Wie findet man die Lagrange-Funktion dieses Systems?

Question

Wie findet man die Lagrange-Funktion dieses Systems?

Physik
klassische Mechanik
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
Variationsprinzip
Differentialgleichung

Shenkai Li

Ich versuche, den Lagrange zu finden $L$ eines Systems, das ich studiere. Die Bewegungsgleichung lautet:

{\begin{array}{cl} r \ddot{ϕ} + 2 \dot{r} \dot{ϕ} + k (r) \cdot r \dot{r} \dot{ϕ} = 0 \\ \ddot{r} - r {\dot{ϕ}}^{2} - k (r) \cdot r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} r \ddot{\phi} + 2\dot{r} \dot{\phi}+k(r) \cdot r \dot{r} \dot{\phi} = 0\\ \ddot{r} - r \dot{\phi}^2 - k(r) \cdot r^2 \dot{\phi}^2 = 0 \end{array}\right.$

Ich habe einen allgemeinen Ansatz versucht $L=L_1+L_2=\Sigma_{m,n,p,q} C_{m,n,p,q} r^m \dot{r}^n \phi^p \dot{\phi}^q+L_2(k(r))$ und in die Euler-Lagrange-Gleichung gesteckt, finde die Berechnung aber extrem mühsam. Gibt es einen systematischen Weg, um es zu finden?

Ich würde wirklich alle Hinweise zu schätzen wissen. Danke dir!

Aktualisieren:

Durch eine kleine Umordnung

{\begin{array}{cl} \ddot{ϕ} + F (r) \dot{r} \dot{ϕ} = 0 \\ \ddot{r} + G (r) {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} \ddot{\phi} + F(r) \dot{r} \dot{\phi}= 0\\ \ddot{r} +G(r) \dot{\phi}^2 = 0 \end{array}\right.$ wo

F (r) = \frac{2}{r} + k (r), G (r) = - (r + k (r) \cdot r^{2})

$\begin{equation} F(r)=\frac{2}{r} + k(r), \quad G(r)=-(r+k(r)\cdot r^2) \end{equation}$

Wenn wir davon ausgehen

L = EIN (r) {\dot{r}}^{2} + B (r) {\dot{ϕ}}^{2} + C (r) \dot{r} \dot{ϕ}

$L=A(r) \dot{r}^2 + B(r) \dot{\phi}^2 +C(r) \dot{r} \dot{\phi}$ (damit ich die Metrik leicht bekommen kann)

Dann

{\begin{array}{cl} L_{r} L = 2 EIN \ddot{r} - B_{r} {\dot{ϕ}}^{2} + C \ddot{ϕ} + {EIN}_{r} {\dot{r}}^{2} \\ L_{ϕ} L = 2 B \ddot{ϕ} + 2 B_{r} \dot{r} \dot{ϕ} + C_{r} {\dot{r}}^{2} + C \ddot{r} \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} \mathscr{L}_r L = 2A \ddot{r} -B_r \dot{\phi}^2+C\ddot{\phi} +A_r \dot{r}^2\\ \mathscr{L}_\phi L = 2B \ddot{\phi} +2B_r \dot{r}\dot{\phi}+C_r\dot{r}^2 + C \ddot{r} \end{array}\right.$ wo

L_{q} L \equiv \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q}

$\mathscr{L}_q L \equiv \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)-\frac{\partial{L}}{\partial{q}}$

Im Vergleich zum EOM erfordert es

\frac{2 EIN}{1} = \frac{- B_{r}}{G (r)}, \frac{2 B}{1} = \frac{2 B_{r}}{F (r)}, C = 0, {EIN}_{r} = 0

$\frac{2A}{1}= \frac{-B_r}{G(r)}, \quad \frac{2B}{1}=\frac{2B_r}{F(r)}, \quad C=0, \quad A_r=0$

Es scheint in Ordnung zu sein, außer für $A_r=0$ steht im Widerspruch zu den anderen.

QMechaniker

Aus Neugier, wie sind Sie überhaupt an die EOMs gekommen?

Shenkai Li

@Qmechanic, eigentlich sind sie nur

a_{ϕ} + k (r) v_{r} v_{ϕ} = 0

$a_{\phi} + k(r) v_r v_{\phi} =0$ und

a_{r} - k (r) v_{ϕ}^{2} = 0

$a_r -k(r) v_{\phi}^2 = 0$ .

Zukunftsforscher

Könnten dies die geodätischen Gleichungen einer rotationsinvarianten Riemannschen Metrik sein? Rotationsinvariant, weil sie eine Symmetriegruppe mit einem Parameter haben

ϕ \to ϕ + s

$\phi \to \phi + s$ . Dieser Koeffizient

k (r)

$k(r)$ könnte ein Christoffel-Symbol sein?

Shenkai Li

@Futurologist, ich habe ein bisschen mit der Rotationsinvarianz versucht. Es scheint jedoch einige Konflikte zu geben. Ich habe die Arbeit in der Beschreibung aktualisiert. Ich schätze Ihre Aufmerksamkeit sehr.

Zukunftsforscher

@ShengkaiLi Es ist schön, dass du die Gleichungen ausgearbeitet hast. Vielleicht versuchen, nicht einzustellen

C = 0

$C=0$ und wenden Sie dann einfach die inverse Matrix der gebildeten Matrix an

A, B, C

$A, B, C$ zu den Gleichungen. Sie erhalten kompliziertere Koeffizienten mit unbekannten Funktionen

A, B, C

$A, B, C$ . Vielleicht könnte das funktionieren, aber natürlich gibt es keine Garantie, es sei denn, Sie versuchen es.

Frobenius

Aus einem Kommentar von OP scheint es, dass wir die Bewegung eines Punktteilchens unter dem Einfluss einer Kraft haben:

\begin{matrix} (com-01) & F = m a = m (a_{r} e_{r} + a_{ϕ} e_{ϕ}) = m k (r) υ_{ϕ} (υ_{ϕ} e_{r} - υ_{r} e_{ϕ}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{F} = m\mathbf{a}=m \left(a_r\mathbf{e}_{r}+a_\phi\mathbf{e}_{\phi}\right)= m k(r) \upsilon_{\phi}\left(\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{r}-\upsilon_r\mathbf{e}_{\phi}\right) \tag{com-01} \end{equation}$ immer normal zu seiner Geschwindigkeit:

\begin{matrix} (com-02) & υ (t) = \dot{r} e_{r} + r \dot{ϕ} e_{ϕ} = υ_{r} e_{r} + υ_{ϕ} e_{ϕ} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+ r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi}=\upsilon_r\mathbf{e}_{r}+\upsilon_{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi} \tag{com-02} \end{equation}$ als die magnetische Kraft zum Beispiel.

Shenkai Li

@Frobenius Ja, dieses System spart die Geschwindigkeit. Guter Fang. Außerdem verschwindet die azimutale Beschleunigung, wenn man genau nach innen oder nach außen fährt (

v_{ϕ} = 0

$v_\phi = 0$ ). Bedeutet das, dass ich einen externen Kraftteil auf der rechten Seite der Euler-Lagrange-Gleichung haben muss?

Shenkai Li

@Futurologist Über die Matrix, die Sie erwähnt haben, meinen Sie die Matrix?

M

$M$ in

L = (\dot{r} \dot{ϕ}) M (\dot{r} \dot{ϕ})^{T}

$L=(\dot{r} \quad \dot{\phi}) M (\dot{r} \quad \dot{\phi})^T$ ?

Shenkai Li

@Frobenius Oder ein Vektorpotentialfeld wie für das geladene Teilchen in einem Magnetfeld konstruieren?

Frobenius

@Shengkai Li Ich entschuldige mich, aber ich werde morgen fortfahren. Beachten Sie, dass

\begin{matrix} (com-03) & \frac{F}{m} = υ \times B wo B = k (r) υ_{ϕ} e_{z} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathbf{F}}{m}=\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \quad\text{where} \quad \mathbf{B}=k(r)\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{z} \tag{com-03} \end{equation}$

Kosmas Zachos

Nicht um Sie abzulenken, aber haben Sie es bemerkt

ϕ

$\phi$ fehlt, also könnten Sie genauso gut definieren

θ \equiv \dot{ϕ}

$\theta\equiv\dot{\phi}$ und die Gleichung dafür ist 1., nicht zweiter Ordnung. Aber ein Lagrangian dafür kann problematisch sein.

Antworten (1)

Wie findet man die Lagrange-Funktion dieses Systems?

@Qmechanic, eigentlich sind sie nur $a_{\phi} + k(r) v_r v_{\phi} =0$ und $a_r -k(r) v_{\phi}^2 = 0$ .
Könnten dies die geodätischen Gleichungen einer rotationsinvarianten Riemannschen Metrik sein? Rotationsinvariant, weil sie eine Symmetriegruppe mit einem Parameter haben $\phi \to \phi + s$ . Dieser Koeffizient $k(r)$ könnte ein Christoffel-Symbol sein?
@Futurologist, ich habe ein bisschen mit der Rotationsinvarianz versucht. Es scheint jedoch einige Konflikte zu geben. Ich habe die Arbeit in der Beschreibung aktualisiert. Ich schätze Ihre Aufmerksamkeit sehr.
@ShengkaiLi Es ist schön, dass du die Gleichungen ausgearbeitet hast. Vielleicht versuchen, nicht einzustellen $C=0$ und wenden Sie dann einfach die inverse Matrix der gebildeten Matrix an $A, B, C$ zu den Gleichungen. Sie erhalten kompliziertere Koeffizienten mit unbekannten Funktionen $A, B, C$ . Vielleicht könnte das funktionieren, aber natürlich gibt es keine Garantie, es sei denn, Sie versuchen es.
Aus einem Kommentar von OP scheint es, dass wir die Bewegung eines Punktteilchens unter dem Einfluss einer Kraft haben: $\begin{matrix} (com-01) & F = m a = m (a_{r} e_{r} + a_{ϕ} e_{ϕ}) = m k (r) υ_{ϕ} (υ_{ϕ} e_{r} - υ_{r} e_{ϕ}) \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{F} = m\mathbf{a}=m \left(a_r\mathbf{e}_{r}+a_\phi\mathbf{e}_{\phi}\right)= m k(r) \upsilon_{\phi}\left(\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{r}-\upsilon_r\mathbf{e}_{\phi}\right) \tag{com-01} \end{equation}$ immer normal zu seiner Geschwindigkeit: $\begin{matrix} (com-02) & υ (t) = \dot{r} e_{r} + r \dot{ϕ} e_{ϕ} = υ_{r} e_{r} + υ_{ϕ} e_{ϕ} \end{matrix}$ $\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+ r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi}=\upsilon_r\mathbf{e}_{r}+\upsilon_{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi} \tag{com-02} \end{equation}$ als die magnetische Kraft zum Beispiel.
@Frobenius Ja, dieses System spart die Geschwindigkeit. Guter Fang. Außerdem verschwindet die azimutale Beschleunigung, wenn man genau nach innen oder nach außen fährt ( $v_\phi = 0$ ). Bedeutet das, dass ich einen externen Kraftteil auf der rechten Seite der Euler-Lagrange-Gleichung haben muss?
@Futurologist Über die Matrix, die Sie erwähnt haben, meinen Sie die Matrix? $M$ in $L=(\dot{r} \quad \dot{\phi}) M (\dot{r} \quad \dot{\phi})^T$ ?
@Frobenius Oder ein Vektorpotentialfeld wie für das geladene Teilchen in einem Magnetfeld konstruieren?
@Shengkai Li Ich entschuldige mich, aber ich werde morgen fortfahren. Beachten Sie, dass $\begin{matrix} (com-03) & \frac{F}{m} = υ \times B wo B = k (r) υ_{ϕ} e_{z} \end{matrix}$ $\begin{equation} \dfrac{\mathbf{F}}{m}=\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \quad\text{where} \quad \mathbf{B}=k(r)\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{z} \tag{com-03} \end{equation}$
Nicht um Sie abzulenken, aber haben Sie es bemerkt $\phi$ fehlt, also könnten Sie genauso gut definieren $\theta\equiv\dot{\phi}$ und die Gleichung dafür ist 1., nicht zweiter Ordnung. Aber ein Lagrangian dafür kann problematisch sein.

Eli · Answer 1

Wir wollen die Metrik für diese Gleichungen finden:

\begin{aligned} \ddot{φ} + F (r) \dot{φ} \dot{r} = 0 & (1) \\ \ddot{r} + G (r) {(\dot{φ})}^{2} = 0 & (2) \end{aligned}

$\begin{align*} &\ddot{\varphi} +F(r)\,\dot{\varphi}\,\dot{r}=0&(1) \\ &\ddot{r} +G(r)\,\left(\dot{\varphi}\right)^2=0&(2) \end{align*}$

Theory

$\textbf{Theory}$

Die Bewegungsgleichungen sind: (Ich verwende die NEWTON-EULER-Methode)

\begin{aligned} J^{T} J \ddot{\vec{q}} = - J^{T} \frac{\partial (J \dot{\vec{q}})}{\partial \vec{q}} \dot{\vec{q}} + J^{T} \vec{f_{a}} & (3) \end{aligned}

$\begin{align*} &J^T J \,\ddot{\vec{q}} =- J^T\,\frac{\partial\left( J\,\dot{\vec{q}}\right)}{\partial\vec{q}}\,\dot{\vec{q}}+J^T\,\vec{f_a}&(3)\\ \end{align*}$ Mit Vektor

\vec{q}

$\vec{q}$ der verallgemeinerten Koordinaten:

\begin{aligned} \vec{q} = [\begin{matrix} φ \\ r \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{q}= \begin{bmatrix} \varphi \\ r \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ , die Jacobi-Matrix (Ansatz):

\begin{aligned} J & = [\begin{matrix} r & 0 \\ φ & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} J&= \begin{bmatrix} r & 0 \\ \varphi & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ und der Vektor

\vec{f_{a}}

$\vec{f_a}$ der äußeren Kräfte (Ansatz):

\begin{aligned} \vec{f_{a}} = [\begin{matrix} 0 \\ - \frac{φ}{r} \dot{φ} \dot{r} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{f_a}= \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\varphi}{r}\,\dot{\varphi}\,\dot{r} \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ Wir erhalten die Bewegungsgleichung (mit (3)):

\begin{aligned} \ddot{φ} + \frac{1}{r} \dot{φ} \dot{r} = 0 & (4) \\ \ddot{r} + {(\dot{φ})}^{2} = 0 & (5) \end{aligned}

$\begin{align*} &\ddot{\varphi} +\frac{1}{r}\,\dot{\varphi}\,\dot{r}=0& (4)\\ &\ddot{r} +\left(\dot{\varphi}\right)^2=0&(5) \end{align*}$ Vergleichen Sie die Koeffizienten von Gleichung (1) mit (4) und (2) mit (5) erhalten wir:

\begin{aligned} F (r) & = \frac{2}{r} + k_{1} (r) \overset{!}{=} \frac{1}{r} \Rightarrow k_{1} (r) = - \frac{1}{r} \\ G (r) & = - (r + k_{2} (r) r^{2}) \overset{!}{=} 1 \Rightarrow k_{2} (r) = - \frac{r + 1}{r^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} F(r) & =\frac{2}{r}+k_1(r)\overset{!}{=}\frac{1}{r} \,\Rightarrow\quad k_1(r)=-\frac{1}{r}\\ G(r) &=-\left(r+k_2(r)\,r^2\right)\overset{!}{=}1\,\Rightarrow\quad k_2(r)=-{\frac {r+1}{{r}^{2}}} \end{align*}$ Um die Gleichungen (1) und (2) zu erfüllen, muss ich zwei Funktionen nehmen

k_{1} (r)

$k_1(r)$ und

k_{2} (r)

$k_2(r)$ .

$\textbf{Metric}:$

\begin{aligned} g = J^{T} J = [\begin{matrix} r^{2} + φ^{2} & φ \\ φ & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} &g=J^T\,J= \begin{bmatrix} r^2+\varphi^2 & \varphi \\ \varphi & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

Vielen Dank! Interessant ist die $k(r)$ 's sind darauf beschränkt, den Ansatz zum Laufen zu bringen.

Wie findet man die Lagrange-Funktion dieses Systems?

Shenkai Li

QMechaniker

Shenkai Li

Zukunftsforscher

Shenkai Li

Zukunftsforscher

Frobenius

Shenkai Li

Shenkai Li

Shenkai Li

Frobenius

Kosmas Zachos

Antworten (1)

Eli

Shenkai Li

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