Wilson-Schleifen und eichinvariante Operatoren (Teil 2)

Diese Fragen sind eine Art Fortsetzung dieser vorherigen Frage.

  • Ich würde gerne den Beweis / Hinweis auf die Tatsache wissen, dass Wilson-Schleifen in einer reinen Eichtheorie alle möglichen Eich-Invarianten-Operatoren sind (... dass anscheinend sogar die lokalen Operatoren aus dem nicht so offensichtlich gut gewonnen werden können -definierte infinitesimale Schleifengrenze von ihnen!..)

  • Wenn die reine Eichtheorie in eine einschränkende Phase übergeht, sollte es dann nicht mehr Observables geben als nur die Wilson-Schleifen ... wie "Klebekugeln" usw.? Oder werden sie auch irgendwie von Wilson Loops eingefangen?

  • Wenn Materie an die Eichtheorie gekoppelt wird, sind die sogenannten „chiralen primären“ Operatoren, T R [ Φ ich 1 Φ ich 2 ⋯ Φ ich M ] eine andere Klasse von Observablen als entweder die Baryonen oder Mesonen (für jene Felder, die im Fundamentalen und Antifundamentalen der Eichgruppe vorkommen) oder Wilson-Schleifen? ... gibt es eine vollständige Klassifizierung aller Observablen in der begrenzten Phase?

{..wie ich letztes Mal sagte..ist die obige Klassifizierung nicht dasselbe wie das, was in der Theorie der geometrischen Invarianten gut untersucht ist, wenn nach allen G-invarianten Polynomen in einem Polynomring gefragt wird (..oft abgebildet auf C N für einige N ..) für irgendeine Gruppe G ?..)

  • Aber kann es eichinvariante (und damit farbinvariante?) Operatoren geben, die in den Materiefeldern exponentiell sind?

  • Im Zusammenhang mit neuen Observablen für Farbsinguletts (oder äquivalent Eichinvarianten?) In der Begrenzungsphase möchte ich Folgendes fragen: Wenn man an einem kompakten Raum (Zeit?) arbeitet, gilt das Gaußsche Gesetz (Bewegungsgleichung für A 0 ) den Observablen der Materie irgendwie die Farbsingulett-/Einschlussbedingung auferlegen? ... daher muss man hier möglicherweise anders als in der flachen Raumzeit selbst bei einer Null-Gauge-Kopplung immer noch die Einschlussbeschränkung im Auge behalten?

Wilson-Schleifen können nicht alle möglichen eichinvarianten Operatoren sein. Was ist mit Oberflächenoperatoren oder 't Hooft-Schleifen?
Was die Klassifizierung aller eichinvarianten Observablen betrifft, so haben Sie Recht mit der Beziehung zu GIT. BRST ist effektiv Lie-Algebra-Kohomologie und klassifiziert (polynomiale?) Observablen. Ich wundere mich jedoch über kompliziertere Observables wie Wilson-Schleifen.
@Anirbit: Auf Stackexchange-Sites ist es üblich, eine Frage pro Beitrag zu stellen. Sie stellen hier mehrere nicht zusammenhängende Fragen. Frage 2 zum Beispiel scheint mir im Grunde zu fragen: "Wie wird ein Klebeball in Bezug auf die Observablen des Normalspurfeldes dargestellt?"
@user404153 Danke für deine Antworten! Können Sie eine Referenz für das geben, was Sie sagen? Gibt es eine Klassifizierung aller eichinvarianten Operatoren in einer reinen Eichtheorie? Oder irgendwo könnte ausführlich erklärt werden, wie (wenn!) Die Wilson-Schleifen alle möglichen eichinvarianten Observablen wie den Oberflächenoperator, t'Hooft-Schleifen usw. "erzeugen".

Antworten (1)

Die korrekte Aussage ist, dass die Observablen der Wilson-Schleife über Grenzwerte und algebraische Operationen alle anderen Observablen in der reinen Eichtheorie erzeugen . Offensichtlich sind die Wilson-Schleifen endlicher Größe nicht die einzigen Beobachtungsgrößen. Wie user404153 betont, gibt es Oberflächenoperatoren und auch punktartige Operatoren, die Klebekugeln erzeugen.

Die relevante mathematische Tatsache ist, dass ein Zusammenhang (ein klassisches Eichfeld) bis zur Eichtransformation durch seine Holonomien (die Wilson-Schleifen) bestimmt ist.

Wahrscheinlich finden Sie einen Beweis dafür in Kobayashi & Nomizu, aber Sie sollten dies wirklich einfach selbst beweisen. (Ich gehe davon aus, dass Sie Mathematiker sind, da Sie anscheinend Fragen stellen, die für die supersymmetrische und topologische Feldtheorie relevant sind, ohne grundlegende Fakten über die Eichtheorie zu kennen).

Aus dieser Tatsache über klassische Eichfelder folgt die gleiche Behauptung für die Quantentheorie über die Pfadintegralkonstruktion. Alles, was Sie in Bezug auf die grundlegenden Messgerätefelder aufschreiben können A , können Sie auch in Bezug auf die Wilson-Schleifen aufschreiben.

Unordnungsobservable wie die 't Hooft-Schleifen sind ein lustiger Sonderfall. Diese Observablen werden normalerweise im Pfadintegral definiert, indem die Randbedingungen im Pfadintegral geändert werden, um innere Singularitäten einzubeziehen. Die 't Hooft-Schleifen können jedoch algebraisch durch Lösen konstruiert werden D A = C Ö N S T ∗ D B für den Zweispurbereich B bezüglich A . Dann ist die 't Hooft-Beobachtbare einfach die Holonomie von B . Vermutlich gilt eine ähnliche Argumentation für andere beobachtbare Störungen.

Ihre Antworten sind äußerst herablassend und anmaßend! Was meinen Sie mit "grundlegende Fakten über die Eichtheorie nicht kennen"!? Wer entscheidet, was grundlegend ist!? Zumindest kein QFT-Kurs, den ich kenne, oder irgendein Standard-QFT-Buch, das ich gesehen habe, berührt diese Themen, nach denen ich hier gefragt habe. Es wäre hilfreich, wenn Sie Referenzen angeben könnten.
@Anirbit: Es tut mir leid, dass ich dich beleidigt habe. Mein Punkt ist folgender: Im Moment besteht die einzige Möglichkeit, die reine Yang-Mills-Theorie zu definieren, darin, die Kontinuumsgrenze der Gittereichtheorie zu nehmen. Wenn Sie diese Sprache nicht beherrschen, wissen Sie nicht, was die Yang-Mills-Theorie ist . Das wird es Ihnen schwer machen, die Antworten auf Ihre Fragen zu verstehen. (Und das meine ich mit „Grundlegend“: die Definition der Dinge zu kennen, über die Sie sprechen.)
Eine Literaturliste zur Gittereichtheorie finden Sie unter: physik.uni-graz.at/~cbl/library/lgt-reviews.html
Ich weiß nicht, was du mit "nur so definieren" meinst. Ich kaufe einfach nicht das Argument, dass die Gitterlehrentheorie eine Möglichkeit ist, Yang-Mills zu "definieren"! Es gibt einfach so viele großartige überprüfbare Ergebnisse, die in Yang-Mills Theorie erzielt werden können, ohne jemals von einer Gitterformulierung sprechen zu müssen. Ich sehe absolut keine grundlegende Relevanz der Gitterformulierung, es sei denn , Sie möchten sagen, dass ich jedes Mal, wenn ich einen Impuls-Cutoff verwende, "eigentlich" ein Gitter verwende.
Ich stelle meine Fragen aus Sicht der enormen Literatur, die es über Wilson-Schleifen in Yang-Mills Theorie gibt, und noch mehr aus Sicht der supersymmetrischen Feldtheorie.
Wilson-Schleifen und eichinvariante Operatoren (Teil 2)
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