Die erste und zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung mit expliziter Zeitabhängigkeit

Question

Die erste und zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung mit expliziter Zeitabhängigkeit

ann marie coeur

Ich habe die erste und zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung ohne explizite Zeitabhängigkeit gelernt (die Zeitabhängigkeit ist nur implizit von der zu lösenden Funktion, sagen wir $y\left(t\right)$ ), von Thorton-Marion 5. Ausgabe über Klassische Dynamik. Ich werde seine funktional ersetzen $f\left(y\left(x\right), \frac{d}{dx}y\left(x\right); x\right)$ zu diesem Lagrange $L$ Notation:

L (j (T), \frac{D}{D T} j (T); T) .

$L\left(y\left(t\right), \frac{d}{dt}y\left(t\right); t\right).$

Die erste Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung wird aus der Lagrange-Gleichung gelöst
$L (j (T), \dot{j} (T); T)$ $L\left(y\left(t\right),\dot{y}\left(t\right);t\right)$ in Kap. 6.3, aber mit $t$ Abhängigkeit scheint keine Rolle zu spielen. Thorton-Marion erhält (6.18): $\frac{\partial L}{\partial j} - \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{j}}) = 0$ $\boxed{\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)=0}$
Die zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung wird aus der Lagrange-Gleichung gelöst $L\left(y\left(t\right), \frac{d}{dt}y\left(t\right); t\right)$ in Kap. 6.4, aber mit explizit $t$ Abhängigkeit spielt eine Rolle . Thorton-Marion erhält (6.39):
$\frac{\partial L}{\partial T} - \frac{D}{D T} (L - \dot{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{j}}) = 0$ $\boxed{\frac{\partial L}{\partial t}-\frac{d}{dt}\left(L-\dot{y}\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)=0}$ Aber dies explizit $t$ Abhängigkeitsform führt nicht zur richtigen Antwort für die Euler-(Lagrange)-Gleichung mit expliziter Zeitabhängigkeit, weil Thorton-Marion (6.18) bereits verwendet hat, um diese (6.39) herzuleiten. Eine Modifikation ist also unbedingt erforderlich!!!

Frage

Was sind die erste und zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung mit Lagrangian der expliziten Zeitabhängigkeit?
Wie modifiziert und korrigiert man die Ableitungen in Thorton-Marion (6.18) und (6.39), um eine Euler-(Lagrange)-Gleichung mit Lagrange eines expliziten zeitabhängigen Systems zu erhalten?

ps Es gibt einen verwandten Beitrag zur Lagrange-Gleichung mit expliziter Zeitabhängigkeit: Wie geht man mit der expliziten Zeitabhängigkeit der Lagrange-Funktion um? Aber sie funktionieren nicht mit der analogen ersten und zweiten Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung. Ich hoffe, Sie können einige Einblicke oder eine explizite endgültige Form von Gleichungen geben.

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Die erste und zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung mit expliziter Zeitabhängigkeit

QMechaniker · Answer 1

Die zweite Form der Euler-Lagrange-Gleichung kann umgeschrieben werden als

\begin{matrix} (EL2) & \frac{D H}{D T} = - \frac{\partial L}{\partial T}, \end{matrix}

$\frac{dh}{dt}~=~-\frac{\partial L}{\partial t},\tag{EL2}$

Wo

\begin{matrix} (H) & H (Q, \dot{Q}, T) := (\sum_{J = 1}^{N} {\dot{Q}}^{J} \frac{\partial}{\partial {\dot{Q}}^{J}} - 1) L (Q, \dot{Q}, T) \end{matrix}

$h(q,\dot{q},t)~:=~\left(\sum_{j=1}^n\dot{q}^j\frac{\partial }{\partial \dot{q}^j}-1 \right)L(q,\dot{q},t) \tag{h}$

ist die (Lagrange-) Energiefunktion. EL2 folgt direkt aus der ersten Form der Euler-Lagrange-Gleichungen

\begin{matrix} (EL1) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}^{J}} - \frac{\partial L}{\partial Q^{J}} = 0, J \in {1, \dots, N}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~0, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\},\tag{EL1}$ für einen beliebigen Lagrange-Operator erster Ordnung

L (q, \dot{q}, t)

$L(q,\dot{q},t)$ mit möglicher expliziter Zeitabhängigkeit.

Mike Stein · Answer 2

Was für eine schreckliche Notation! Für ein $L$ ohne explizite Zeitabhängigkeit ( $L=L(y,\dot y))$ , der Ausdruck

F = L - \dot{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{j}}

$F= L-\dot y \frac{\partial L}{\partial \dot y}$ gehorcht

\frac{D}{D T} F = 0

$\frac{d}{dt}F=0$ Dieses erste Integral ist eine Folge der EL-Gleichung

\frac{\partial L}{\partial j} - \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{j}}) = 0.

$\frac{\partial L}{\partial y}- \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot y}\right)=0.$ Es ist keine "zweite Form der EL-Gleichung". In einfachen Beispielen ist es die Energie, und es besagt, dass Energie für zeitunabhängige Systeme erhalten bleibt. Für eindimensionale Systeme ist die Energieerhaltung ein nützlicher Weg, um die Bewegung zu lösen.

Wenn es mehr als einen gibt $y$ es gibt noch ein erstes Integral

F = L - \sum_{ich} {\dot{j}}_{1} \frac{\partial L}{\partial {\dot{j}}_{ich}},

$F= L-\sum_i \dot y_1 \frac{\partial L}{\partial \dot y_i},$ aber es gibt nur eine , und eine Energieeinsparung reicht nicht aus, um die Bewegung zu lösen.

Ebenso wenn $L(y,\dot y,t)$ Dann

\frac{D}{D T} F = \frac{\partial L}{\partial T}

$\frac {d}{dt}F= \frac{\partial L}{\partial t}$ ist eine Folge der üblichen EL-Gleichung. Die EL-Gleichung ändert sich nicht, wenn es eine explizite Zeitabhängigkeit gibt.

Ich schlage vor, Sie lesen ein besseres Buch.

Ich vermute, dass die Unglücklichkeiten, die Sie in der Beschreibung des OP kritisieren, eher auf das OP als auf Thornton & Marion zurückzuführen sind. Zumindest in der vierten Auflage ist die verwendete Notation viel schöner: Die gegebene Gleichung wird geschrieben als $\frac{\partial F}{\partial X} - \frac{D}{D X} (F - j^{'} \frac{\partial F}{\partial j^{'}}) = 0.$ $\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dx} \left( f - y' \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0.$ Die Autoren setzen auch „zweite Form“ in erschreckende Anführungszeichen, vermutlich um anzuzeigen, dass dies nicht wirklich eine neue Form der Euler-Gleichung ist; und sie sagen im Grunde das, was Sie in der Diskussion in diesem Abschnitt sagen. ...
... Es ist möglich, dass sich das in der fünften Auflage geändert hat, aber ich bezweifle es. Hauptsächlich wollte ich die Ehre von Marion & Thornton verteidigen, da es ein ziemlich gutes Buch für klassische Mechanik auf mittlerem Niveau ist (obwohl ich heutzutage normalerweise Taylor zum Unterrichten verwende).
@ Michael Seifert. Ich glaube, ich bin voreingenommen..... Ich habe einige wirklich schlechte Berichte in Intro-Büchern gesehen. Ich habe das Zeug von Synge und Griffith gelernt, aber Goldstein lieben gelernt.
Ich habe das LaTeX bearbeitet. Ich hoffe es ist jetzt besser lesbar.

Die erste und zweite Form der Euler-(Lagrange)-Gleichung mit expliziter Zeitabhängigkeit

ann marie coeur

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QMechaniker

Mike Stein

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Joigus

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