Nichteuklidische Mechanik; Ist es nützlich?

Question

Nichteuklidische Mechanik; Ist es nützlich?

kryomaxim

Die spezielle Relativitätstheorie hat den folgenden Einzelteilchen-Lagrange:

S = \int_{T_{0}}^{T_{F}} \sqrt{⟨ D \vec{S}, D \vec{S} ⟩} .

$S = \int_{t_0}^{t_f}\sqrt {\langle \mathrm d\vec{s},\mathrm d\vec{s}\rangle}.$

Es basiert eindeutig auf euklidischen Normen; es handelt sich um eine Minkowski- oder Riemannsche Geometrienorm, aber beide Normen sind nur eine Verallgemeinerung der euklidischen Norm.

Jetzt kann ich eine andere Lagrange-Funktion formulieren, die so aussieht:

S = \int_{T_{0}}^{T_{F}} (⟨ D \vec{S}, D \vec{S}, D \vec{S} ⟩)^{\frac{1}{3}} .

$S = \int_{t_0}^{t_f} ({\langle \mathrm d\vec{s},\mathrm d\vec{s},\mathrm d\vec{s}\rangle })^{\frac{1}{3}}\;.$

Ich habe den Standard-Lagrangian eines relativistischen Teilchens auf die 3-Norm verallgemeinert und versucht, ein verallgemeinertes Skalarprodukt für 3-Normen zu konzipieren.

Werden solche Feldtheorien jetzt entwickelt und können solche Feldtheorien konstruiert werden? Gibt es Beweise dafür, eine physikalische Theorie zu konstruieren, die auf 3-Normen basiert?

ACuriousMind

Was ist eine „3-Norm“? Die übliche Bedeutung eines "

p

$p$ -norm" ist

| | x | |_{p} = {(\sum_{i} x_{i}^{p})}^{1 / p}

$\lvert\lvert x\rvert\rvert_p = \left(\sum_i x_i^p \right)^{1/p}$ . Wie ist

⟨ d s, d s, d s ⟩

$\langle ds,ds,ds\rangle$ definiert? Welche physische Sache erwarten Sie von diesem Modell?

kryomaxim

Ja, eine 3-Norm ist ap=3-Norm. Ich weiß nicht genau, wie man ein dreifaches Skalarprodukt definiert; aber es ist eine trilineare Form.

ACuriousMind

Ist dir das alles bewusst

p

$p$ -Normen auf endlichdimensionalen normierten Räumen äquivalent sind? Und wie glauben Sie, können Sie dies tatsächlich auf einer Mannigfaltigkeit definieren ?

Ruslan

@ACuriousMind werden sie wirklich zu denselben Bewegungsgleichungen führen, wenn sie wie von OP vorgeschlagen verwendet werden?

Sam Blitz

Warum die Ablehnung? Ich denke, das ist eine interessante Frage, oder zumindest nicht trivial.

ACuriousMind

@Ruslan: Gleichwertigkeit von Normen

| - |_{1}

$\lvert-\rvert_1$ Und

| - |_{2}

$\lvert-\rvert_2$ bedeutet, dass es gibt

c, d

$c,d$ so dass

c | v |_{1} \leq | v |_{2} \leq C | v |_{1}

$c \lvert v\rvert_1\leq\lvert v\rvert_2\leq C\lvert v\rvert_1$ . Wenn man also den einen extremisiert, wird auch der andere extrem. Außerdem ist unklar, wie man hier die Minkowskische Natur hinzufügt – schreibt man einfach ein Minus vor den ersten Eintrag?

QMechaniker

Die Titelfrage (v2) Ist sie nützlich? scheint primär meinungsbasiert zu sein.

Antworten (1)

Nichteuklidische Mechanik; Ist es nützlich?

Was ist eine „3-Norm“? Die übliche Bedeutung eines " $p$ -norm" ist $\lvert\lvert x\rvert\rvert_p = \left(\sum_i x_i^p \right)^{1/p}$ . Wie ist $\langle ds,ds,ds\rangle$ definiert? Welche physische Sache erwarten Sie von diesem Modell?
Ja, eine 3-Norm ist ap=3-Norm. Ich weiß nicht genau, wie man ein dreifaches Skalarprodukt definiert; aber es ist eine trilineare Form.
Ist dir das alles bewusst $p$ -Normen auf endlichdimensionalen normierten Räumen äquivalent sind? Und wie glauben Sie, können Sie dies tatsächlich auf einer Mannigfaltigkeit definieren ?
@ACuriousMind werden sie wirklich zu denselben Bewegungsgleichungen führen, wenn sie wie von OP vorgeschlagen verwendet werden?
Warum die Ablehnung? Ich denke, das ist eine interessante Frage, oder zumindest nicht trivial.
@Ruslan: Gleichwertigkeit von Normen $\lvert-\rvert_1$ Und $\lvert-\rvert_2$ bedeutet, dass es gibt $c,d$ so dass $c \lvert v\rvert_1\leq\lvert v\rvert_2\leq C\lvert v\rvert_1$ . Wenn man also den einen extremisiert, wird auch der andere extrem. Außerdem ist unklar, wie man hier die Minkowskische Natur hinzufügt – schreibt man einfach ein Minus vor den ersten Eintrag?
Die Titelfrage (v2) Ist sie nützlich? scheint primär meinungsbasiert zu sein.

QMechaniker · Answer 1

Der Vorschlag von OP (v2) ist ein Sonderfall der Finsler-Geometrie mit $n=3$ . Die Hauptidee besteht darin, den quadratischen metrischen Tensor zu ersetzen $g^{(2)}_{\mu_1\mu_2}$ für Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten , die den (infinitesimalen, möglicherweise imaginären) Abstand auf der Mannigfaltigkeit via definieren

D S = \sqrt[2]{G_{μ_{1} μ_{2}}^{(2)} D X^{μ_{1}} D X^{μ_{2}}},

$ds ~=~ \sqrt[2]{g^{(2)}_{\mu_1\mu_2}dx^{\mu_1}dx^{\mu_2}},$

mit (möglicherweise einer Folge von) höheren metrischen Tensoren $g^{(n)}_{\mu_1\ldots\mu_n}$ mit einer Finsler-Abstandsformel

D S = \sum_{N \in N} \sqrt[N]{G_{μ_{1} \dots μ_{N}}^{(N)} D X^{μ_{1}} \dots D X^{μ_{N}}} .

$ds ~=~ \sum_{n\in\mathbb{N}} \sqrt[n]{ g^{(n)}_{\mu_1\ldots\mu_n} dx^{\mu_1}\ldots dx^{\mu_n}}.$

Es existiert bereits eine riesige Literatur über die Finsler-Geometrie und ihre Anwendungen in der Physik.

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Ruslan

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QMechaniker

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