Infinitesimale Transformationen für ein relativistisches Teilchen

I) Passives Bild. Das Einbein$e$ist keine Invariante, sondern transformiert als

$$e~=~e^{\prime} \frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}\tag{1}$$

unter einer Neuparametrisierung des Weltlinien(WL)-Parameters

$$\tau\longrightarrow \tau^{\prime}=f(\tau).\tag{2}$$

Mit anderen Worten,$\omega:= e \mathrm{d}\tau\in \Gamma(T^{\ast}I)$ist eine Einsform auf der 1-dimensionalen WL-Mannigfaltigkeit$I$. Die Partikelposition

$$x^{\mu}~=~x^{\prime \mu}\tag{3}$$

ist invariant, während sich die Teilchengeschwindigkeit als transformiert

$$\dot{x}^{\mu}~=~\dot{x}^{\prime \mu}\frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}.\tag{4}$$

Diese Transformationsregeln (1)-(4) können in vielerlei Hinsicht gesehen werden. Ein Weg ist, dass die Aktion

$$S~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L , \qquad L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2},\tag{5}$$

sollte unter Reparametrisierungen invariant sein (2). Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

II) Aktives Bild. Aus der Perspektive der 1-dimensionalen WL-Mannigfaltigkeit$I$, die infinitesimale Transformation$\delta$können zB über Lie-Derivate kodiert werden ${\cal L}_Y$wrt. ein Vektorfeld

$$Y ~=~\eta \frac{d}{d\tau}~\in~ \Gamma(TI)\tag{6}$$

auf der 1-dimensionalen WL-Mannigfaltigkeit$I$. Die Lie-Derivate sind

$${\cal L}_Y x^{\mu}~=~Y[x^{\mu}]~=~\eta \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\tag{7}$$

$$({\cal L}_Ye)\mathrm{d}\tau~:=~{\cal L}_Y\omega ~=~\{\mathrm{d}, i_Y\}\omega~=~\mathrm{d}i_Y\omega$$ $$~=~\mathrm{d}(i_Y\omega)~=~\mathrm{d}(\eta e) ~=~\mathrm{d}\tau\frac{d}{d\tau}(\eta e),\tag{8}$$

und daher

$${\cal L}_Ye ~\stackrel{(8)}{=}~\frac{d}{d\tau}(\eta e).\tag{9}$$

Formel (6), (7) und (9) entsprechen Gl. (1.10) in Lit. 1

$$\tag{1.10} \tau\to \tilde{\tau}=\tau-\eta, \qquad \delta x^{\mu}~=~\eta\frac{d x^{\mu}}{d\tau}, \qquad \delta e ~=~\frac{d}{d\tau}(\eta e),$$ bzw.

III) Klassische BV-Formulierung. Erwähnen wir der Vollständigkeit halber die Eichtransformation$\delta$kann als BRST-Transformation kodiert werden, vgl. zB Art.-Nr. 2 und diesen Phys.SE-Beitrag. Grob gesagt, der Grassmann-Ebenmaß-Parameter$\eta$wird dann durch einen Grassmann-ungerade Faddeev-Popov (FP) Geist ersetzt$C$. (Eigentlich der Gauge-Parameter$\eta$wird genauer gesagt durch die Kombination ersetzt$e^{1-r}C$, wo$r\in\mathbb{R}$ist eine Macht, um allgemeiner zu sein, vgl. Gl. (16) unten.) Um das Auftreten von Zeitableitungen zu minimieren, wird es etwas einfacher, anstatt den Lagrange-Operator (5) zu verwenden, vom Hamilton-Lagrange-Operator auszugehen

$$L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - H, \qquad H~:=~ eT, \qquad T~:=~\frac{1}{2}(p^2+m^2), \qquad p^2~:=~ g^{\mu\nu}(x)~p_{\mu} p_{\nu}, \tag{11}$$

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Hier verwenden wir den Batalin-Vilkovisky (BV)-Formalismus , vgl. Ref. 3. Die Felder

$$\phi^{\alpha} ~=~ \{ x^{\mu};~p_{\mu};~ e;~C;~ \bar{C};~B\} \tag{12}$$

sind Positionen$x^{\mu}$; Momente$p_{\mu}$; einbein$e$; FP-Geist$C$; FP-Antigeist$\bar{C}$; und Lautrup-Nakanishi (LN) Lagrange-Multiplikator$B$, bzw. Sie sind WL-Tensoren kontravarianter Ordnungen$0$;$0$;$-1$;$r$;$1$; und$1$, bzw. Jedes Feld$\phi^{\alpha}$hat ein entsprechendes Antifeld$\phi^{\ast}_{\alpha}$entgegengesetzter Grassmann-Parität. Die entsprechende BV-Aktion$^1$

$$S_{BV}~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BV} ,$$ $$L_{BV}~=~L_H +\left(x^{\ast}_{\mu} \dot{x}^{\mu}+p_{\ast}^{\mu} \dot{p}_{\mu} +r C^{\ast}\dot{C} \right)e^{r-1}C +\underbrace{e^r C\dot{e}^{\ast}}_{\sim~e^{\ast}\frac{d}{d\tau}( e^r C)} + B \bar{C}^{\ast},\tag{13}$$

erfüllt die klassische Hauptgleichung

$$(S_{BV},S_{BV})~=~0, \tag{14}$$

mit Antibracket $(\cdot,\cdot)$auf der Darboux-Form, dh die fundamentalen Antibrackets ungleich Null lesen

$$(\phi^{\alpha}(\tau),\phi^{\ast}_{\beta}(\tau^{\prime})) ~=~\delta^{\alpha}_{\beta}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}). \tag{15}$$

Die Grassmann-ungerade nilpotente BRST-Transformation${\bf s}~=~(S_{BV},\cdot)$liest

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{p}_{\mu}, \qquad {\bf s}e~=~ \frac{d}{d\tau}( e^r C),$$ $${\bf s}C~=~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s}B ~=~0, \tag{16}$$

was mit Gl. (1.10). Das BV-Gauge-fixierende Fermion$\psi$können im Formular ausgewählt werden

$$\psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau~\bar{C}\left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right), \tag{17}$$ wo $\xi,\epsilon\in\mathbb{R}$sind lehrenfixierende Parameter. Darüber hinaus, $\chi(e)=(e\!-\!e_0)\chi^{\prime}$ist eine messgerätefixierende Bedingung (von der wir annehmen, dass sie affin ist $e$, so dass die Ableitung $\chi^{\prime}$ist konstant). Der messgerätfeste Lagrange wird

$$L_{\rm gf}~=~ \left. L_{BV} \right|_{\phi^{\ast}~=~\frac{\delta \psi}{\delta \phi}}~=~ L_H + \overbrace{\underbrace{\left(\chi^{\prime}\bar{C}-\epsilon\dot{\bar{C}}\right) \frac{d}{d\tau}(e^r C)}_{ \sim~ \bar{C} \left(\frac{\chi^{\prime}}{2}+\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}(e^r C) + e^r C\left(\frac{\chi^{\prime}}{2}-\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}\bar{C} }}^{\text{Faddeev-Popov term}} + \overbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right)}^{\text{gauge-fixing term}} , \tag{18}$$

bei dem die$\sim$Symbol bedeutet Gleichheit bis zu den Gesamtzeitableitungstermen. Die physikalischen Größen hängen nicht von der Wahl des eichfixierenden Fermions ab$\psi$, solange bestimmte Rangbedingungen erfüllt sind.

IV) Quantenmastergleichung. Der seltsame Laplace-Operator

$$\Delta~=~(-1)^{|\alpha|}\int\! \mathrm{d}\tau~ \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau)} ~=~(-1)^{|\alpha|}\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})\frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau^{\prime})} \tag{19}$$

ist ein singuläres Objekt, das streng genommen regularisiert werden muss. Wir rechnen formal

$$\Delta S_{BV}~\stackrel{(13)+(19)}{=}~ 2(n\!-\!r)\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}C(\tau)~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}) \frac{d}{d\tau}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})$$ $$+r \iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}\dot{C}(\tau)~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})^2~\neq~0, \tag{20}$$ wo $n$ist die Dimension des Zielraums (TS). Dies zeigt, dass die BV-Aktion (13) die Quanten-Master-Gleichung nicht erfüllt; nur die klassische Hauptgleichung. Auf entsprechende Modifikationen der BV-Aktion (13) gehen wir in Abschnitt VII ein.

V) Klassische BFV-Formulierung. Wir identifizieren$p_e\approx\epsilon B$mit dem kanonischen Impuls des Einbeins$e$, und wir identifizieren das Antifeld$e^{\ast}\equiv \bar{P}$mit dem FP Ghost Momentum. Führen Sie eine ultralokale Poisson-Klammer ein$\{\cdot,\cdot\}_{PB}$mit den folgenden kanonischen Paaren

$$\{x^{\mu}(\tau), p_{\nu}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta^{\mu}_{\nu}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{e(\tau)^rC(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),$$ $$\{e(\tau), B (\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{\bar{C}(\tau), P(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{21}$$

Beachten Sie die Nicht-Darboux-Form

$$\{C(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~e(\tau)^{-r}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{22}$$

um sicherzustellen, dass

$$\{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{PB}~=~0. \tag{23}$$

Die BRST-Transformation${\bf s}~=~\{\mathbb{Q},\cdot\}_{PB}$(das ist unabhängig von der$\epsilon$-Parameter) liest

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^r C g^{\mu\nu}(x)p_{\nu} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu} ~=~ -\frac{1}{2}e^r C \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{p}_{\mu},$$ $${\bf s}e~=~P~\approx~ \frac{d}{d\tau}( e^r C) , \qquad {\bf s}C~=~r\frac{C}{e}P ~\approx~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s} B ~=~0, \tag{24}$$

was mit Gl. (16). Hier das$\approx$symbol bedeutet gleichheit modulo eqs. der Bewegung. Die BRST-Transformation (24) wird erzeugt durch

$$\mathbb{Q}~:=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~Q, \qquad \{\mathbb{Q}, \mathbb{Q}\}_{PB}~=~0,\tag{25}$$

wo

$$-Q~:=~T e^r C + \epsilon B P ~\approx~ T e^r C + \epsilon B \frac{d}{d\tau}( e^r C)\tag{26}$$

ist die BRST-Ladung. Die BFV-Aktion wird

$$S_{BFV} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau~\left(\dot{x}^{\mu}p_{\mu}+e^r C\dot{\bar{P}} \right) -\left\{ \psi, \mathbb{Q} \right\}_{PB} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BFV} , \tag{27}$$

wo das BFV-Gauge-fixierende Fermion$\psi$ist

$$\psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau \left(\bar{C} \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right) -\bar{P}e\right),\tag{28}$$

und wo der BFV Lagrangian liest$^2$

$$L_{BFV}~=~\left(p_{\mu}\dot{x}^{\mu}+ e^r C\dot{\bar{P}} \right) + \epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right) + \left(-eT +\bar{C}\chi^{\prime} P +B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right) -\bar{P}P \right)$$ $$~\sim~ L_H+ \underbrace{\epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right)}_{\text{kinetic term}}+ \bar{P}\left( \frac{d}{d\tau}( e^r C)-P\right) + \underbrace{\bar{C} \chi^{\prime} P}_{\text{FP term}} + \underbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right)}_{\text{gauge-fixing term}} \tag{29} .$$

VI) Dirac-Klammer. Integrieren wir die beiden FP-Impulse heraus$P$und$\bar{P}$. Dann wird der BFV-Lagrange (29) zum pegelfesten Lagrange (18) aus Abschnitt III. Die entsprechenden zwei Einschränkungen der 2. Klasse

$$\Theta~:=~ P - \frac{d}{d\tau}( e^r C)~\approx~0, \qquad \bar{\Theta}~:=~ \bar{P} - \chi^{\prime} \bar{C}+\epsilon\dot{\bar{C}}~\approx~0,\tag{30}$$

hat eine Poisson-Klammer ungleich Null

$$\Delta(\tau,\tau^{\prime} ) ~:=~ \{\Theta(\tau), \bar{\Theta}(\tau^{\prime}) \}_{PB} ~=~ -\left(\frac{\chi^{\prime}}{\epsilon}+2\frac{d}{d\tau} \right) \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),\tag{31}$$

mit invers

$$\Delta^{-1}(\tau,\tau^{\prime} ) ~=~ - \frac{1}{4} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{32}$$

Daher wird die Dirac-Klammer

$$\{e(\tau)^rC(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~ \frac{1}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{33}$$

Alternativ könnte die Poisson-Struktur (33) aus dem FP-Term in der eichfixierten Lagrangedichte (18) abgeleitet werden.

Beachten Sie die Nicht-Darboux-Form

$$\{C(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{e(\tau)^{-r}}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}) ,$$ $$\{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{34}$$

um sicherzustellen, dass

$$\{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{DB}~=~0.\tag{35}$$

VII) Quantum BV-Formulierung. Gl. (20), (22) & (34) schlagen vor, dass wir setzen sollten$r=0$, also lassen Sie uns dies von nun an tun. Inspiriert von den BFV-BRST-Transformationen (24) modifizieren wir die BV-Lagrangian (13) in

$$\tilde{L}_{BV}~=~L_H +x^{\ast}_{\mu} g^{\mu\nu}(x)p_{\nu}C -\frac{1}{2}p_{\ast}^{\mu} \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} C +e^{\ast}\dot{C} + B \bar{C}^{\ast}. \tag{36}$$

Man kann zeigen, dass die Quanten-Master-Gleichung nun erfüllt ist$^1$

$$(\tilde{S}_{BV}, \tilde{S}_{BV})~=~0~=~\Delta\tilde{S}_{BV}. \tag{37}$$

Die Modifikation (36) verändert den lehrenfesten Lagrangian (18) abgesehen vom Putten nicht$r=0$.

Verweise:

1. David Tong, Vorlesungen zur Stringtheorie, arXiv:0908.0333 .

2. J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 1, 1998; Abschnitt 4.2.

3. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994; Kapitel 17.

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$^1$Wir ignorieren Randbedingungen. Effektiv bedeutet dies, dass wir relevante Randbedingungen auferlegen und die Spursymmetrie auf die Masse beschränken.

$^2$Die$\epsilon$-Abhängigkeit in der BFV-Aktion (27) kommt nur vom eichfixierenden Fermion (28). Die$\epsilon$-Abhängigkeit kann durch Neudefinition entfernt werden

$$\epsilon B~\longrightarrow~ B, \qquad \epsilon\bar{C}~\longrightarrow~ \bar{C}, \qquad \frac{\chi}{\epsilon} ~\longrightarrow~ \chi, \qquad \frac{\xi}{\epsilon^2} ~\longrightarrow~ \xi .\tag{38}$$

An der Grenze$\epsilon\to 0$, die Unendlichkeiten auf der rechten Seite. der Poisson-Klammern (21) als Null interpretiert werden, dh die entsprechenden kanonischen Variablen werden entkoppelt.