Die kovariante Eichableitung und ihre Substitution

Question

Die kovariante Eichableitung und ihre Substitution

Nick

Ich habe mich gefragt, ob es (im Allgemeinen) einen Unterschied machen würde, wenn ich die kovariante Ableitung der Eichung einführen würde

D_{μ} = \partial_{μ} + ich e {EIN}_{μ}

$D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$ In der Lagrange-Dichte und dann die Bewegungsgleichungen ableiten. ODER wenn ich die Bewegungsgleichungen ableiten und dann die kovariante Eichableitung einführen würde.

Ich habe dies für die Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen überprüft, wo es überhaupt keinen Unterschied machte.

Meine Vermutung ist, dass es überhaupt keinen Unterschied machen würde, da wir dieses einführen, um unser System (Aktion, Bewegungsgleichungen, ...) eichinvariant zu machen. Es spielt also keine Rolle, an welcher Stelle ich die kovariante Eichableitung einführen würde.

Aber ich bin mir nicht sicher, ob diese Argumentation richtig ist ...

Um die Frage wirklich grundlegend zu machen, kommt es wohl auf die Frage an: "Müssen wir immer die lokalen Symmetrien in die Aktion einführen, oder können wir damit warten, bis die Bewegungsgleichungen vorliegen?"

BEARBEITEN: Ich bin auch fest davon überzeugt, dass Sie einfach die kovariante Ableitung in die Aktion einsetzen, um Ihre Wechselwirkungen einzuführen (dies ist der richtige Weg, da der Satz von Noether mit der Aktion arbeitet und dieser Satz die Erhaltungsgrößen garantiert).

Jetzt studiere ich "Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics" von Halzen & Martin, und wenn sie QED von Spin-0-Teilchen studieren (Kapitel 4 in meiner Ausgabe, die anscheinend die Ausgabe von 1984 ist), führen sie das Messgerät ein kovariante Ableitung in den BEWEGUNGSGLEICHUNGEN anstelle der Aktion.

Irgendwo hat das für mich eine gewisse Logik, denn wenn Ihr System unter einer Art Symmetrie invariant ist, sollten die Bewegungsgleichungen auch für diese Art von Transformation invariant sein (andernfalls würden zwei durch eine Symmetrietransformation verwandte Lösungen nicht dasselbe ergeben Ergebnis). Ich denke, das beweisen sie hier (arxiv.org/abs/0907.2301), aber ich bin mir nicht sicher, inwieweit das geht?

Natürlich (wie in einem Kommentar zu einer der Antworten gesagt), wenn Sie Ihr Vektorfeld angeben möchten $A_\mu$ Für eine allgemeine Dynamik benötigen Sie die Yang-Mills-Theorie und eine Art kinetischen Begriff für dieses Feld. In diesem Fall benötigen Sie eine Lagrange-Funktion, um beide Dynamiken zu "vereinen".

EDIT2: Die Antwort von @QMechanic gibt auch eine sehr schöne schematische Version der Frage (nur als Referenz).

Nick

Ich denke, ein Beweis für meine Behauptung ist hier angegeben: arxiv.org/abs/0907.2301

Jäger

Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie fragen, aber ich werde diesen Kommentar abgeben: Wenn Sie Messfelder in die Aktion einführen, wird der Strom des Noethers ebenfalls angepasst. Für nicht-Abelsche Theorien ist der Strom oft (immer?) nicht mehr eichinvariant. Das bedeutet, dass der Noetherstrom keine Observable mehr ist. Sie würden dies nicht erhalten, wenn Sie Messgerätefelder „von Hand“ im EOM eingeben würden. Wenn dies Ihre Frage beantwortet, kann ich einen etwas längeren Beitrag erstellen.

Antworten (2)

Die kovariante Eichableitung und ihre Substitution

Ich denke, ein Beweis für meine Behauptung ist hier angegeben: arxiv.org/abs/0907.2301
Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie fragen, aber ich werde diesen Kommentar abgeben: Wenn Sie Messfelder in die Aktion einführen, wird der Strom des Noethers ebenfalls angepasst. Für nicht-Abelsche Theorien ist der Strom oft (immer?) nicht mehr eichinvariant. Das bedeutet, dass der Noetherstrom keine Observable mehr ist. Sie würden dies nicht erhalten, wenn Sie Messgerätefelder „von Hand“ im EOM eingeben würden. Wenn dies Ihre Frage beantwortet, kann ich einen etwas längeren Beitrag erstellen.

Sourav · Answer 1

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "einen Unterschied machen" meinen.

Die kovariante Ableitung wird in die Lagrange-Dichte eingeführt, um der Aktion lokale Spursymmetrie hinzuzufügen. Eine gegebene Feldtheorie wird durch ihre Wirkung beschrieben. Wenn also die Aktion keine bestimmte Symmetrie hat, können Sie die Symmetrie später nicht einführen.

Wenn Sie mit "einen Unterschied machen" einen Unterschied zu den physikalischen Konsequenzen meinen, dann macht es einen Unterschied, wenn Sie die kovariante Ableitung nicht in die Lagrange-Dichte selbst einführen. Am Beispiel der komplexen Skalarfeldtheorie lautet die vollständige Lagrange-Dichte:

$(1/2)(D_{\mu}\phi)^{*}D^{\mu}\phi-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-V(\phi,\phi^{*})$

Der erste Term gibt den kinetischen Term für Ihr Skalarfeld und einen Wechselwirkungsterm an $\phi, \phi^{*}, A^{\mu}$ gekoppelt. Der zweite Term ist der kinetische Term für $A^{\mu}$ , während der Begriff ein Interaktionsbegriff mit ist $\phi$ und $\phi^{*}$ .

Wenn Sie die kovariante Ableitung nicht in Ihrer Lagrange-Dichte haben, haben Sie keine Wechselwirkung zwischen dem komplexen Skalarfeld und dem Eichfeld, und daher ist dies ein großer Unterschied zur Physik. In der QED würde das bedeuten, dass Compton-Streuung und vieles, was in der Natur passiert, nicht passieren wird.

Ich folge deiner Argumentation voll und ganz und das war auch eine, die ich gemacht habe (zusammen mit der Tatsache, dass, wenn du dein Vektorboson willst $A_\mu$ um ein unabhängiges Feld zu sein, benötigen Sie den zweiten kinetischen Term, den Sie danach nicht mehr fordern können), also dafür +1. Jetzt war die Frage, Wechselwirkungen einzuführen, können wir nicht die eichinvariante Ableitung in den Bewegungsgleichungen anstelle der Wirkung einsetzen? Dies geschieht auch in Halzen & Martin (siehe Bearbeitung meiner Frage).

QMechaniker · Answer 2

OP erwägt, ob die Extremisierung der Aktion mit dem Rezept der minimalen Kopplung (MC) pendelt, dh ob das folgende Diagramm pendelt:

\begin{array}{ccc} Lagrangedichte & Lagrangedichte \\ L (ϕ (x), \partial ϕ (x), EIN (x), F (x), x) & \overset{MC}{⟶} & L (ϕ (x), D ϕ (x), EIN (x), F (x), x) \\ Extremisierung ↓ & ↓ Extremisierung \\ E (ϕ (x), \partial ϕ (x), \partial^{2} ϕ (x), EIN (x), & \overset{MC}{⟶} & E (ϕ (x), D ϕ (x), D^{2} ϕ (x), EIN (x), \\ F (x), \partial F (x), x) = 0 & F (x), D F (x), x) = 0 \\ EOMs & EOMs \end{array}

$\begin{array}{ccc} \text{Lagrangian density} && \text{Lagrangian density} \cr {\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),A(x),F(x),x) &\stackrel{\text{MC}}{\longrightarrow} & {\cal L}(\phi(x),D\phi(x),A(x),F(x),x) \cr\cr \text{extremization}\downarrow &&\downarrow \text{extremization}\cr\cr {\cal E}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x),A(x), &\stackrel{\text{MC}}{\longrightarrow} & {\cal E}(\phi(x),D\phi(x),D^2\phi(x),A(x),\cr F(x),\partial F(x),x)=0 & & F(x),D F(x),x)=0\cr \text{EOMs} && \text{EOMs} \end{array}$

Hier $\phi(x)$ ist eine Abkürzung für verschiedene Materiefelder.

Nein. Es gibt mehrere Probleme mit diesem Vorschlag. Bsp die Extremisierung wrt. $A_{\mu}$ der (skalaren) QED vor der minimalen Kopplung würde Maxwellsche Gleichungen ohne Materiequellterme erzeugen. Ein späterer minimaler Kopplungsvorgang würde dies nicht beheben. Diese Tatsache hängt mit Souravs Antwort zusammen.

danke für die Aufklärung der Frage, das ist ein wirklich schönes Schema der Frage. Jetzt habe ich auch gedacht, dass es falsch ist, aber ich sehe, dass viele Texte dies als erste Einführung tun (falls die $A_\mu$ -Feld hat keine eigenständige Dynamik (also in der QED ein konstantes EM-Feld bzw $A_\mu$ -aufstellen). Wir fordern immer unsere Symmetrien in der Aktion (da dies der grundlegendste Weg ist, denke ich?). Meine Frage ist, ob es Fälle gibt, in denen es in Ordnung ist, Symmetrie aufzuerlegen, nachdem die Euler-Lagrange-Gleichungen durchlaufen wurden.

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