Was sind Verbindungen in der Physik?

Zusammenhänge in der Physik "sind" die gleichen wie in der Mathematik, werden aber üblicherweise als Feldpotentiale interpretiert, mit Ausnahme von GR.

Die Interpretation folgt natürlich aus dem Konzept einer kovarianten Ableitung: Lokale Transformationen des untersuchten Feldes dürfen die beteiligte Physik nicht ändern (dh die Lagrange-Funktion muss unveränderlich sein), also führt man ein anderes "Eich"-Feld ein, das eine eigene Dynamik hat, um Änderungen aufzuheben aus der Transformation des Materiefeldes.

Nehmen wir den Fall der Quantenelektrodynamik: Die Lagrangedichte (Dichte) ist

Sie können überprüfen, ob es unter der Transformation invariant ist$\psi\to e^{i\lambda}\psi$Wenn$\lambda$ist eine Konstante. Um die Transformation lokal zu gestalten, „fördern“ wir$\lambda$zu einer Funktion, aber jetzt haben wir einen anstößigen Begriff$\overline{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\lambda e^{i\lambda}\psi$! Alles ist gut, wenn wir die kovariante Ableitung einführen$\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu-ie_0A_\mu$so dass$A_\mu\to A_\mu +\partial_\mu \lambda$ist die entsprechende Transformation.

Die volle Lagrangedichte ist dann

Wo$F_{\mu\nu}$ist der Tensor der elektromagnetischen Feldstärke, der eingeführt wurde, um die Dynamik des potentiellen (Photonen-) Feldes zu berücksichtigen$A_\mu$

Zusammenhänge im Kontext der Relativitätstheorie sind stattdessen die Gravitationsfeldstärke, da Gravitation in unserer derzeit akzeptierten Theorie kein „Eichfeld“ wie das Photonenfeld ist. Die Identifizierung der Gravitation mit der Raumzeitkrümmung lässt Partikel gemäß der geodätischen Gleichung reisen, die das übliche Gaußsche Gesetz für die Schwerkraft in der Newtonschen Grenze zurückgewinnen kann.

Hier ist eine physikalische Art und Weise, wie ich an Messtransformationen denke. Wir sind sehr daran interessiert, Objekte in der Raumzeit zu bewegen. Translationen in der Raumzeit (zusammen mit Rotationen und Boosts) gehorchen eindeutig den Axiomen einer Lie-Gruppe (z. B.: Poincare-Gruppe). Der Betreiber$p^{\mu}$ist der Lie-Gruppengenerator von Raum-Zeit-Übersetzungen und$[p^i,p^j]=0$für die Poincare-Gruppe. Dies sagt voraus, dass, wenn wir ein Objekt um eine Schleife verschieben (nur verschieben ... keine Drehung, Verstärkung oder Dehnung), das resultierende Objekt mit dem identisch ist, mit dem wir begonnen haben. Leider passiert das bei echten physischen Objekten nicht.

Wenn wir in Gegenwart anderer Ladungsteilchen eine Ladung um eine Schleife verschieben, wird eine U(1)-Transformation Q durchgeführt, und die quantenmechanische Phase des resultierenden Objekts ändert sich.

In Gegenwart anderer schwach wechselwirkender Teilchen verschieben wir ein Objekt um eine Schleife, Transformationen$SU(2)_{Weak}$sind fertig, und das Objekt wird in andere schwache Isospin-Zustände gedreht.

In Gegenwart anderer stark wechselwirkender Teilchen verschieben wir ein Objekt um eine Schleife, Transformationen$SU(3)_{Color}$sind fertig und das Objekt wird in andere Farbzustände gedreht.

Wenn wir in Gegenwart einer anderen Masse, die "die Raumzeit krümmt", ein Objekt um eine Schleife verschieben, werden Transformationen GL (4) durchgeführt und das resultierende Objekt wird in Bezug auf das ursprüngliche Objekt gedreht, verstärkt oder gedehnt (sogar obwohl wir sorgfältig keine Rotationen, Boosts oder Belastungen auf dem Weg gemacht haben!).

Also führen wir Eichtransformationen ein, um die Übersetzungsgeneratoren "aufzubessern".$p^{\mu}$, und eine kleine Übersetzung wird jetzt:

Wo$A, B, C, \Gamma$sind die elektromagnetische, schwache, starke und affine Verbindung (=Christoffel-Symbol) „Eichfelder“ (oder auch Verbindungskoeffizienten genannt), und$Q,I,\lambda,J$sind die U(1),$SU(2)_{Weak}$,$SU(3)_{Color}$und GL(4)-Gruppierungsgeneratoren. Ich habe in jedem der obigen Terme eine Kopplungskonstante weggelassen, um die Dinge nicht zu verwirren. So heißt es, das Standardmodell der Teilchenphysik sei U(1) X$SU(2)_{Weak}$X$SU(3)_{Color}$… X GL(4), wobei ich GL(4) am Ende angehängt habe für die Leute, die die Allgemeine Relativitätstheorie als Eichtheorie betrachten.

Normalerweise wird diese Geschichte als Flicken der partiellen Ableitung dargestellt$\partial^{\mu}$die kovariante Ableitung zu werden$D^{\mu}$. Diese Ableitungen sind nur spezifische Darstellungen des Operators$p^{\mu}$Und$P^{\mu}$wenn sie mit kontinuierlichen Funktionen arbeiten.

Ich denke, dass "Verbindungen in der Physik" sich auf eine Ansammlung von Konzepten beziehen - paralleler Transport, kovariante Ableitung, Verbindungs-Eins-Formen, Geodäten, Christoffel-Symbole, Eichfelder - die alle existieren, um dasselbe grundlegende Problem zu lösen, das als angegeben werden kann folgt.

In der Physik haben unsere Modelle die Form von Differentialgleichungen, die auf Felder auf Mannigfaltigkeiten angewendet werden. Wir wollen also ausdrücken, wie sich ein Feld von Punkt zu Punkt in der Mannigfaltigkeit ändert. Das Problem ist, dass die Räume, in denen die Objekte leben, von Punkt zu Punkt unabhängig sind.

Nehmen Sie das Beispiel von Tangentenvektoren. Wir wollen wissen, wie stark sich ein Tangentenvektorfeld ändert, wenn wir uns von x nach y bewegen. Das bedeutet, dass wir diese beiden Vektoren irgendwie vergleichen müssen. Aber der Tangentenvektor bei x lebt in einem völlig anderen Vektorraum als der Tangentenvektor bei y. Wie vergleicht man Vektoren, die nicht einmal im selben Vektorraum leben? Es gibt einfach keine eingebaute Möglichkeit, zwei Objekte zu vergleichen, die nicht im selben Raum leben.

Um also den Vektor bei y mit dem Vektor bei x zu vergleichen (um zu sehen, wie sehr er sich für unsere Bewegungsgleichung geändert hat), müssen wir auf irgendeine Weise angeben, welcher Vektor bei y als „derselbe“ gilt wie der Vektor bei x. Eine Möglichkeit, die beiden Räume sozusagen zu „verbinden“. Dann können wir diesen „gleichen“ Vektor mit dem Vektor bei y vergleichen und sagen, dass der Unterschied zwischen ihnen die Änderung ist, nach der wir gesucht haben.

Dies ist das Konzept, das dem parallelen Transport zugrunde liegt. Intuitiv scheint es, als könnten wir einen Vektor bei x mit einem Vektor bei y vergleichen, indem wir den Vektor bei x nach y schieben und ihn die ganze Zeit parallel zu sich selbst halten. Auf diese Weise wissen wir, dass wir wirklich den Vektor bei y mit dem Vektor bei x vergleichen.

Unsere Intuitionen über Parallelität sind jedoch trügerisch. (Denken Sie darüber nach, wie es mit Tangentenvektoren an eine Kugel funktionieren würde.) Wir definieren also den parallelen Transport als Transport, bei dem die kovariante Ableitung des Vektors entlang des Transportpfads null ist. Aber die kovariante Ableitung selbst erfordert eine Verbindung - dh eine Angabe, welcher Vektor bei y als "gleich" mit welchem ​​Vektor bei x zählt - wie könnten Sie sonst die Ableitung nehmen, um festzustellen, dass sie Null ist und Sie somit den Vektor parallel transportiert haben ?

Wie also über die kovariante Ableitung nachdenken? Beginnen Sie wieder mit der Tatsache, dass die Vektorräume (dies gilt für allgemeinere Objekte, ich verwende nur Vektoren für die Bestimmtheit) an verschiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit (z. B. Raumzeit) unabhängig voneinander sind. Insbesondere können sie unterschiedlich koordiniert, dh mit unterschiedlichen Basissätzen beschrieben werden. (Dies wird in manchen Kontexten als „Moving Frames“ bezeichnet.)

Auch dies stellt ein Problem dar, wenn wir wissen wollen, ob sich ein Vektorfeld geändert hat, während wir uns von Punkt x zu Punkt y bewegen. Wenn wir die Freiheit haben sollen, für jeden Punkt eine andere Basis zu wählen, bedeutet dies, dass wir jetzt zwei Gründe haben, warum wir eine Änderung in den Komponenten eines Vektors von Punkt x zu Punkt y feststellen könnten:

a) Der Vektor kann sich tatsächlich geändert haben, als wir uns von x nach y bewegt haben, unabhängig davon, ob sich die Basis geändert hat oder nicht

b) Die Basis, die wir verwenden, um den Vektor numerisch zu beschreiben, kann sich von x zu y geändert haben, unabhängig davon, ob sich der Vektor geändert hat oder nicht

Offensichtlich sind wir nur an den tatsächlichen Änderungen am Vektor selbst interessiert. Die anderen Änderungen sind unechte Artefakte einer Koordinatenwahl, die für physikalische Zwecke willkürlich ist. Daher müssen wir in unsere Differentialgleichungen eine Möglichkeit einbauen, jede Änderung in der Basis „herauszurechnen“, damit jede Änderung in den Komponenten, die in unserer Gleichung erscheint, sicher von einer echten Änderung des Vektors selbst herrührt.

Was dieses „Heraussubtrahieren“ bewirkt, ist ein Korrekturterm, der an den Ableitungsoperator angehängt wird. Es ist dieser Korrekturterm, den wir in der Physik als „das Eichfeld“ bezeichnen. In GR sind dies die Christoffel-Symbole. Das EM-Potentialfeld ist in diesem Sinne auch ein Eichfeld.

Um es etwas genauer auszudrücken, die Christoffel-Symbole zum Beispiel sind die Komponenten der Änderungen in den Basisvektoren, wenn wir uns von einem Punkt zum anderen bewegen. Sie haben 3 Indizes: Ein Index verfolgt, welche Komponente dieses Symbol darstellt, ein Index verfolgt, in welchem ​​​​Basisvektor Sie die Änderung messen, und ein Index verfolgt die Richtung, in der Sie sich entlang des Basisvektors bewegen. Das ijk-te Christoffel-Symbol bedeutet also "die i-te Komponente der Änderung des j-ten Basisvektors, wenn Sie sich in Richtung des k-ten Basisvektors bewegen".

Das sind die Grundgedanken, wobei natürlich noch mehr über die Krümmung der Verbindung und die Feldstärke usw. zu sagen wäre. Aber der Rest ist wirklich nur eine Ausarbeitung dieser im Grunde einfachen Idee in Bezug auf die Differentialgeometrie von Lie-Gruppen und Faserbündeln.

Für zukünftige Wanderer in diesen Wäldern sind hier einige Referenzen, die ich als hilfreich empfunden habe, um Verbindungen und Messfelder zu verstehen:

Moriyasu, Grundlegende Einführung in die Eichtheorie

Fecko, Differentialgeometrie und Lügengruppen für Physiker

Baez, Messfelder, Knoten und Schwerkraft

Gron, Einsteins Theorie für mathematisch Untrainierte (das Kapitel über Christoffel-Symbole)

Schuller, Geometric Anatomy of Theoretical Physics Videos , Vorlesungsunterlagen

Lam, Kai S. Grundlegende Prinzipien der Klassischen Mechanik , Nichtrelativistische Quantentheorie , Themen der zeitgenössischen mathematischen Physik

Schwichtenberg, Physik aus der Finanzwelt

Cheng, Einsteins Physik , Relativitätstheorie, Gravitation und Kosmologie

Healey, Messen, was real ist

Viallet, Die geometrische Anordnung von Eichfeldern vom Typ Yang-Mühlen

Fre, Schwerkraft: Ein geometrischer Kurs, Band 1