Eichsymmetrie für p-Formen

Wir können die Maxwell-Lagrangian leicht verallgemeinern$^\star$für alle$p$-Verbindung bilden. Wenn wir bezeichnen,$A^{(p)}$A$p$-Formlehrenanschluss, dann ergibt sich die Feldstärke einfach aus,$F=\mathrm{d}A^{(p)}$. Um eichinvariant zu sein, muss die Lagrange-Funktion invariant sein unter:$^\dagger$

Wo$\alpha$ist eine exakte$(p-1)$-form. Offensichtlich, wenn die Aktion nur davon abhängt$F$, dann ist es eichinvariant, da die zweimal angewendete äußere Ableitung nilpotent ist, dh$\mathrm{d}^2=0$. Ein Beispiel für den Fall$p=2$:

und die Lagrange-Funktion ist gegeben durch$\mathcal{L}\sim H^2$, für Potenzial$B$. Im Allgemeinen ist die Feldstärke gegeben durch

$\star$Die Definition der Feldstärke als einfache äußere Ableitung des Eichfeldes gilt nur, wenn die Verbindung eine Lie-Algebra-Wertform für eine abelsche Gruppe ist$G$.

$\dagger$Tatsächlich muss der dem Potenzial hinzugefügte Term nicht exakt sein. Die einzige Voraussetzung ist, dass die äußere Ableitung verschwindet, also abgeschlossen ist. Exakt zu sein impliziert, dass es geschlossen ist. Im Falle$p=1$, formulieren wir den Begriff oft als „totale Ableitung“.

Sie können p-Formen auf eine Weise in eine Theorie einbeziehen, die keine Eichinvarianz impliziert, genauso wie Sie eine Theorie eines massiven Vektors aufschreiben können, indem Sie ein einbeziehen$m^2 A^{\mu} A_{\mu}$Begriff im Lagrange. Aber in vielen Theorien mit p-Formen gibt es eine Eichinvarianz wie die, die Sie aufgeschrieben haben. In diesem Fall würde die Lagrange-Funktion aus der Feldstärke konstruiert werden$F=dA$(was selbst offensichtlich eine Eichinvarianz für abelsche Felder ist) und möglicherweise andere Begriffe, die davon abhängen$p$, die Dimension der Raumzeit usw.