Wie kann man beweisen, dass Faddeev-Popov-Geister für die Yang-Mills-Theorie mit axialem Messgerät unnötig sind?

Faddeev-Poppov-Geister werden ins Bild gerückt, wenn der Term zur Festlegung des Messgeräts hinzugefügt wird

Aus dem gleichen Grund sind sie in abelschen Theorien unnötig. Der FP-Geisterterm multipliziert sich$e^{iS}$von$\exp-\int d^4 x \bar{c}\partial_\mu D^\mu c=\det \partial_\mu D^\mu$, eine Determinante, die aus Zähler und Nenner von Operatormitteln im Wegintegralformalismus gestrichen werden kann, solange sie raumzeitkonstant ist. Und wenn die Wechselwirkung abelsch oder in der axialen Spurweite ist, reduziert sich dies auf$\det \square$.

Der Kern des Faddev-Popov-Verfahrens besteht darin, dass es sich um eine Eichbedingung der Form handelt

(wobei in der modifizierten Lorentz-Spur $S= \partial_\mu A^a_\mu$oder in der Axiallehre $S= n_\mu A_\mu$) wird eine Lagrange-Befestigungslehre der Form erzeugen

und mit$(A')_\mu^a$das Eichmaß-transformierte Feld - ein Geister-Lagrangian der Form

bis auf einige Konstanten aus der funktionalen Ableitung, die in die Geisterfelder absorbiert werden. In der letzten Gleichung, der$A_\mu^a$Term ist das eichtransformierte Feld. Wir wissen, dass sich das Eichfeld mit transformiert

Wo$D_\mu ^{ac}= \partial _\mu \delta ^{ac} + g f^{abc} A_\mu ^b$ist die kovariante Ableitung, die auf einen Körper in der adjungierten Darstellung wirkt. Wenn wir die axiale Lehre nehmen und die funktionale Ableitung durchführen, erhalten wir am Ende eine Geister-Lagrange-Funktion

Hier können wir sehen, ob$n_\mu A_\mu ^a = 0$es gibt keine Wechselwirkung mehr zwischen Geistern und Eichfeld.