Wilson-Schleifen und eichinvariante Operatoren (Teil 1)

Ich denke, der Hilbert-Raum der Theorie ist genau der Raum aller eichinvarianten Operatoren (Mod-Bewegungsgleichungen ... wie in den Antworten angegeben).

  • Ist es möglich, dass in einer Eichtheorie die Wilson-Schleifen die einzigen Observablen sind?

    (... Ich würde vage denken, dass, wenn ein Satz von Wilson-Schleifen, einer für jede Kohomologieklasse der Raumzeit, der vollständige Satz von Observablen ist, dies "eine" Art wäre, eine topologische Feldtheorie zu definieren, aber möglicherweise ist dies ist auch für reine Eichtheorien in einigen besonderen Grenzen oder auf einigen speziellen Raum-Zeit-Geometrien möglich..)

  • Wenn das Obige nicht zutrifft, was sind dann all die Observablen der reinen Eichtheorie? ... Ich denke, es sind nur die lokalen Observablen, die von den Wilson-Schleifen übersehen werden ...

  • Ist es im Allgemeinen immer wahr, dass alle eichinvarianten Observablen genau alle Polynome in den Körpern sind, die unter der Wirkung der Eichgruppe invariant sind? (..und dies ist eine gut untersuchte Frage in der algebraischen Geometrie unter dem Namen Geometric Invariant Theory?..)

  • Wenn man Materie in der Theorie hat, dann sind die Baryonen und Mesonen wohl die einzigen Materie-Beobachtbaren? Ich schätze, es gibt keine Abhängigkeit von der Eichgruppe von ihrer Existenz?

    (.. obwohl Baryonen immer für jede antisymmetrische Kombination der Flavour-Indizes definiert werden können, denke ich, dass Mesonen nur definiert werden können, wenn in der konjugierten Darstellung der Eichgruppe auch die gleiche Menge an Materie vorhanden ist ... richtig? ...)

  • Warum sind Eichspuren beliebiger Produkte von Materiefeldern weder Baryonen noch Mesonen? (...ist es in willkürlichen Eichtheorien legitim, diese Zustände in irgendeiner Weise als "chirale Primärfarben" zu identifizieren?..)

Antworten (1)

0) Ihre Vermutung zum Hilbertraum ist auf dem richtigen Weg, aber nicht richtig. Der Raum eichinvarianter Operatoren ist viel zu groß; Sie müssen durch die Bewegungsgleichungen in einem angemessenen Sinne ausmodifizieren. (Denken Sie an den Fall der 1d-Quantenmechanik, wo die Eichsymmetrie trivial ist. Der Hilbert-Raum ist es L 2 ( R ) , erzeugt durch Zeit Nullposition Observablen, nicht L 2 ( R R ) , was Sie erhalten würden, wenn Sie alle Observables verwenden würden.)

1) In reinen Yang-Mühlen sind die Wilson-Schleifen ein vollständiger Satz von Observablen. (Credit, iirc, geht an Migdal.)

2) Sie können die lokalen Observablen wiederherstellen, indem Sie die Grenze kleiner Schleifen nehmen.

3) Es ist nicht immer wahr, dass Observable eichinvariante Polynome in den Feldern sind. Wilson-Schleifen sind keine Polynome!

4) Wenn genügend Materiefelder vorhanden sind, kann die Eichtheorie nicht einschränken, in diesem Fall sind Baryonen und Mesonen nicht die einzigen Observablen. Wie viele Materiefelder benötigt werden, hängt von der Eichgruppe ab.

5) Ich bin mir nicht sicher, was Sie hier fragen. Warum sollten sie Ihrer Meinung nach Baryonen oder Mesonen sein?

Vielen Dank für den Hinweis auf den Punkt des Moddings durch Bewegungsgleichungen - ich war da ein bisschen unbekümmert! (1) Können Sie einen Hinweis auf den Beweis geben, dass die Wilson-Schleifen ein vollständiger Satz von Observablen sind? Das klingt für mich überraschend! Sie meinen also, dass, wenn eine Eindämmung stattfindet und Baryonen und Mesonen existieren, diese auch als Wilson-Schleifen beschreibbar sein sollten? (2) Wenn die Theorie nicht einschränkt, was sind dann alle Observablen? Ich würde denken, dass Wilson-Schleifen immer existieren, und wenn die Theorie einschränkt, würde man auch diese zusätzlichen Observablen als Baryonen und Mesonen erhalten.
(3) Also sind Eichspuren von Feldprodukten eine andere Klasse von Observablen als die Baryonen, Mesonen und Wilson-Schleifen?
0) Ich möchte nur betonen: "Ausmodding durch die Bewegungsgleichungen" ist eine subtile Angelegenheit, da die Operatoren nur Bewegungsgleichungen bis auf Kontaktterme erfüllen!
1) Mir ist auf Anhieb keine Referenz bekannt. Diese Tatsache ist jedoch in der Formulierung der Gittereichtheorie enthalten. Der entscheidende Punkt ist, dass Holonomien um winzige Schleifen ungefähr die Durchschnittswerte der Krümmung auf der Oberfläche, die sie begrenzen, darstellen. Und nein, Baryonen und Mesonen sind keine Wilson-Schleifen; Ich sagte reine Eichtheorie. Um Baryonen und Mesonen zu erhalten, benötigen Sie immer noch die Standard-Fermion-Observablen.
2) Wenn die Theorie nicht einschränkt, werden Ihre Observablen aus Wilson-Linien und Fermion-Evaluierungs-Observablen konstruiert. Sie sind einfach nicht auf farblose Observables beschränkt. Die Beschränkung reduziert die Anzahl der Observables; es führt keine neuen ein.
(0) Haben Sie ein Beispiel zur Hand, wo es um das Thema Kontaktbegriff geht? Ich habe nicht gesehen, dass dies in einem solchen Zählargument aufgekommen ist, das ich gesehen habe. (1) Das Argument der Gitterlehre ist meiner Meinung nach sehr handgewellt. Gibt es dafür einen robusteren Kontinuumsbeweis? (2) Also die chiralen primären Operatoren, T R [ Φ ich 1 Φ ich 2 . . Φ ich M ] sind eine separate Klasse von Observablen als entweder die Baryonen oder Mesonen oder die Wilson-Schleifen? ... gibt es eine vollständige Klassifizierung aller Observablen in der begrenzten Phase?
(3) Wir haben also keine beobachtbare Materie, die in Feldern wie der Wilson-Schleife exponentiell ist?
@Anirbit. Ich schlage vor, dass Sie einige dieser Fragen als formelle Fragen stellen (eine Frage pro Beitrag). Ich würde sie lieber nicht in einer Kommentardiskussion beantworten. (Zum einen stoßen Kommentare keine Beiträge an, sodass niemand sonst teilnehmen kann.)
Ich habe meine Folgefragen zu diesem Beitrag, physical.stackexchange.com/questions/33293/… gestellt . Es wäre großartig, dort Ihre Hilfe zu erhalten!
Wilson-Schleifen und eichinvariante Operatoren (Teil 1)
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