Warum weniger Messgerät-Befestigungsbedingungen bei der Faddeev-Popov-Methode?

Gemäß der Dirac-Theorie der Beschränkungssysteme können wir zur Untersuchung der Dynamik eichinvarianter Observablen die Eichfreiheit festlegen, indem wir sie unter Verwendung von Eichfixierungsbedingungen festlegen, die gleich der Anzahl der erstklassigen Einschränkungen sind (obwohl unabhängige Parameter der Eichtransformation gleich sind). Anzahl der primären First-Class-Einschränkungen). Warum ist es also so, dass wir in der Yang-Mills-Theorie zwei erstklassige Einschränkungen haben, aber wir verwenden nur eine Messgerät-Befestigungsbedingung wie axiales Messgerät oder Lorenz-Messgerät in der Faddeev-Popov-Methode?
Nach Rothe und Rothe Buch ist der Phasenraumpfad integral für Constraint-Systeme

Z = ∫ D Q D P Π T , R δ ( ϕ R 1 ) Π T , R δ ( ξ R ) det { ξ a , ϕ β 1 } exp ⁡ { ∫ D T ( Q P − H 0 ) }
(Wir können dies auch auf Beschränkungen zweiter Klasse mit Senjanovic-Pfadintegralen erweitern.)
Sollten wir nicht zwei Eichfixierungsbedingungen mit der Eigenschaft benötigen, dass die Poisson-Klammer mit Eichfixierungsbedingungen und Beschränkungsmatrix erster Klasse nicht singulär ist, dh det { ξ a , ϕ β 1 } = 0 damit wir das obige Pfadintegral verwenden können.

Ich kann nicht erkennen, wo meine Argumentation dabei falsch läuft.

Welche zwei erstklassigen Einschränkungen? Welche Seite bei Rothe & Rothe?
@Qmechanic nicht für Yang Mills, aber auf Seite 181, Abschnitt 11.3, hat das Modell zwei erstklassige Einschränkungen, aber in 11.6 wurde nur eine Befestigungsbedingung für das Messgerät verwendet?

Antworten (1)

Zunächst einige Klarstellungen.

  • Es macht keinen Sinn, von „primären First-Class-Constraints“ zu sprechen. Sie beziehen sich auf "primäre" und "sekundäre" Einschränkungen, während Sie die Dirac-Prozedur durchlaufen. Nachdem die Prozedur beendet ist, gibt es keine Unterscheidung zwischen primären und sekundären Einschränkungen; Tatsächlich hängt der Unterschied davon ab, wie Sie die Berechnung durchführen (z. B. sind alle Einschränkungen "primär", wenn Sie mit dem vollständigen Hamilton-Operator beginnen, in dem alle erforderlichen Einschränkungen enthalten sind). Es ist nur an diesem Punkt, danachNachdem man den vollständigen Satz von Beschränkungen hergeleitet hat, kann man zwischen Beschränkungen erster Klasse und zweiter Klasse unterscheiden. Mit anderen Worten: Bevor Sie alle Beschränkungen kennen, wissen Sie nicht, ob eine gegebene Poisson-Klammer auf der Beschränkungsoberfläche verschwindet, also können Sie nicht sagen, ob eine Beschränkung erster oder zweiter Klasse ist.

  • S U ( N ) Yang-Mills-Theorie hat N 2 − 1 First-Class-Constraints (dh die Anzahl der Generatoren der S U ( N ) Algebra), nicht 2.

In diesem Sinne ... Lorentz-Messgerät für Yang-Mühlen reparieren ∂ μ A A μ = 0 tatsächlich eine Reihe von auferlegen N 2 − 1 Einschränkungen für die N 2 − 1 Messfelder A μ A . Dies ist sinnvoll, da es pro Generator ein Pegelfeld und pro Generator eine First-Class-Einschränkung gibt.

Das Zählen reicht jedoch nicht ganz aus, da auch nach dem Fixieren der Lorentz-Lehre noch eine Restspursymmetrie vorhanden ist. Eine Möglichkeit, das Problem zu formulieren, besteht darin, dass es eine reine Spur-Längsmode gibt, die sich auch nach Fixierung der Lorentz-Eichung nicht von den anderen Freiheitsgraden entkoppelt. Um zu verfolgen, wie dieser reine Eichfreiheitsgrad systematisch aus physikalischen Observablen herausfällt, sind schwere Maschinen wie die BRST-Symmetrie erforderlich.

Sind das reine Messgerätefreiheitsgrade, Geister? denn wenn wir physikalische Zustandsbedingungen auferlegen, fügen wir nur BRST-Invarianz, Ghost-Spektrum-Invarianz und Null-Norm-Zustände hinzu.
Nein, die reinen Eichfreiheitsgrade sind die longitudinalen und zeitlichen Polarisationen des Eichfeldes. Die FP-Geister sind (grob gesagt) "negative Freiheitsgrade", deren Aufgabe es ist, die Freiheitsgrade des Messgeräts innerhalb von Schleifen aufzuheben. (Genau genommen stellen sie die Jacobi-Determinante im Pfadintegral dar). Wie auch immer, ja, wenn Sie die Dinge richtig machen und Zustände mit einer Geisterzahl von Null in der BRST-Quantisierung betrachten, fällt natürlich alles Unphysikalische heraus.
Warum weniger Messgerät-Befestigungsbedingungen bei der Faddeev-Popov-Methode?
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