Kann die Schrödinger-Gleichung aus dem Huygens-Prinzip abgeleitet werden?

Beugungsoptik in der Fresnel-Näherung (paraxial) ist genau dasselbe wie die Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens, wenn die Dicke entlang der optischen Achse durch die Zeit ersetzt wird, der Brechungsindex durch die Masse ersetzt wird und die inverse Winkelfrequenz des monochromatischen Lichts durch ersetzt wird Plancksche Konstante. Hier eine kurze Skizze.

Klassische Mechanik

Die Einheit von Optik und Mechanik wird am deutlichsten anhand der Generatoren kanonischer Transformationen (siehe Abschnitt 2.1 von Field Theory von Pierre Ramond). Der Hamiltonoperator für ein freies Teilchen ist$H=\frac{p^{2}}{2m}$. Der Generator für diesen Hamilton-Operator ist

$$\begin{eqnarray*} G(q,Q)&=&\frac{m(q-Q)^{2}}{2t}\\ p&=&\frac{\partial G(q,Q)}{\partial q}\\ -P&=&\frac{\partial G(q,Q)}{\partial Q} \end{eqnarray*}$$ Indem wir mit dem Generator herumspielen, können wir die kanonische Transformation als Matrixtransformation aus dem Anfangszustand schreiben $(P,Q)$zum Endzustand $(p,q)$. $$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \frac{t}{m} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} P \\ Q \end{array} \right] \ . \end{equation}$$ Das $2\times 2$matrix ist ein Element der symplektischen Gruppe Sp(2,R). Mit anderen Worten, die klassische Mechanik (für quadratische Hamiltonianer) ist synonym mit der zweidimensionalen definierenden Darstellung von Sp(2,R), die auf dem zweidimensionalen Phasenraum übertragen wird $(p,q)$,

Quantenmechanik

Der Impuls wird zum Operator$p\rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial q}$. Die Zustände werden zu Wellenfunktionen$\langle Q|\psi\rangle$. Die kanonische Transformation wird zu einem einheitlichen Operator,

$$\begin{equation} \langle q|U|Q\rangle \propto \exp\left(\frac{i G(q,Q)}{\hbar}\right)= \sqrt{\frac{m}{it}}\exp\left( \frac{im(q-Q)^{2}}{2t\hbar}\right) \end{equation}$$ Die Amplitude $\langle q|U|Q\rangle$ist eine unendlichdimensionale Matrix. Die Zeilen werden indiziert durch $q$und die Spalten von $Q$.Die Anfangs- und Endzustände sind miteinander verbunden durch, $$\begin{equation} \langle q|U|\psi\rangle=\int\frac{dQ}{\sqrt{2\pi}} \langle q|U|Q\rangle\langle Q|\psi\rangle \end{equation}$$ Das Integral ist eine unendlichdimensionale Matrixmultiplikation. Das Differenzieren der obigen Gleichung stellt die Schrödinger-Gleichung wieder her, $$\begin{equation} i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial q}\right)^{2}\psi \end{equation}$$ Der Betreiber $\langle q|\hat{U}|Q\rangle$ist ein Element einer unendlichdimensionalen einheitlichen Darstellung der symplektischen Gruppe Sp(2,R). Mit anderen Worten, die Quantenmechanik (für quadratische Hamiltonoperatoren) ist synonym mit den unendlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen von Sp(2,R), die auf dem Raum der Wellenfunktionen übertragen werden $\psi(q)$.

Strahlenoptik

Fermats Prinzip der kleinsten Zeit in der Strahlenoptik spielt die Rolle des Prinzips der kleinsten Wirkung in der klassischen Mechanik.

Lassen$s$sei die Entfernung entlang eines Strahls. Die Zeit, um sich nach Entfernung zu bewegen$ds$ist$dt=nds/c$wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und$n$ist der Brechungsindex des Materials. Die Gesamtzeit auf dem Weg ist

$$\begin{equation} S=\int dt=\int \frac{nds}{c}=\int \frac{n\sqrt{dq^{2}+dz^{2}}}{c} =\int\frac{ndz}{c}\sqrt{1+\dot{q}^{2}}\ . \end{equation}$$ wo $\dot{q}=dq/dz$und die $z$Die Koordinate in der Strahlenoptik spielt in der klassischen Mechanik die Rolle der Zeit. Der Lagrange-Operator in der Strahlenoptik ist daher $$\begin{equation} L=\frac{n}{c}\sqrt{1+\dot{q}^{2}} \ . \end{equation}$$ Der kanonisch konjugierte Impuls ist $$\begin{equation} p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} =\frac{n\dot{q}}{c\sqrt{1+\dot{q}^{2}}} =\frac{ndq}{c\sqrt{dq^{2}+dz^{2}}} =\frac{n}{c}\frac{dq}{ds}\ . \end{equation}$$ Der Strahlenoptik-Hamiltonoperator ist $$\begin{equation} H=p\dot{q}-L=-\sqrt{\left(\frac{n}{c}\right)^{2}-p^{2}} \simeq\frac{p^{2}c}{2n}-\frac{n}{c} \end{equation}$$ und das letzte Ergebnis ist für kleines Momentum. Strahlenoptik ist die gleiche wie klassische Mechanik mit $\frac{n}{c}$statt Masse $m$. Das $2\times 2$Matrizen der definierenden Darstellung von Sp(2,R) sind die Strahltransfermatrizen in der Strahlenoptik.

Diffraktive Optik

Der Impuls wird zum Operator$p \propto -i\frac{\partial}{\partial q}$. Die Proportionalitätskonstante kann nicht die Plancksche Konstante sein$\hbar$weil die Maße falsch sind. In der Strahlenoptik hat der Impuls die Dimension Sekunde/Meter, also muss die Konstante die Dimension Sekunde haben. Die physikalische Größe mit Sekundendimension ist die Umkehrfrequenz des Lichts. Ein Faktor von$2\pi$erscheint genauso wie in der Planckschen Konstante$\hbar$und so ist die Konstante mit den Dimensionen der Sekunde tatsächlich die inverse Kreisfrequenz$\omega^{-1}$des Lichts. Der Impulsoperator ist nun

$$\begin{equation} p= -i\omega^{-1}\frac{\partial}{\partial q} \end{equation}$$ und alles in der Quantenmechanik eines Teilchens geht durch Ersetzen in die diffraktive Optik über $\hbar\rightarrow \omega^{-1}$. Zum Beispiel ist die ebene Welle in der Quantenmechanik $$\begin{equation} \psi(q)=\exp\left(\frac{ipq}{\hbar}\right) \end{equation}$$ und so ist die ebene Welle in der diffraktiven Optik $$\begin{equation} \psi(q)=\exp\left(\frac{ipq}{\omega^{-1}}\right) =\exp\left(\frac{in\omega}{c}\frac{dq}{ds}q\right) =\exp\left(\frac{i2\pi n\sin(\theta)q}{\lambda}\right) \end{equation}$$ unter Verwendung der Definition des Strahlenoptikimpulses.

Die Quantenmechanik ist nicht so seltsam, weil sie dieselbe Theorie wie die Beugungsoptik in der Fresnel-Näherung (paraxial oder kleiner Impuls) ist. Ich habe das zum ersten Mal gelernt, als ich das Einführungskapitel von „Symplectic technique in physics“ von Victor Guillemin und Shlomo Sternberg gelesen habe.

Huygens Prinzip und Quantenmechanik

Die Amplitude$\langle q|U|Q\rangle$für ein freies Teilchen, das auf der rechten Seite der ersten Gleichung des Abschnitts über die Quantenmechanik gegeben ist, ist eine zylindrische Welle, die an der Koordinate zentriert ist$Q$. Das Integral in der zweiten Gleichung ist dann eine Summe über Zylinderwellen und das ist das Huygensche Prinzip. Die Schrödinger-Gleichung kann also aus dem Huygen-Prinzip abgeleitet werden.

Auch mathematisch lässt sich die Schrödinger-Gleichung nicht aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung ableiten, da sie nur von den ersten Ableitungen der Zeit abhängt,$\psi' = \partial \psi / \partial t$. Dies beweist das$\psi'$müsste in der Aktion erscheinen, aber dann$\psi''$würde unvermeidlich auch in den Euler-Lagrange-Gleichungen auftauchen, es sei denn, die Aktion hätte nur einige Terme der Form$\psi' \psi$. Aber$\psi'\psi = (\psi^2)'/2$ist eine totale Ableitung, trägt also nicht zu den Bewegungsgleichungen bei. (Die komplexe Konjugation macht die richtige Ableitung unordentlicher, aber die Schlussfolgerung ist letztendlich dieselbe, weil die Aktion real gemacht werden muss usw.)

(Die Dirac-Gleichung oder jede Gleichung für Fermionen ist ein Schlupfloch – sie kann erster Ordnung sein und von der geringsten Aktion abgeleitet werden. Das liegt daran, dass die zusätzlichen fermionischen Zeichen und / oder Zeichen aus den Dirac-Matrizen Sie am Schreiben hindern$\psi'\psi = (\psi^2)'/2$– die Dirac-Lagrange-Funktion ist keine totale Ableitung.)

Die Gleichung für die Wellenfunktion in der Quantenmechanik ergibt sich also nicht aus der geringsten Wirkung. Stattdessen kann man sagen, dass die Heisenberg-Gleichungen für die Operatoren in der Quantenmechanik (in dem Heisenberg-Bild, das dem Schrödinger-Bild physikalisch äquivalent sein kann) im Grunde die gleichen Gleichungen sind wie die klassischen Gleichungen, und diese können aus den abgeleitet werden geringste Aktion.

Kann die kleinste Wirkung direkt in der Quantenmechanik verwendet werden, ohne den Bezug zu den klassischen Gleichungen? Nun, mit einer Modifikation. Der richtige Weg, um die Aktion zu verwenden$S$in der Quantenmechanik wird das Feynman-Pfadintegral genannt. Das quantenmechanische System "prüft" tatsächlich alle möglichen Trajektorien und Geschichten im selben Moment und$\exp(iS/\hbar)$ist der Integrand, der zur Wahrscheinlichkeitsamplitude einer Evolution beiträgt.

Diese komplexe Exponentialfunktion ist im Grunde eine "zufällige, schnell oszillierende Phase" und fast alle heben sich im Grenzbereich auf$\hbar$relativ zu den Parametern des Problems klein ist. Es ist in erster Linie die Bahnen in der Nähe$\delta S = 0$, eine extremisierte Aktion, das sind Ausnahmen. Da$S$dort ziemlich stabil ist, interferieren die Amplituden konstruktiv. Das ist eine Erklärung dafür, warum nahe der klassischen Grenze die klassischen Trajektorien die Evolution in Feynmans Ansatz zur Quantenmechanik dominieren.

Das Prinzip von Huygen ist, dass eine Wellenamplitude$A(t_0)$, normalerweise eine ebene Welle, wird in eine Kugelwelle mit einer Amplitude umgewandelt

$$A(t,r) = \frac{A(t_0)e^{ikr + i\delta}e^{-i\omega t}}{r}.$$ Der radiale Abstand bei $t_0$ist $r \simeq \lambda$und die Phase $\delta$ist so eingestellt $k\lambda = \delta$, die eingestellt ist $2\pi$. Betrachten Sie nun eine Taylorentwicklung dieser Wellenfront bzgl $r$, und $$\begin{align} A(t,r) &= A(t_0) + \frac{\partial A(t,r)}{\partial r}\Big|_{r = \lambda}r + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 A(t,r)}{\partial^2 r}\Big|_{r = \lambda}x^2 + \dots\\ & = A(t_0) + \frac{e^{ikr}(ikr - 1)}{r^2}\big|_{r = \lambda}\delta r - \frac{1}{2}\frac{e^{ikr}(k^2r^2 + 2ikr – 2)}{r^3}|_{r=\lambda}\delta r^2\end{align}$$

Legen wir fest$r = \lambda$und wir finden einige Subtraktionen damit

$$A(t, r) \simeq A(t_0) - \frac{k^2}{\lambda}e^{ikr}\delta r^2$$ Um die Zeitabhängigkeit explizit zu behandeln, verwenden wir $A(t,r) = e^{-i\omega t}A(r)$und die Erweiterung auf der linken Seite ist dann Begründung $$A(t, r) = A(r)\Big|_{t = t_0} + i\frac{\partial A(t,r)}{\partial t}|_{t = t_0}\delta t + \dots,$$ bei dem die $i\frac{\partial}{\partial t}$wird verwendet, um einen realwertigen Term linear einzugeben $\delta t$. Wir stellen nun alle Variationen entsprechend der eingestellten Wellenlänge ein $k = p/\hbar$so dass $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{ikr - i\omega t} = \frac{1}{2}p^2e^{ikr – i\omega t}$$ Dies kommt einer Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen ziemlich nahe.

Das ist nah, aber mir fehlt ein Massenbegriff. ich sollte$1/2m$Anstatt von$1/2$, was eine Manifestation der Ableitung aus einem Ergebnis ist, das EM-Wellen ohne Masse beinhaltet. Das ist eine interessante Frage, die mich dazu gebracht hat, einige schnelle Berechnungen anzustellen.