1. Instantons

1.1 Instantons als klassische Lösung

Ein Instanton ist ziemlich genau das, was Sie sagen: Eine (anti-)selbst-duale Konfiguration der Krümmung eines Hauptbündels. Die Krümmung$F_A$eines Hauptbündels mit Anschluss$A$ist der Feldstärketensor der physikalischen Eichtheorie, während der Zusammenhang als Eichpotential bezeichnet wird . Beim Elektromagnetismus werden beispielsweise die von Null verschiedenen Komponenten von$F$sind genau die elektrischen und magnetischen Felder, also hat es eine direkte physikalische Relevanz. Im Allgemeinen ist die Aktion ¹ einer Yang-Mills-Eichtheorie durch das Integral gegeben

$$S_\text{YM}[A] = \int_M\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge \ast F)$$ deren Euler-Lagrange-Gleichungen die klassischen Bewegungsgleichungen sind, dh die klassischen Lösungen sind stationäre Punkte dieses Funktionals. Nun können wir die Feldstärke in einen selbstdualen Anteil zerlegen $F^+$und einen anti-selbst-dualen Teil $F^-$die bezüglich des Skalarprodukts orthogonal zueinander sind $$(G,H) = \int G\wedge\ast H$$ Das Einstecken gibt $$S_\text{YM}[A] = \int \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F^+\wedge \ast F^+) + \int \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F^-\wedge \ast F^-)$$ und vergleicht dies mit der zweiten Chern-Klasse $C_2(A) := \int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge F)$wir können das sehen $S_\text{YM}[A] \geq \lvert C_2(A)\rvert$, dh wird bei Gleichheit lokal minimiert. Aber diese Gleichheit gilt genau dann, wenn beides der Fall ist $F^+ = 0$oder $F^- = 0$, dh bei voller Feldstärke $F$ist selbst entweder selbst-dual oder anti-selbst-dual (oder verschwindet). Damit sind die klassischen Bewegungsgleichungen äquivalent $\ast F = \pm F$, dh Instantonen sind nur klassische Lösungen der Bewegungsgleichung.

Schon klassisch ist die Größe des Modulraums von Instantonen etwas interessant, da sie zeigt, ob es mögliche unterschiedliche Lösungen der klassischen Bewegungsgleichung gibt oder nicht. Instantons können jedoch durch große Eichtransformationen in Beziehung gesetzt werden, die man klassisch quotieren kann, daher ist das Zählen der Instantons als solches nicht genug Information, um interessant zu sein.

1.2 Instantons als "vacua" der Quantentheorie

Die Standard-Störungstheorie in der Quantenfeldtheorie geht von der Erweiterung der Exponentialfunktion der Wirkungsfunktion um eine klassische Lösung aus. Die Existenz mehrerer klassischer Lösungen bedeutet, dass wir um jede einzelne von ihnen herum expandieren und die Lösungen mit einem gewissen Gewicht zusammenfassen sollten$f$. ² Wenn wir mit bezeichnen$\mathcal{D}A_k$ein Feynman-Pfad-Integralmaß (mit quotientierten Eichäquivalenzklassen), das über Störungen des mit gekennzeichneten Instantons liegt$k = \frac{1}{8\pi}C_2(A)$³ erhalten wir für das euklidische Pfadintegral

$$Z = \sum_k f(k)\int \mathrm{e}^{-S_\text{YM}[A_k]}\mathcal{D}A_k$$ Durch ein Standard-Zerlegungsargument, dass dieses Integral in lokale Teile einfließen sollte, wenn wir Dinge wie betrachten $A_k = A_{k_1} + A_{k_2}$wo $A_{k_1},A_{k_2}$leben auf verschiedenen Regionen, das findet man heuristisch $f(k_1+k_2) = f(k_1)f(k_2)$sollte gelten, und da alles in der Welt eines Physikers glatt ist, außer wenn es nicht so ist, bedeutet dies, dass $f$ist selbst exponentiell $f(k) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta k}$für einige $\theta\in\mathbb{R}$. Denken Sie daran, wie $k$definiert wurde, erhalten wir eine modifizierte Aktion $$S_\theta[A] = \int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge\ast F) + \frac{\mathrm{i}\theta}{8\pi^2}\int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge F)$$ mit denen wir die Summe fallen lassen und schreiben können $$Z = \int \mathrm{e}^{-S_\theta[A]}\mathcal{D}A$$ wo $\mathcal{D}A$erstreckt sich nun über den gesamten Verbindungsraum.

Daraus kann eine Entwicklung anderer Theorien folgen, z. B. kann man jetzt versuchen, die zu fördern$\theta$sich selbst zu einem dynamischen Feld, das in der Peccei-Quinn-Theorie dann als Axion bezeichnet wird .

Es gibt jedoch ein Problem, wenn man versucht, diese Summe in Theorien zu machen, die an Fermionen gekoppelt sind, nämlich das Auftreten einer Quantenanomalie.

1.3 Instantonen und Quantenanomalien

Wir betrachten eine Theorie von Quanten-Fermion-Feldern gekoppelt an einen klassischen Eichfeld-Hintergrund (dh ein Instanton)

$$S_\text{Dirac}[\psi,A] = \bar\psi (\mathrm{i}D - m)\psi - \frac{1}{4}F\wedge\ast F$$ wo $D$ist der Dirac-Operator $D = D_\mu\gamma^\mu$mit $D_\mu$die kovariante Ableitung gehört zu $A$und $\gamma^\mu$die üblichen Gammamatrizen , die auf die Spinoren einwirken $\psi$. Wir möchten schreiben $$Z[A] = \int\mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar\psi \mathrm{e}^{-S_\text{Dirac}[\psi,A]}$$ aber es gibt ein Problem mit der üblichen Definition von $\mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar\psi$im Sinne einer Integrationsgrenze über die Moden des Feldes. Siehe diese meine Antwort zur Definition und Regularisierung des Maßes und diese meine Antwort dazu, wie letztendlich die Anomalie - dh das Problem bei der unveränderlichen Definition des Maßes bei großen Spurtransformationen - mit dem Index von zusammenhängt $D$, die nach dem Atiyah-Singer-Indexsatz eng mit der Instantonzahl verwandt ist $k$als die Chern-Klasse.

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^{1 Eigentlich betrachten wir die sogenannte Euklidische Wirkung , zu der die eigentliche Wirkung durch die Dochtrotation in Beziehung steht}

^{2 Perturbativ sind die Zustände, die zu so unterschiedlichen Sektoren gehören, nicht miteinander verbunden, aber mit der Theorie der Instantonen kann man sehen, dass es zwischen ihnen nicht-perturbative Amplituden gibt, siehe diese Antwort von mir}

^{3 Es kann mehrere Instantons mit der gleichen Nummer geben, die Summe ist dann über jedem von ihnen (da im Allgemeinen nicht garantiert ist, dass diese durch eine Eichtransformation zusammenhängen)}

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2. Donaldson-Invarianten

^{Dieser Abschnitt versucht, eine kurze Nacherzählung von Wittens „Topologischer Quantenfeldtheorie“ zu sein.}

2.1 Verdreht$\mathcal{N}=2$supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Die physikalische Umgebung, in der die Donaldson-Invarianten auftreten werden, ist eine Yang-Mills-Theorie, die auf der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit lebt$M$an bestimmte Felder gekoppelt, so dass die Gesamtwirkung eine Supersymmetrie genießt. Die Wirkung dieser Theorie sieht zugegebenermaßen schrecklich aus:

$$S_\text{SYM} = \int_M \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}\left(\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{4}F_{\mu\nu}(\ast F)^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\phi D_\mu D^\mu \lambda - \mathrm{i}\eta D_\mu \psi^\mu + \mathrm{i}D_\mu\psi_\nu \chi^{\mu\nu} - \frac{\mathrm{i}}{8}\phi[\chi_{\mu\nu},\chi^{\mu\nu}] - \frac{\mathrm{i}}{2}\lambda[\psi_\mu,\psi^\mu] - \frac{\mathrm{i}}{2}\phi[\eta,\eta] - \frac{1}{8}[\phi,\lambda]^2 \right)\sqrt{g}\mathrm{d}^4 x$$ Hier $D_\mu = \nabla_\mu + [A_\mu,\dot{}]$ist die kovariante Eichableitung (mit $\nabla$die gewöhnliche kovariante Riemannsche Ableitung) und alle Felder sind $\mathfrak{g}$-geschätzt. Da ist ein $\mathbb{Z}_2$-Gradierung auf dem Feldraum, wobei wir die verschiedenen Klassen "bosonisch" (oder gerade) und "fermionisch" (oder ungerade) nennen. Die bosonischen Felder sind $\phi,\lambda$, die fermionischen sind $\eta,\psi,\chi$, und $\chi$ist zusätzlich gezwungen, selbstdual zu sein. Diese Aktion ist unter der infinitesimalen Symmetrie unveränderlich $$\begin{align} \delta_\epsilon A = \mathrm{i}\epsilon\psi \quad \delta_\epsilon\phi = 0 \quad \delta_\epsilon\lambda = 2\mathrm{i}\epsilon\eta \\ \delta_\epsilon\psi = -\epsilon D\phi \quad \delta_\epsilon\eta = \frac{1}{2}\epsilon[\phi,\lambda] \quad \delta_\epsilon \chi = \epsilon(F + \ast F) \tag{1} \end{align}$$ mit $\epsilon$ein fermionischer infinitesimaler Parameter. Wie bei allen Verwandlungen denken wir auch bei dieser, dass sie einen Generator hat – seine Aufladung – $Q$, was alle Transformationen als angibt $\delta \alpha = -\mathrm{i}\epsilon Q(\alpha)$wo $\alpha$ist ein beliebiges Feld. In einer Hamiltonschen Formulierung $Q(\alpha)$wäre die Poisson-Klammer $\{Q,\alpha\}$, aber auf einer allgemeinen Mannigfaltigkeit haben wir diese Option nicht. Durch explizite Berechnung findet man das $$\delta_\epsilon\delta_\zeta X - \delta_\zeta\delta_\epsilon X = -2\mathrm{i}\epsilon\zeta\phi$$ für jeden Bereich $X$außer $A$, wo ist es $-D \phi$. Dies gilt nur für On-Shell $\chi$, aber Off-Shell für alle anderen. Daher ist der Kommutator zweier solcher Transformationen eine Eichtransformation und hat daher keine physikalische Auswirkung. In der Hamiltonschen Formulierung würden wir dies schreiben $\{Q,Q\} = 0$(Modulo-Eichtransformationen), das heißt, $Q$ist vergleichbar mit einer BRST-Ladung . Der dieser Symmetrie zugeordnete konservierte Strom ist $$J = \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}\left((F_{\mu\nu} + (\ast F)_{\mu\nu})\psi^\nu - \eta D_\mu \phi - D^\nu\phi \chi_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\psi_\mu[\lambda,\phi]\right)\mathrm{d}x^\mu$$ wo Erhaltung das bedeutet $\ast J$geschlossen ist, also für jede Homologie 3-Zyklus $\gamma$, das Integral $$Q[\gamma] = \int_\gamma \ast J$$ hängt nur von der Homologieklasse ab $\gamma$. Weiterhin kann man zeigen, dass der Energie-Impuls-Tensor $T_{\mu\nu} = 2 \frac{\delta S_\text{SYM}}{\delta g^{\mu\nu}}$dieser Theorie ist eine infinitesimale Transformation $T_{\mu\nu} = \{Q,\lambda_{\mu\nu}\}$für einen anderen hässlichen Ausdruck $\lambda$(siehe Wittens Gl. (2.34)).

2.2 Donaldson-Invarianten als Pfadintegrale

Im Folgenden wird das Wegintegralmaß$\mathcal{D}X$umfasst alle Felder und beabsichtigt auch, die Äquivalenzklassen der Eichmaße quotientiert zu haben. Das generische Objekt, das wir betrachten, ist der (nicht normalisierte) Erwartungswert einer beliebigen Observable$\mathcal{O}$, wo$\mathcal{O}$ist eine nette Funktion in den Feldern:

$$Z(\mathcal{O}) = \int \mathcal{O}\mathrm{e}^{-S_\text{SYM}/e^2}\mathcal{D}X$$ Wenn die Supersymmetrietransformation nicht anomal ist, haben wir $Z(\{Q,\mathcal{O}\}) = 0$für jede beobachtbare. Das behaupten wir jetzt $Z = Z(1)$ist eine glatte Invariante und wird sich insbesondere als Donaldson-Invariante herausstellen. Zum $Z$Um eine glatte Invariante zu sein, muss sie unter Änderungen in der Metrik invariant sein. Die Änderung der Aktion unter einer Änderung der Metrik ist per Definition $\delta S = \frac{1}{2}\int_M \sqrt{g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$und das führt zu $$\delta Z(1) = -\frac{1}{e^2}Z(\{Q,\int_M \sqrt{g}\delta g^{\mu\nu}\lambda_{\mu\nu}\}) = 0$$ Also $Z(1)$ist invariant unter Änderungen der Metrik. Ebenso ist es bei Änderungen der Spurweitenkopplungskonstante unveränderlich $e$, solange es nicht Null bleibt. Aber im Grenzbereich der kleinen Kopplung wird das Pfadintegral stark von klassischen Minima der freien Theorien dominiert ... und die klassischen Minima der freien Eichtheorie sind die anti-selbst-dualen Instantonen! Die selbstdualen sind keine Minima , weil wir die topologischen hinzugefügt haben $F\wedge F$zum Lagrange. Wir dürfen also auswerten $Z$indem Sie sich die Instanton-Beiträge ansehen. Wie in 1.3 oben ist das Pfadintegralmaß jedoch nicht invariant , wenn die fermionischen Nullmoden nicht übereinstimmen. Die Gleichungen für die $\psi$Nullmoden erweisen sich als genau dieselbe Gleichung wie die für eine infinitesimale Störung $\delta A$zu einer Instanton-Konfiguration $A$ein Instanton sein: $$D_\mu Y_\nu - D_\nu Y_\mu + \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}D^\sigma Y^\rho \quad\land\quad D_\mu Y^\mu = 0$$ zum $Y$entweder $\delta A$oder $\psi$. Aber die Anzahl möglicher unabhängiger Störungen eines Instantons, die wiederum ein Instanton sind, ist genau das, was man die Dimension nennen würde $\dim(\mathcal{M})$des Modulraums am Punkt $A$wenn es ein echter glatter nicht-singulärer Raum wäre, so die Zahl von $\psi$Nullmoden ist die gleiche wie die Dimension des Modulraums von Instantonen. Im Allgemeinen scheint es einen Indexsatz zu geben, der besagt, dass die Gesamtzahl der Nullmoden gleich der formalen Dimension des Modulraums ist, aber Witten gibt hier weder seinen Namen noch seine Anwendung an.

Wenn wir uns auf die Situation in der Frage spezialisieren, wo der Instanton-Modulraum diskret ist und die Dimension Null hat, haben wir das also$Z$ist eine glatte Invariante. Für einen festen Instanton-Hintergrund und im Grenzbereich der schwachen Kopplung genügt es, die Terme niedrigster Ordnung in den Feldern zu betrachten. Das sind quadratische Terme der Form$\Phi \Delta \Phi$und$\Psi \mathscr{D} \Psi$wo$\Delta$ist ein elliptischer Operator zweiter Ordnung auf den bosonischen Feldern$\Phi = (A,\phi,\lambda)^T$und$\mathscr{D}$auf den fermionischen Feldern reell schiefsymmetrisch erster Ordnung ist$\Psi = (\eta,\psi,\chi)^T$. Damit ist der Weg integral über$\Phi$und$\psi$degeneriert in ein Gaußsches Integral.

Außerdem hängen ihre Eigenwerte durch Supersymmetrie zusammen: Betrachtet man die Supersymmetrietransformation$(1)$, sehen wir, dass die klassischen Lösungen$F = -\ast F$und$\phi,\lambda,\eta,\psi,\chi = 0$sind unter Supersymmetrie invariant, so dass die Quantenanregungen beim Expandieren um sie herum ebenfalls durch Supersymmetrie zusammenhängen. Für jede Nicht-Null$\lambda$das ist ein Eigenwert von$\mathscr{D}$(die paarweise auftreten, da sie schiefsymmetrisch sind), gibt es einen Eigenwert$\lambda^2$von$\Delta$. ^{Dies wird in D'Adda, DiVecchia, "Supersymmetry and instantons" gezeigt.}

Jetzt ist das Gaußsche Pfadintegral vorbei$\int_M \left(\Phi \Delta \Phi + \mathrm{i}\Psi \mathscr{D} \Psi \right)\sqrt{g}$Erträge$\mathrm{Pf}(\mathscr{D}) / \sqrt{\det(\Delta)}$, und die Pfaffsche und die Determinante unterscheiden sich nur durch ein Vorzeichen, also wird dies$\pm \prod_i \mathrm{sgn}(\lambda_i)$, wobei das Produkt über alle Eigenwerte ungleich Null läuft. Das$\pm$liegt daran, dass wir eine Orientierung auswählen müssen, die das Vorzeichen des Pfaffian bestimmt. Also wählen wir irgendein Instanton$A_0$und erklären, dass dieses Produkt ist$+1$dafür. Nun wählt man irgendein anderes Instanton$A_i$und bestimmt wie oft$\mathscr{D}$entlang der Homotopie einen Eigenwert von Null hat$A_t = t A_0 + (1-t) A_i$. Jedes Mal, wenn es einen Null-Eigenwert erhält, das Vorzeichen von$\mathrm{Pf}(\mathscr{D})$ist auf Veränderung festgelegt . (Ich denke, das ist im Grunde Transport$\mathscr{D}$entlang der Kurve$A_t$Im Weltall$\mathcal{A}/\mathcal{G}$, wo$\mathcal{A}$ist der Raum der Verbindungen.) Dies gibt eine wohldefinierte Möglichkeit, das Zeichen des Pfaffschen für zu definieren$A_i$wenn es unabhängig von der Homotopie dasselbe Vorzeichen gibt$A_t$gewählt wird - und da die Verkettung von zwei von ihnen eine Transformation von ergibt$A_0$auf sich selbst ist dies gleichbedeutend mit der Anforderung, dass sich das Vorzeichen entlang einer Schleife nicht ändern darf$\mathcal{A}/\mathcal{G}$basierend auf$A_0$.

Wenn dies gegeben ist, dann erhalten wir das$Z = \sum_i(-1)^{n_i}$, wobei die Summe über alle Instantonen und die ist$n_i$werden auf die obige Weise bestimmt. Das ist nun endlich genau die gleiche skizzenhaft definierte Invariante wie in der Frage.