Was bedeuten die Begriffe „Higgs-Zweig“ und „Coulomb-Zweig“ außerhalb der ursprünglichen N=2N=2\mathcal{N}=2 4D-SYM-Theorie?

Für$\mathcal{N}=2$4D Super-Yang-Mills ist es einfach, gute und präzise Definitionen von „Higgs-Zweigen“ und „Coulomb-Zweigen“ im Modulraum zu finden. Der Modulraum (von VEVs) der Theorie ist lokal ein direktes Produkt zwischen den Moduli des Vektormultipletts und denen des Hypermultipletts, und die Bewegung entlang des ersten wird als Bewegung entlang des Coulomb-Zweigs und entlang des anderen als Bewegung entlang des Higgs-Zweigs bezeichnet .

Diese Begriffe werden jedoch auch in Situationen verwendet, in denen wir keine so saubere Faktorisierung des Modulraums haben und sogar, wo wir den Modulraum überhaupt nicht explizit kennen. Betrachten Sie als Beispiel das Folgende aus „The landscape of M-theory compactification on seven-manfolds with$G_2$Holonomie" von Halverson und Morrison:

Angenommen, es gäbe einen singulären Grenzwert von$X$die eine Spurweite [...] realisiert$G\times\mathrm{U}(1)^k$[...]. Glättet den Krümmer wieder zu$X$Diese Higgs-Theorie [führt Symmetriebrechung durch den Higgs-Mechanismus] auf standardmäßige Weise aus, dann eine Obergrenze für die Anzahl von$\mathrm{U}(1)$s wird durch die Dimension des maximalen Torus der Eichtheorie auf dem singulären Raum festgelegt, d. h

$$b_2(X) \leq \mathrm{rk}(G) + k \tag{4.1}$$ Sicherlich, wenn eine eichfähige singuläre Grenze existiert und $b_2(X) = 0$dann das aus der M-Theorie erhaltene Vakuum weiter $X$ist auf einem Higgs-Zweig; umgekehrt $b_2(X) \neq 0$ist notwendig, damit es sich auf einem Coulomb-Zweig befindet.

Hier$X$ist eine 11-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer abelschen Eichtheorie darauf, die in irgendeiner Grenze zu einer singulären Mannigfaltigkeit geht, und es gibt allgemeine Argumente dafür, dass diese singuläre Grenze eine nicht-abelsche Eichtheorie trägt, was bedeutet, dass die umgekehrte Richtung von der Singular ist Grenze zum Glatten$X$entspricht einer Art Symmetriebruch.$b_2(X)$bezeichnet die zweite Betti-Zahl. Im Allgemeinen sind die genauen Eigenschaften der Eichtheorie (wie Anzahl und Art der Multipletts) schwer zu bestimmen und selten explizit bekannt, was bedeutet, dass die naive Definition von Coulomb- und Higgs-Zweigen aus dem 4D-Fall nicht zutrifft, da wir dies nicht tun. Ich kenne nicht den vollen Modulraum.

Was also ist die allgemeine Definition dieser beiden Zweige, die auch beliebig auf höherdimensionale Theorien angewendet werden kann$\mathcal{N}$? (In diesem Fall wäre es$\mathcal{N}=1$, falls das relevant ist)

Ich vermute, dass die "Higgs-Zweige" nur Fälle sind, in denen die Eichtheorie vollständig gebrochen ist, und dass die "Coulomb-Zweige" diejenigen sind, in denen die nicht-Abelsche Symmetrie zu a gebrochen wird$\mathrm{U}(1)^n$.

^{Hier gibt es eine verwandte Frage, aber ich kann nicht wirklich sagen, ob sie dieselbe Frage stellt oder was die Antwort zu sagen versucht.}

^{Dazu kommt noch diese unbeantwortete Frage , die allerdings nach dem Grund für die Nomenklatur und spezifischen Eigenschaften der Äste fragt , während mich vorerst nur deren eigentliche Definition interessiert.}