Einheitliches Messgerät für nicht-abelschen Fall

Es gibt sie definitiv, und Ihr Text hätte sie verwenden sollen, um das einheitliche Messgerät konventioneller zu definieren: die SU(2)-Gruppenelement-Parametrisierung der Physik, das heißt die Rotationsmatrix für Spinoren R . Nimm v in die Definition von σ auf , wo es hingehört und wo es nach Belieben wieder auftauchen kann.

$$R=\exp (i\theta ~\hat{n}\cdot\vec{\sigma})=I \cos \theta +i \hat{n}\cdot\vec{\sigma} \sin \theta= \begin{bmatrix}\cos \theta +i n_3\sin \theta & i\sin \theta (n_1-in_2) \\ i\sin \theta (n_1+in_2) &\cos \theta -i n_3\sin \theta \end{bmatrix}.$$

Es ist einfacher und sogar konventioneller, rückwärts zu arbeiten,

$$R \begin{bmatrix} 0 \\ \rho\end{bmatrix} =\rho \begin{bmatrix} \sin\theta (i n_1+n_2) \\ \cos\theta -in_3\sin \theta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\eta_1(x) + i\eta_2(x) \\ \sigma(x) +i \eta_3(x)\end{bmatrix},$$
das ist $$\eta_1=n_2 \rho \sin \theta, \quad \eta_2=n_1 \rho \sin \theta, \quad \eta_3=-n_3 \rho \sin \theta, \quad \sigma= \rho \cos \theta,$$ so dass $~\rho^2=\sigma^2+\vec{\eta}^2~$Und $~\vec{\eta}^2=\rho^2 \sin^2\theta=\sigma^2 \tan^2\theta~$.

Also dann,$R^{-1}$ist das SU(2)-Gruppenelement, mit dem Sie gesucht haben$\theta$Und$\hat{n}$lösbar wie oben. Notiz$\rho \neq\sigma$, wie Sie gesucht haben, so einfach aus dem Modul/der Länge der beiden jeweiligen Spinoren zu bestätigen! Ihr Text war leicht "metaphorisch".

Auch das Zeichen von$\eta_3$Ihre Ausdrucksweise ist unkonventionell: Die meisten Texte bevorzugen ein Minuszeichen und vertauschen die Rollen$\eta_1$Und$\eta_2$, um (erst) dann zu haben

$$(I \sigma+i~\vec{\eta}\cdot\vec{\sigma}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} .$$