Classical Mechanics von Herbert Goldstein .

Newtons zweites Gesetz , F J = M J A J , J = 1 , … , N Lagrange-Gleichungen , D D T ∂ T ∂ Q ˙ J − ∂ T ∂ Q J = Q J , J = 1 , … , M Hamiltons Prinzip , δ ∫ T 1 T 2 L ( Q 1 , … , Q M , Q ˙ 1 , … , Q ˙ M , T ) D T = 0

Wo N ist die Anzahl der Teilchen und M ist die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten Q J . Interessierte Leser können auch diesen Beitrag lesen .

Ohne auch nur darauf einzugehen, ob das Hamilton-Prinzip und die Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent sind, ist es einfach, Ihre Frage mit "Nein" zu beantworten, da das Newtonsche II-Gesetz offensichtlich auch nicht äquivalent ist. Newton II deckt nur die Änderung des Impulses über die Zeit ab, die gleich der aufgebrachten Kraft ist. Nichts an diesem Gesetz gibt Ihnen die wahren Bewegungsgleichungen für exotische Systeme, es enthält keine Energie, es gibt keinen Mechanismus zur Anwendung auf andere physikalische Probleme. Sicher, Sie können Newton II von Hamilton bekommen, aber zu sagen, dass sie äquivalent sind, ist wie zu sagen, dass Summen äquivalent zu Integralen sind.
@Jim: Siehe diesen Link
@HR Sie haben angeblich gezeigt, dass die Lagrange-Mechanik der Newtonschen Mechanik äquivalent ist, was technisch nicht dasselbe ist wie die Äquivalenz nur mit Newtons zweitem Gesetz. Darüber hinaus zeigten sie dies, indem sie die Ableitung beider Seiten zweier Gleichungen nahmen und zeigten, dass die linken und rechten Äquivalente sind. Das nenne ich nicht streng. Zu sagen, dass die Ableitungen äquivalent sind, bedeutet nicht, dass die ursprünglichen Ausdrücke äquivalent sind. Die x-Ableitung von X 2 + 1 gleich dem von X 2 + e j aber sie sind kaum äquivalente Ausdrücke.
Hamiltons Prinzip kann genutzt werden, um die Physik von Quantenfeldtheorien zu erforschen; Newtons zweites Gesetz kann das nicht. Daher muss es einen grundlegenden Unterschied zwischen ihnen geben, der einen mit der Physik auf höherer Ebene wie QFT kompatibel macht, aber nicht den anderen UND, durch die bloße Existenz eines Unterschieds zwischen ihnen, macht sie sie nicht gleichwertig. Wenn sie wirklich gleichwertig wären, könnte man Newton II anstelle von Hamiltons Prinzip überall verwenden, ohne dass es Unterschiede gibt. Zeigen Sie mir, dass dies möglich ist, und ich gebe zu, dass sie dasselbe sind.
Ich denke, dass dies eine sehr berechtigte spezifische Frage ist, die eine Antwort durch die Community verdient.
Ich verstehe nicht, wie diese Frage geschlossen wurde. Es ist definitiv nicht breit. Da die Frage geschlossen ist, kann ich nicht antworten ... aber die Antwort ist einfach: Nein. Und in der gesamten Physik gibt es auch kein "Allgemeines". Es gibt Systeme, die nur Hamilton beherrschen kann. Es gibt Systeme, die nur Newton ausführen kann. Usw. Wenn Sie sich nur auf die klassische Mechanik beschränken (nicht Relativitätstheorie, nicht EM), dann ist es möglich, das zu beweisen P ( H ) ⊂ P ( L ) ⊂ P ( N ) , Wo P ( N ) ist die Menge aller Probleme, die Newton lösen kann, und so weiter.
@HR Ich würde es tun, wenn ich könnte. Aber ich habe nicht genügend Ruf, um so etwas zu tun. Nun, der Beweis ist eine "Folge" der Konstruktion. Zum Beispiel, wenn Sie von Newton auf Lagrange wechseln L = T − v , gehen Sie davon aus, dass eine potenzielle Funktion existiert. Was ist, wenn es nicht existiert? Was ist, wenn ∇ × F ≠ 0 ? Dann ist Newton allgemeiner, da es ein Problem ohne Potenzial lösen kann. (Dies beschränkt sich nur auf die klassische Mechanik). In der gesamten Physik gibt es kein "allgemeineres", wie ich bereits sagte. =D.
@Physicist137: mmmmmm, wir können Lagrange-Gleichungen für nicht-konservative Systeme von Newton ableiten! Können wir nicht?
@HR Wie du kannst. Aber das wird es nicht L = T − v da eine verallgemeinerte Kraft auftreten wird. Aber dann ist die Euler-Lagrange-Gleichung nicht diejenige mit L , aber der mit T nur und Q (die verallgemeinerte Kraft). Dieser Fall ist ja äquivalent. Aber dann eine Lagrange-Funktion L kann existieren oder nicht. D. h., Sie können nicht per Legendre-Transformation nach Hamilton springen, wenn L ist nicht vorhanden. Und da ein Lagrange-System möglicherweise nicht existiert, würde ich es nicht "Lagrange-System" nennen.

Antworten (2)

Die früheren Formulierungen dieser Frage waren recht weit gefasst. Diese Antwort ist als breite Antwort innerhalb der Klassik konstruiert † Theorien mit einigen hoffentlich hilfreichen Navigationspunkten:

  1. Einerseits sind das stationäre Wirkungsprinzip (= Hamiltonsches Prinzip) und die Euler-Lagrange-Gleichungen weit über die Newtonsche Mechanik hinaus sinnvoll, zB in der Feldtheorie oder der relativistischen Punktmechanik.

  2. Andererseits gibt es dissipative Systeme in der Newtonschen Mechanik, die keine Aktionsformulierung haben, siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

  3. Man kann zeigen, dass breite Klassen von Newtonschen Systemen das D'Alembertsche Prinzip erfüllen, wie z. B. starre Körper, siehe diesen Phys.SE-Beitrag.

  4. Zur Gültigkeit des D'Alembert-Prinzips siehe diesen und diesen Phys.SE-Beitrag.

  5. Man kann zeigen, dass das D'Alembertsche Prinzip auf Lagrange-Gleichungen führt, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

  6. Beachten Sie, dass Lagrange-Gleichungen allgemeiner sind als Euler-Lagrange-Gleichungen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Innerhalb der Newtonschen Mechanik wird in diesem Phys.SE-Beitrag auch ein Vergleich verschiedener Formulierungen diskutiert .

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† Mit dem Wort klassisch meinen wir ℏ = 0 .

Breit? Warum breit? Entweder es ist gleichwertig, oder es ist es nicht. Die Antwort ist offensichtlich nein. Und um es schön zu beantworten, würde ein einziges Gegenbeispiel als formaler Beweis genügen.
@ Physiker137 - Das ist eine ziemlich gute Antwort auf die Äquivalenzbedingungen! Äquivalenzen können von Bedingungen abhängen. Daher Ihre Bedingung "Es ist gleichwertig oder nicht." das ist nicht richtig.
@freecharly Nun ... Als ich die Frage gelesen habe, habe ich glaube ich den Eindruck bekommen, dass OP mathematisch gefragt hat. Dh, ist ein Satz von Gleichungen A Äquivalent zu Gleichungssatz B , in dem Sinne, dass A ⟺ B ? Von der mathematischen Logik her ist dieser Satz entweder wahr oder falsch. Also ..... Und die Kommentare von OP scheinen dies zu bestätigen. Ich meine... welche andere Interpretation ist das?
Die Äquivalenz gilt im Allgemeinen nicht. Es scheint eine hoffnungslose Aufgabe zu sein, genaue ausreichende und notwendige Bedingungen für die Gleichwertigkeit zu formulieren. Die obige Antwort weist nur auf Einweg-Implikationspfeile hin, nicht auf Bi-Implikationen.

Die Äquivalenz des 2. Newtonschen Gesetzes mit dem Hamilton-Prinzip und den Lagrange-Gleichungen bedeutet, dass Sie (mathematisch) das Hamilton-Prinzip und die Lagrange-Gleichungen aus dem Newton-Gesetz ableiten können, und umgekehrt, dass Sie das Newton-Gesetz aus dem Hamilton-Prinzip und den Lagrange-Gleichungen ableiten können.

Erstens ist das Variations-Hamilton-Prinzip der stationären Wirkung äquivalent zu den Euler-Lagrange-Gleichungen (Lagrange-Gleichungen zweiter Art) Hamilton-Prinzip , dh jedes folgt aus dem anderen. Zweitens folgen aus Newtons Gesetzen die Lagrange-Gleichungen. Andererseits ist leicht ersichtlich, dass das Newtonsche Gesetz aus den Lagrange-Gleichungen für kartesische Koordinaten folgt. Siehe zB Äquivalenz Newton und Lagrange

Damit sind das Newtonsche Gesetz, das Hamiltonsche Prinzip und die Lagrange-Gleichungen äquivalent, weil sie sich gegenseitig voneinander ableiten lassen. Allerdings könnten diese Äquivalenzen auf bestimmte Bedingungen beschränkt sein, wie zB die Annahme konservativer Kräfte, die von einem Potential abgeleitet werden, während die Gültigkeit der Lagrange-Gleichungen oder des Hamilton-Prinzips allgemeiner sein könnte.

(+1) Danke für deine klare Antwort, aber ich interessiere mich für die Details, unter denen die Äquivalenz gültig ist. Können Sie bitte einige Details hinzufügen?
@HR - Ich kenne keine Monographie, in der die allgemeinsten Bedingungen angegeben sind. Für die Gültigkeit der Lagrange-Gleichungen wird manchmal ein monogenes Potential angegeben, dh dass alle Kräfte von einem Potential abgeleitet werden, das von verallgemeinerten Koordinaten, Geschwindigkeiten und Zeit abhängt, und dass Zwangsbedingungen holonom sind, Zwangskräfte keine Arbeit leisten und somit Reibung ausgeschlossen ist . Siehe diese Harvard-Vorlesungen (beginnend mit 3) für eine Ableitung von Äquivalenzen ausgehend vom Newtonschen Gesetz. users.physics.harvard.edu/~morii/phys151/lectures/Lecture03.pdf
@HR Ich bin mir nicht sicher, ob es Ihre Fragen vollständig beantworten würde, aber Sie sollten in Betracht ziehen, Zeit mit dem Buch "Mathematische Methoden der klassischen Mechanik" von VI Arnold zu verbringen. Es geht tiefer in die mathematischen Argumente der klassischen Mechanik ein als viele andere Bücher zu diesem Thema. Geben Sie ihm wenigstens etwas Zeit, dann können Sie vielleicht die spezielle detaillierte Frage passender stellen, die Ihnen hilft, das gewünschte Verständnis zu erlangen.
Ich bin nicht einverstanden. Sie sind nicht gleichwertig. Wenn Sie von Newton zu Lagrange wechseln, machen Sie Einschränkungen, daher bleibt Newton allgemeiner. Das heißt, es gibt Systeme, die nur Newton lösen kann.
@Ich habe in meiner Antwort darauf hingewiesen, dass die Äquivalenzen möglicherweise auf bestimmte Bedingungen beschränkt sind. Ich denke, dass die Lagrange-Gleichungen mit nicht-konservativen (verallgemeinerten) Krafttermen vollständig äquivalent zu Newtons Gleichungen sind. Siehe Goldstein, Klassische Mechanik. Vielleicht können Sie ein Beispiel nennen, wo Newtons Gleichungen allgemeiner sind.
Oh .. Sie sind gleichwertig (dh derjenige mit generalisierter Kraft). Aber ich glaube nicht, dass es ein Lagrange-System ist, da es keine Lagrange-Funktion gibt. (dh, L = T − v ). Ich könnte falsch liegen...
Die Äquivalenz von Newtons zweitem Gesetz, Hamiltons Prinzip und Lagrange-Gleichungen [geschlossen]
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