Faddeev-Popov Ghost Propagator in kanonischer Quantisierung

Question

Faddeev-Popov Ghost Propagator in kanonischer Quantisierung

Geister
Physik
Fermionen
Yang-Mühlen
Eichtheorie
Quantenfeldtheorie

Quantenpunkt

Das Erhalten des Propagators für die Geister von Faddeev-Popov (FP) aus der Pfadintegralsprache ist einfach. Es ist einfach

⟨ T (c (x) \bar{c} (j)) ⟩ = \int \frac{d^{4} p}{(2 π)^{4}} \frac{ich e^{- ich p . (x - j)}}{p^{2} - ξ m^{2} + ich ϵ} .

$\langle T(c(x) \bar c(y))\rangle~=~\int\frac{d^4 p}{(2\pi)^4}\frac{i e^{-ip.(x-y)}}{p^2-\xi m^2+i\epsilon}.$

Aber ich bin nicht in der Lage, es nach dem kanonischen Quantisierungsweg richtig abzuleiten.

Das Problem ist, dass für Anti-Pendel-Felder das zeitgeordnete Produkt definiert ist als

⟨ T (c (x) \bar{c} (j)) ⟩ = θ (x^{0} - j^{0}) ⟨ c (x) \bar{c} (j) ⟩ - θ (j^{0} - x^{0}) ⟨ \bar{c} (j) c (x) ⟩

$\langle T(c(x) \bar c(y))\rangle=\theta(x^0-y^0)\langle c(x) \bar c(y)\rangle-\theta(y^0-x^0)\langle \bar c(y) c(x)\rangle$

mit einem Minuszeichen zwischen den beiden Begriffen. Dieses Minuszeichen hindert mich daran, die Konturen richtig zu schließen, um den Ausdruck in meiner ersten Gleichung zu erhalten.

Ich kann das nur retten, indem ich sage, dass FP-Geister etwas Besonderes sind und ihr zeitgeordnetes Produkt mit einem Pluszeichen anstelle des Minuszeichens definiert wird. Ist das legitim? Was ist der richtige Weg, um den Ghost-Propagator auf die kanonische Quantisierungsroute zu bringen?

Diego Mazon

1. Was ist

ξ

$\xi$ ? Wenn ja

\pm 1

$\pm 1$ metrische Konvention, es betrifft auch die

i ϵ

$i\epsilon$ Begriff. 2. Haben Sie eine Gesamtphase hinzugefügt?

Z [j]

$Z[j]$ zu absorbieren

i

$i$ Faktor im kinetischen Term des Geisterfeldes? 3. Könnten Sie die relevante Aktion/Hamiltonsche Funktion, die Geisterfelder des Heisenberg-Bildes als Funktion von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren und die Antikommutierungsbeziehungen schreiben, um Ihre Konventionen zu sehen?

Diego Mazon

Übrigens, ist das ein Buchproblem oder etwas, worüber Sie nachdenken? Weil ich vermuten würde, dass die Fragen keinen Sinn ergeben. Ich denke, dass der kanonische Formalismus nicht direkt aus der Pfadintegralversion im FP-Trick folgt. Am nächsten könnte die BRST-Quantisierung sein, aber da

c

$c$ und

\bar{c}

$\bar c$ sind unabhängige reelle Felder (Ihr Propagator ist also 0). Ich denke, dass es in einem nichtkovarianten Formalismus wie dem kanonischen sinnvoller ist, den zeitlichen Maßstab anstelle eines kovarianten festzulegen.

Diego Mazon

Letzte Frage: wie leitet man das ab

i ϵ

$i\epsilon$ Terme aus dem Pfadintegral, wenn Sie das Vakuumwellenfunktional nicht kennen? Oder kennst du es?

Diego Mazon

Ein weiteres Problem: Der Hamiltonoperator für ein skalares fermionisches Feld ist nicht von unten begrenzt.

Quantenpunkt

@drake Im Propagator,

ξ

$\xi$ ist der Gauge-Parameter, der durch Addition entsteht

\frac{1}{2 ξ} (\partial . A)^{2}

$\frac{1}{2\xi}(\partial.A)^2$ zum Lagrange im BRST-Ansatz. Ich versuche, die kovariante kanonische Quantisierung (natürlich in der BRST-Sprache) zu verstehen, damit ich letztendlich in der Lage sein kann, Einzelteilchenzustände zu diskutieren und die LHZ-Reduktionsformel für Streuamplituden auszuführen. Wo kann ich mehr darüber erfahren?

Diego Mazon

Oh ... Ich dachte, Sie würden den einfacheren Fall ohne Higgs-Mechanismus ausarbeiten (damals

m = 0

$m=0$ in Ihrem Propagator). OK, ich lese Ihre Antwort unten ...

Antworten (1)

Faddeev-Popov Ghost Propagator in kanonischer Quantisierung

1. Was ist $\xi$ ? Wenn ja $\pm 1$ metrische Konvention, es betrifft auch die $i\epsilon$ Begriff. 2. Haben Sie eine Gesamtphase hinzugefügt? $Z[j]$ zu absorbieren $i$ Faktor im kinetischen Term des Geisterfeldes? 3. Könnten Sie die relevante Aktion/Hamiltonsche Funktion, die Geisterfelder des Heisenberg-Bildes als Funktion von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren und die Antikommutierungsbeziehungen schreiben, um Ihre Konventionen zu sehen?
Übrigens, ist das ein Buchproblem oder etwas, worüber Sie nachdenken? Weil ich vermuten würde, dass die Fragen keinen Sinn ergeben. Ich denke, dass der kanonische Formalismus nicht direkt aus der Pfadintegralversion im FP-Trick folgt. Am nächsten könnte die BRST-Quantisierung sein, aber da $c$ und $\bar c$ sind unabhängige reelle Felder (Ihr Propagator ist also 0). Ich denke, dass es in einem nichtkovarianten Formalismus wie dem kanonischen sinnvoller ist, den zeitlichen Maßstab anstelle eines kovarianten festzulegen.
Letzte Frage: wie leitet man das ab $i\epsilon$ Terme aus dem Pfadintegral, wenn Sie das Vakuumwellenfunktional nicht kennen? Oder kennst du es?
Ein weiteres Problem: Der Hamiltonoperator für ein skalares fermionisches Feld ist nicht von unten begrenzt.
@drake Im Propagator, $\xi$ ist der Gauge-Parameter, der durch Addition entsteht $\frac{1}{2\xi}(\partial.A)^2$ zum Lagrange im BRST-Ansatz. Ich versuche, die kovariante kanonische Quantisierung (natürlich in der BRST-Sprache) zu verstehen, damit ich letztendlich in der Lage sein kann, Einzelteilchenzustände zu diskutieren und die LHZ-Reduktionsformel für Streuamplituden auszuführen. Wo kann ich mehr darüber erfahren?
Oh ... Ich dachte, Sie würden den einfacheren Fall ohne Higgs-Mechanismus ausarbeiten (damals $m=0$ in Ihrem Propagator). OK, ich lese Ihre Antwort unten ...

Quantenpunkt · Answer 1

Die Lösung dieses Problems ergibt sich aus der heimtückischen Tatsache (Kugo, 1978) , dass das FP-Geisterfeld zwar hermitesch ist $c^\dagger (x) = c(x)$ , ist das Anti -Geisterfeld antihermitesch $\bar c^\dagger (x)=-\bar c (x)$ .

Als Ergebnis sind die ebenen Wellenausdehnungen für die Geister-/Anti-Geisterfelder (Becchi, 2008), Scholarpedia :

c^{a} (x) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{k_{0} = | \vec{k} |} \frac{d \vec{k}}{2 k_{0}} (γ^{a} (\vec{k}) e^{- ich k \cdot x} + (γ^{a})^{†} (\vec{k}) e^{ich k \cdot x})

$c^a(x)={1 \over(2 \pi)^{3/2}} \int_{k_0= | \vec k|} {d \vec k \over 2 k_0}( \gamma^a( \vec k)e^{-ik \cdot x}+ (\gamma^a)^\dagger( \vec k)e^{ik \cdot x})$

{\bar{c}}^{a} (x) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{k_{0} = | \vec{k} |} \frac{d \vec{k}}{2 k_{0}} ({\bar{γ}}^{a} (\vec{k}) e^{- ich k \cdot x} - ({\bar{γ}}^{a})^{†} (\vec{k}) e^{ich k \cdot x}),

$\bar c^a(x)={1 \over(2 \pi)^{3/2}} \int_{k_0= | \vec k|} {d \vec k \over 2 k_0}( \bar \gamma^a( \vec k)e^{-ik \cdot x}- (\bar\gamma^a)^\dagger( \vec k)e^{ik \cdot x}) \ ,$ mit einem Minuszeichen zwischen den beiden Begriffen in Moduserweiterung für das Anti-Ghost-Feld.

Bei der Auswertung des zeitgeordneten Korrelators (Propagator) kompensiert das Minuszeichen in der ebenen Wellenentwicklung das Minuszeichen in der Definition der in meiner obigen Frage gezeigten Zeitordnung. Somit kann ich den Standard-Feynman-Propagator für das FP-Geisterfeld ableiten.

Interessant. Weinberg definiert jedoch im 2. Band seines QFT-Buches beide Felder als hermitianisch. Ich schätze, er stellt eine vor $i$ Faktor, der es real macht. Und das hat damit zu tun $i$ im kinetischen Begriff, der manchmal in einer Neudefinition von resorbiert wird $Z[j]$ . Ich denke auch, dass das Minuszeichen in $\bar c$ macht den Hamilton-Operator von unten begrenzt. Was ich mich frage, ist, was mit der Hermitizität des Hamiltonian passiert. Gute Frage und Antwort!
Es wäre schön, wenn Sie Ihre Antwort mit der vollständigen kostenlosen kanonischen Quantisierung vervollständigen, wenn Sie bereits alles klar haben. Im Wesentlichen: Kommutierungsbeziehungen zwischen Geisterfeldern, nicht wechselwirkender Geister-Hamiltonoperator im Fock-Raum und Vakuumwellenfunktional.
Übrigens ist aus den Heisenberg-Feldern ersichtlich, dass der Hamilton-Operator sein muss $H=\sum_a \int d^3\mathbf{K}~\left(\bar\gamma_\mathbf{K}^{a~\dagger}\gamma_\mathbf{K}^a+\gamma_\mathbf{K}^{a~\dagger}\bar\gamma_\mathbf{K}^a-\text{vacuum energy}\right)$ Ich bat um eine explizite Berechnung, neben den Antikommutierungsrelationen und der Vakuumwellenfunktion.
@QuantumDot der Link zu [Kubo, 1978] scheint tot zu sein. Bin es nur ich? Ein alternativer Link ist in jedem Fall academic.oup.com/ptp/article/60/6/1869/1846386
Das ist eine sehr schöne Antwort, die mir geholfen hat. Ein möglicher nützlicher Punkt für andere: der Geisterbegriff im Lagrange ist $\partial_\mu \bar{c}\partial^\mu c$ . Damit die Lagrange-Funktion real ist (d. h $\mathcal{L}^\dagger=\mathcal{L}$ ), das sieht man auch $c$ oder $\bar{c}$ muss antihermitisch sein.

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