Frage zu Zusammenhängen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Teilchenphysik

Dies liegt daran, dass es eine beträchtliche Menge an Mathematik erfordert, um dorthin zu gelangen, wie Sie gerade umrissen haben. Sie müssen etwas über Topologie, glatte Strukturen, Mannigfaltigkeiten, Verbindungen, Bündel, Rahmenbündel, Hauptbündel und so weiter lernen.

Stattdessen verwenden sie die traditionelle physikalische Sprache der Komponenten, die ihre Vorteile hat, obwohl sie von Mathematikern gemieden wird.

So kommen sie schnell zur Physik. Es ist auch als die von Einstein selbst verwendete Methode geheiligt.

Zweifellos wird sich dies in Zukunft ändern, aber nicht in absehbarer Zeit. Es ist eine Frage der Physikpädagogik, sich zu ändern, um die gesamte mathematische Technologie zu berücksichtigen, die es uns ermöglicht, unveränderlicher über Physik nachzudenken. Das wird dauern.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, inwiefern die Bündeltechnologie in GR irrelevant ist. Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit$M$sind Abschnitte des Tangentialbündels$TM$, die dem (in der Regel gekrümmten) Rahmenbündel zugeordnet ist$LM$; die Verbindung$\Gamma$und Krümmung$\mathrm{Riem}$sind (lokale Darstellungen von) der Verbindung 1-Form$\omega$und seine Krümmung$\Omega$An$LM$.

In der typischen Low-Level-Einführung in GR ergibt sich der Zusammenhang, weil wir die Differenzierung von Vektorfeldern basisunabhängig definieren möchten. Dies erfordert die Einführung eines Hilfsfeldes$\Gamma$mit Krümmung$\mathrm{Riem}:= \mathrm d\Gamma + \Gamma\wedge \Gamma$. Sie scheinen sich zu fragen, warum diese Low-Level-Einführung nicht die Sprache der Hauptbündel erfordert, aber wir haben wirklich die ganze Arbeit geleistet, um eine Hauptbündelverbindung zu erstellen, und sie einfach nicht so effizient wie möglich formalisiert.

Schließlich müssen Sie für Elektromagnetismus sicherlich nicht über Hauptbündel sprechen (sonst würden Studenten wie die Fliegen umfallen). Zwar lässt sich der Elektromagnetismus sehr elegant über eine Yang-Mills-Theorie mit Strukturgruppe verstehen$\mathrm U(1)$, aber das bedeutet nicht, dass es in dieser Sprache eingeführt werden muss.

Zu dem Zeitpunkt, an dem man mit der Teilchenphysik beginnt, könnte man vernünftigerweise erwarten, dass sie auf ähnliche Strukturen in verschiedenen Bereichen gestoßen sind (z. B. wenn Elektromagnetismus mit GR verglichen wird, gibt es eine Entsprechung zwischen$\mathcal A \leftrightarrow \Gamma$Und$\mathcal F \leftrightarrow \mathrm{Riem}$). Daher ist es an der Zeit, die Idee der Eichinvarianz über Hauptbündel zu formalisieren, frühere Theorien (GR und EM) durch diese Linse zu verstehen und sich dann auf die anspruchsvolleren und abstrakteren Eichtheorien zu freuen, die im Standardmodell (und Erweiterungen) enthalten sind davon).

1. Die Behauptungen in der Frage sind sehr seltsam: Viele Leute betreiben Teilchenphysik, ohne das Wort "Bündel" auch nur zu erwähnen. In der Physik ist es durchaus üblich, den Begriff eines Bündels für das Eichfeld zu umgehen, indem man vom Verhalten des Eichfelds "im Unendlichen" spricht. Siehe zB diese Frage für Instanzen dieser Sprache. Es ist praktisch absolut nicht so , dass die Sprache der Bündel für die Teilchenphysik "erforderlicher" wäre als für die Allgemeine Relativitätstheorie. Sowohl in GR als auch in Nicht-GR können Sie einfach eine kovariante Ableitung / Verbindung / parallelen Transport durch Schreiben definieren$\nabla_\mu = \partial_\mu + \rho(A_\mu)$für$A$ein Lie-Algebra-bewertetes Eichfeld und$\rho$wobei die Darstellung des Eichfeldes auf dem Feld differenziert wird. Im Fall von GR haben Sie nur die Christoffel-Symbole als gedacht$\mathfrak{gl}(n)$-bewertete 1-Form:$\Gamma_\mu\in\mathfrak{gl}(n)$mit Matrixkomponenten$({\Gamma^\nu}_\sigma)_\mu$, auf natürliche Weise auf Tensoren einwirkend$n$Maße.

2. Die Vorstellung, dass man für die mit einer Eichtheorie verbundene generische Verbindung „mehr Mathematik“ braucht als für die Levi-Civita-Verbindung in der Allgemeinen Relativitätstheorie, hat jedoch einen wahren Kern: In der Allgemeinen Relativitätstheorie lebt die Verbindung direkt vom Tangentenbündel des Verteilers, und das zugehörige "Hauptbündel" ist nur das (orthogonale) Rahmenbündel des Verteilers. Das heißt, selbst wenn Sie die Sprache der Bündel verwenden, müssen Sie nicht auf den abstrakten Fall von Hauptbündeln und ihren zugehörigen Bündeln und Darstellungen und so weiter verallgemeinern - alles, was Sie brauchen, ist bereits "natürlich" vorhanden und wird Ihnen von der Standard-Differentialgeometrie gegeben: die (Ko-)Tangentenbündel, das Rahmenbündel und ihre Tensorpotenzen.

   In der Sprache der generischen Eichtheorien ist das Besondere an GR als Theorie einer Verbindung auf Hauptbündeln, dass die Eichtheorie hier nicht „abstrakt“ ist, sondern auf das Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit gelötet wird . Die dof, auf die die Verbindung einwirkt, sind nicht "intern", völlig losgelöst von etwas intuitiver Geometrischem, sie sind stattdessen die gleichen dof gewöhnlicher geometrischer Vektoren. Sie müssen also keine allgemeine Verbindungstheorie entwickeln, um die Levi-Civita-Verbindung von GR zu formulieren – Sie müssen nur diesen Spezialfall einer vollständig gelöteten Verbindung verstehen.

Wie bereits in einigen anderen Antworten erwähnt, handelt es sich hauptsächlich um pädagogische Entscheidungen. Tief im Inneren verwendet man tatsächlich die ganze Faserbündelmaschinerie, um die Verbindung zu definieren, aber im besonderen Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie kann man ein paar Abkürzungen nehmen, selbst wenn man mit Texten umgeht, die mathematisch vorsichtig sind und vermeiden, in Komponenten zu arbeiten. Bei einigen Beispielen führt beispielsweise Walds Allgemeine Relativitätstheorie den Begriff ein, indem ein „Ableitungsoperator“ eingeführt wird, und fährt dann fort, die Metrik zu verwenden, um die Levi-Civita-Verbindung herauszuarbeiten – er erörtert diese pädagogische Wahl kurz in einem Ressourcenbrief namens Teaching General Relativitätstheorie (siehe arXiv: gr-qc/0511073 ), p. 8. Wenn ich mich richtig erinnere, Hawking & Ellis'Die großräumige Struktur der Raumzeit verfolgt einen ähnlichen Ansatz.

Lassen Sie mich insbesondere etwas von Walds Lehren der Allgemeinen Relativitätstheorie hervorheben , S. 8, die meiner Meinung nach eine einfache Antwort auf Ihre Frage bietet:

In mathematischen Behandlungen wird der Begriff des parallelen Transports normalerweise im allgemeineren Kontext einer Verbindung auf einem Faserbündel eingeführt. Die allgemeinen Begriffe von Faserbündeln und -verbindungen haben viele wichtige Anwendungen in Mathematik und Physik (insbesondere zur Beschreibung von Eichtheorien), aber es würde normalerweise einen viel zu umfangreichen mathematischen Exkurs erfordern, um eine allgemeine Diskussion dieser Themen in eine allgemeine aufzunehmen Relativitätskurs, sogar auf Graduiertenebene.

Obwohl es in einem völlig allgemeinen Kontext keinen eindeutigen Begriff der Differenzierung von Tensoren gibt, wird bei Vorhandensein einer Metrik ein eindeutiger Begriff der Differenzierung herausgegriffen, indem die zusätzliche Anforderung gestellt wird, dass die Ableitung der Metrik null sein muss. In der euklidischen Geometrie (oder in der speziellen Relativitätstheorie) entspricht dieser Begriff der Differenzierung von Tensoren der partiellen Differenzierung der Komponenten der Tensoren in kartesischen Koordinaten (oder in globalen Trägheitskoordinaten). In nicht-flachen Geometrien entspricht dieser Begriff der Differenzierung – als kovariante Ableitung bezeichnet – jedoch keiner partiellen Differenzierung der Komponenten von Tensoren in irgendeinem Koordinatensystem.

Als Beispiel für eine Referenz, die einen anderen Ansatz verfolgt, habe ich einen kurzen Blick darauf geworfen, und Baez & Muniain's Gauge Fields, Knots, and Gravity scheint der Theorie der Bündel etwas näher zu kommen, soweit ich das beurteilen kann (das tue ich kenne die Referenz nicht im Detail, aber ich habe sie mir kurz angesehen, da sie die Eichtheorie behandelt, bevor sie die Schwerkraft diskutiert, und sie scheint einem solchen Ansatz zu folgen).