Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus dem Variationsprinzip

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Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus dem Variationsprinzip

Physik
Wegintegral
Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung
Variationsprinzip
Dichtefunktionaltheorie

Benutzer26143

In der Arbeit "Density-functional theory for time-dependent systems" Physical Review Letters 52 (12): 997 erwähnen die Autoren, dass die Wirkung

\begin{matrix} (1) & A = \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T ⟨ Φ (T) | ich ℏ \partial / \partial T - \hat{H} (T) | Φ (T) ⟩ \end{matrix}

$A= \int_{t_0}^{t_1} \mathrm dt \langle \Phi(t) | i \hbar\;\partial / \partial t - \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle \tag{1}$

liefert die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung an ihrem stationären Punkt. Wikipedia hat (1) ohne weitere Bezugnahme als Dirac-Aktion bezeichnet.

Wenn ich eine Variation mache, ergibt sich zwar der stationäre Wirkungspunkt (1).

ich ℏ \partial / \partial T | Φ (T) ⟩ = \hat{H} (T) | Φ (T) ⟩

$i \hbar\;\partial / \partial t | \Phi(t) \rangle = \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle$

Aus pfadintegraler Sicht ist das Prinzip der kleinsten Wirkung jedoch nur ein Grenzfall, wenn $\hbar \rightarrow 0$ . Im Allgemeinen gibt es in der Quantenmechanik kein Prinzip der kleinsten Wirkung.

Meine Frage ist, wie lassen sich diese beiden Aspekte vereinbaren? Was bedeutet Handlungsvarianz (1)?

Sebastian Riese

Dies ist einfach ein weiteres Variationsprinzip, das nicht unbedingt mit der klassischen Aktion verbunden ist. Aus dem Ritz-Variationsfunktional

E [ψ] = \int d^{3} x ψ^{*} (x) H ψ (x)

$E[\psi] = \int d^3x \psi^*(x) H \psi(x)$ Sie erhalten die zeitunabhängige Schrödigner-Gleichung, dies ist nur eine natürliche Erweiterung davon.

ACuriousMind

Was genau ist hier die Frage? Sie variieren

(1)

$(1)$ , erhalten Sie die Schrödinger-Gleichung. Was ist die Frage dazu?

Michael Kuisma

Aktion ist nur ein Begriff, der für bestimmte Arten von Funktionen verwendet wird. Die qm-Aktion und die klassische Aktion sind unterschiedliche Dinge in unterschiedlichen Räumen. Somit gibt es nichts zu lösen. (Vorausgesetzt ich habe die Frage richtig verstanden)

Antworten (2)

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung aus dem Variationsprinzip

Dies ist einfach ein weiteres Variationsprinzip, das nicht unbedingt mit der klassischen Aktion verbunden ist. Aus dem Ritz-Variationsfunktional $E[\psi] = \int d^3x \psi^*(x) H \psi(x)$ Sie erhalten die zeitunabhängige Schrödigner-Gleichung, dies ist nur eine natürliche Erweiterung davon.
Was genau ist hier die Frage? Sie variieren $(1)$ , erhalten Sie die Schrödinger-Gleichung. Was ist die Frage dazu?
Aktion ist nur ein Begriff, der für bestimmte Arten von Funktionen verwendet wird. Die qm-Aktion und die klassische Aktion sind unterschiedliche Dinge in unterschiedlichen Räumen. Somit gibt es nichts zu lösen. (Vorausgesetzt ich habe die Frage richtig verstanden)

donaldf · Answer 1

Es gibt definitiv ein Prinzip der kleinsten Wirkung in der Quantenmechanik, tatsächlich basiert die Pfad-Integral-Methode darauf. Feynmans Doktorarbeit trägt den Titel: „Das Prinzip der kleinsten Wirkung in der Quantenmechanik“. Siehe zB http://cds.cern.ch/record/101498/files/?ln=de

Nur-Link-Antworten sind im Allgemeinen verpönt, da Links - wie ich es ausdrücke - "sterben" können. Können Sie das näher erläutern?

Nogueira · Answer 2

Wenn Sie an einem Pfad interessiert sind, der in die Aktion integriert ist:

\begin{matrix} (1) & S = \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T ⟨ Φ (T) | ich ℏ \partial / \partial T - \hat{H} (T) | Φ (T) ⟩ \end{matrix}

$\mathcal{S}= \int_{t_0}^{t_1} dt \langle \Phi(t) | i \hbar\partial / \partial t - \hat{H}(t) | \Phi(t) \rangle \tag{1}$ Dann

Φ (k, t) = ⟨ k | Φ (t) ⟩

$\Phi(k, t)=\langle k| \Phi(t) \rangle$ ist jetzt ein Operator oder eine Mude-Variable innerhalb des Pfadintegrals. Die Brücke zwischen Operator- und Pfadintegralsprache ist:

⟨ a | T (. . . \hat{Φ} (k, T) . . .) | β ⟩ = \int D ϕ (k, T) D \bar{ϕ} (k, T) (. . . ϕ (k, T) . . .) e^{\frac{ich}{ℏ} S}

$\langle \alpha|\mathcal{T}\left(...\hat{\Phi}(k,t)...\right)|\beta\rangle=\int \mathcal{D}\phi(k,t)\mathcal{D}\bar{\phi}(k,t)\left(...\phi(k,t)...\right)e^{\frac{i}{\hbar}\mathcal{S}}$

Und die Aktion wird jetzt geschrieben als:

S = \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T \int D k \bar{ϕ} (k, T) (ich ℏ \partial / \partial T - {\hat{H}}_{k} (T)) ϕ (k, T)

$\mathcal{S}= \int_{t_0}^{t_1} dt \int dk\, \bar{\phi}(k,t) ( i \hbar\partial / \partial t - \hat{H}_k(t) ) \phi(k, t)$ mit

{\hat{H}}_{k} (t)

$\hat{H}_k(t)$ ein linearer Operator ist, der auf Funktionen wirkt

ϕ (k, t)

$\phi(k,t)$ .

Dies ist die zweite Quantisierung . Jetzt haben wir eine komplexe Quantenfeldtheorie. Nehmen Sie den kanonischen Impuls der Felder und verwenden Sie die Dirac-Quantisierungsregel:

{[\hat{Φ} (k, T), {\hat{Φ}}^{†} (k^{'}, T^{'})]}_{\pm} = δ (k^{'} - k) δ (T^{'} - T)

$\left[\hat{\Phi}(k,t),\hat{\Phi}^{\dagger}(k',t')\right]_\pm=\delta(k'-k)\delta(t'-t)$ Dies ist die Algebra der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren . Da die Theorie linear ist (

L

$\mathcal{L}$ bilinear ein

Φ

$\Phi$ ) der Zahlenoperator

N = \sum_{k} Φ (k, T)^{†} Φ (k, T)

$N=\sum_{k}\Phi(k, t)^{\dagger}\Phi(k, t)$ pendelt mit

H

$\mathcal{H}$ , der Hamiltonian, der sich auf die Aktion bezieht

S

$\mathcal{S}$ . Dies impliziert das

N

$N$ ist eine Bewegungskonstante. Die Schrödinger-Gleichung (Bewegungsgleichung) wird von einem Feldoperator befolgt:

ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} \hat{Φ} (k, T) = {\hat{H}}_{k} (T) \hat{Φ} (k, T)

$i \hbar\frac{\partial}{\partial t} \hat{\Phi}(k,t)= \hat{H}_k(t)\hat{\Phi}(k,t)$ und wenn Sie Eigenfunktionen von finden

u_{n} (k, t)

$u_n(k,t)$ für die

{\hat{H}}_{k} (t)

$\hat{H}_k(t)$ wir haben:

\hat{Φ} (k, T) = \sum_{N} u_{N} (k, T) {\hat{C}}_{N}

$\hat{\Phi}(k,t)=\sum_{n}u_n(k,t)\hat{c}_n$

Wo $\hat{c}_n$ ist der Vernichtungsoperator eines Teilchens. Sie sehen, dass Ihre Vorhersage die gleiche sein würde.

Die Frage beschäftigt sich mit den Geschichten, die nicht der klassischen Bewegungsgleichung der Handlung gehorchen. Hier zeige ich, dass diese Geschichten uns nur eine Beschreibung geben, wo die Anzahl der Teilchen dynamisch sein kann. Aber weil wir eine Symmetrie haben (nur bilineare Terme), haben wir eine Symmetrie, die die Erhaltung der Teilchenzahl ist. Wir haben also praktisch dasselbe, aber mit unterschiedlichen Beschreibungen.

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Benutzer26143

Sebastian Riese

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donaldf

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