Ist die Pfadintegralamplitude eine Wellenfunktion?

Wenn ich den Hamilton-Operator, der das Verhalten des Doppelspalts beschreibt, irgendwie aufschreiben könnte, würde meine Wellenfunktion und damit mein Pfadintegral doch die Schrödinger-Gleichung lösen?

Interessante Frage, und die Antwort ist ja. Ich denke, der einfachste Grund ist, wie Sie sagen, dass wir den entsprechenden Hamiltonian kennen$H$, entwickelt sich der Zustand des Systems, das Sie geschrieben haben, mit der Zeit gemäß dem unitären Zeitentwicklungsoperator, der mit Lösungen der Schrödinger-Gleichung arbeitet. Das ist,

für$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$.

In diesem Artikel zeigen sie, wie die Schrödinger-Gleichung aus der Zeitentwicklung eines generischen Quantenzustands abgeleitet wird , was Sie vorgeschlagen haben. Hier gibt es viel Formalismus, aber die ernsthafte Aufgabe besteht letztendlich darin, den Hamilton-Operator zu finden, der vernünftige Vorhersagen für das Doppelspaltexperiment liefert. Hier ist eine sehr verwandte Frage.

Ich werde etwas zur allgemeinen Frage sagen und dann direkter auf die Doppelspaltenfrage eingehen. Fühlen Sie sich frei, zu Teil II zu springen. Ich ignoriere auch alle Konstanten, indem ich geeignete Einheiten wähle.

I. Allgemeine Bemerkungen

Wie ein anderer Kommentator betonte, sind das Pfadintegral und der Schrödinger-Formalismus in der Tat im folgenden Sinne miteinander verbunden: Betrachten Sie ein System mit einem Hamilton-Operator$H = H(p,x)$, wobei wir in der rechten den Hamilton-Operator als Operatorfunktion des Impulses ausgedrückt haben$p$und Stellung$x$, z.B

$H(p,x) = p^2 + V(x).$

Wenn wir dann diesen Hamilton-Operator "dequantisieren", um eine klassische Hamilton-Funktion zu erhalten, und wenn dieser klassische Hamilton-Operator in den Impulsvariablen quadratisch ist, können wir daraus das klassische Aktionsfunktional berechnen

$S[x(t)] = \int ( p(t) \dot{x}(t) - H(p(t),x(t))) dt$

Wo$p(t)$wird in Bezug auf ausgedrückt$x(t)$Und$\dot{x}(t)$.

Die Aussage ist jetzt, dass wenn$U(x_f,t_f;x_i,t_i)$ist die Übergangsamplitude eines Teilchens, das sich von einer Anfangsposition fortpflanzt$x_i$zum Zeitpunkt$t_i$auf eine letzte Stelle$x_f$zum Zeitpunkt$t_f$, dann erfüllt sie einerseits Schrödingers Gleichung:

$\left[- i \frac{\partial}{\partial t} + H( - i \partial_x,x) \right] U(x,t;x_i,t_i) = 0$

Andererseits wird diese Übergangsamplitude als Wegintegral angegeben

$U(x_f,t_f;x_i,t_i) = \int_{x(t_i) = x_i}^{x(t_f) = t_f} D[x(t)] e^{ i S[x(t)]} .$

II. Doppelt geschlitztes Gehäuse

Tatsächlich ist es nicht schwierig, den Schrödinger-Fall für dieses Problem aufzuschreiben. Denken Sie dabei daran, dass es sich bei der Positionsdarstellung nur um eine partielle Differentialgleichung handelt und sie mit einer Auswahl an Randbedingungen versehen sind. Wir können nämlich den Doppelspalt durch die folgende PDE modellieren

$i \frac{\partial}{\partial t} \psi_t(x) = - \nabla^2 \psi_t(x)$

den Randbedingungen vorbehalten

$\psi(t,x) = 0 \text{ for } x \in D$

Hier,$D$ist der Bereich, in dem sich der Doppelspalt befindet. Das können wir zum Beispiel sagen

$D = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x = 0, |y| < 1 OR |y| > 2 \}$

was den Schlitzen entspricht, die in der sitzen$yz$-Ebene, unendlich erweitert in der$z$Richtung und Verlängerung von$y=-2$Zu$y = -1$und von$y = 1$Zu$y = 2$.

In ähnlicher Weise können Sie das Pfadintegral mit dem Aktionsfunktional verwenden

$S[x(t)] = \int \dot{x}^2(t) d t$

Beachten Sie jedoch, dass wir hier nicht über alle Pfade integrieren, sondern nur über Karten$x:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^3 - D$; das heißt, wir betrachten nur die Pfade, die durch die Schlitze gehen.

Dies ist jedoch nicht allzu hilfreich, da beide Beschreibungen nicht ganz einfach zu lösen sind. Die Schrödinger-Gleichung sollte auf einem Computer nicht allzu schwer zu lösen sein, und das Pfadintegral ermöglicht einige Semiklassiker, was meiner Meinung nach in Feynmans Buch über Pfadintegration erfolgt.