Referenz für den N=3N=3{\cal N}=3 Chern-Simons Lagrangian bei allgemein NcNcN_c, NfNfN_f

Nun, mir wurde auf Seite 31 freundlich gedankt, also sollte es fair für mich sein, zu versuchen, eine Antwort anzubieten, wie unvollkommen sie auch sein mag:

Konstruktion des Lagrange

Ich habe das Gefühl, dass die Lagrange-Funktion in Komponenten in Anhang A klar beschrieben ist, insbesondere in Gleichung (A.4), aber die Tatsache, dass die Struktur der Terme mühsam aussieht, ist keine Illusion; es ist eine Berechnung, die kompliziert genug ist. Ihre Theorie ist eine Chern-Simons-Theorie, also hat sie das Eichfeld mit dem üblichen Chern-Simons-Lagrange-Term, der in den gesamten Lagrange enthalten sein muss. Alles andere sind Bezeichnungen für die Extra-Materie-Felder.

Es gibt$N_f$"Generationen" von Materiefeldern. Die Materiefelder umfassen Skalare$q$und Fermionen$\psi$: Dies sind Teile eines Supermultiplets unter dem${\mathcal N}=2$Subalgebra der Supersymmetrie, die vier reellen Superladungen entspricht, ähnlich wie die minimale${\mathcal N}=1$in vier Dimensionen.

Die Superladungen in 3D wandeln sich als echte 2-Komponenten-Spinoren um, keine Chiralität hier, also wenn Sie haben${\mathcal N}=n$SUSY in 3D ist die R-Symmetrie zwangsläufig$SO(n)$auf der Ebene der Lie-Algebra. Für${\mathcal N}=3$, erhalten wir also$SO(3)$R-Symmetrie, die besser geschrieben wird als$SU(2)$. Alle hinzugefügten Materiefelder müssen also tatsächlich tragen$a,b=1,2$Indizes dazu$SU(2)$R-Symmetrie; die hauptsächlich als bilineare Objekte konstruierten Superladungen aus diesen Feldern wandeln sich daher als Triplett davon um$SU(2)=SO(3)$, wie es unsere dreifach verlängerte SUSY erfordert.

Die fermionischen Materiefelder tragen auch einen Spinorindex$\alpha=1,2$aus offensichtlichen Gründen: Fermionen sind Raumzeit-Spinoren.

Der verbleibende Index, der von Skalaren getragen wird$q$sowie Fermionen$\psi$ist der großgeschriebene Index$A,B=1,\dots 2N_f$Kennzeichnung der fundamentalen Darstellung von$USp(2N_f)=U(N_f,{\mathbb H})$. Dies ist die globale Symmetrie, die Sie erhalten$N_f$Aromen hier. A priori könnte man meinen, dass man gerecht wird$SU(N_f)$als globale Flavour-Symmetrie. Das wäre jedoch eine Unterschätzung; die totale Flavour-Symmetrie wird auf die symplektische erweitert. Warum?

Dies wird ziemlich genau durch die Gleichung (A.1) und vielleicht an anderen Stellen beantwortet. Die Komponenten der Materiefelder sind komplex, aber man kann immer noch eine Realitätsbedingung auferlegen. Die Realitätsbedingung beinhaltet jedoch die Konjugation durch die$\epsilon_{ab}$Symbol der$SU(2)$R-Symmetrie; das wird benötigt, um die komplexe Konjugation von Dubletten zu bewahren$SU(2)$. Aufgrund dieses Epsilons kann man ein weiteres antisymmetrisches Objekt hinzufügen, das$\omega_{AB}$Invariante der symplektischen Gruppe, und erlegen den Materiefeldern eine Realitätsbedingung (A.1) auf (mit einem extra spinorialen Epsilon für die Fermionen, das benötigt wird, um die Lorentz-Symmetrie in 3D zu bewahren).

Man konnte nicht ersetzen$\omega$von$\delta$denn die 2-dimensionale Darstellung von$SU(2)$ist nicht echt; aber es ist pseudoreal und das Tensorprodukt einer pseudorealen Darstellung von$SU(2)$und die pseudoreale Darstellung von$USp(2N_f)$gibt uns eine reale Repräsentation (das ist eine grundlegende Tatsache der Repräsentationstheorie: die$j=-1$Strukturkarten, die für jede pseudoreale Darstellung existieren, werden multipliziert, um a zu erhalten$j=+1$Strukturkarte auf dem Tensorprodukt, die beweist, dass es real ist: Ich weiß nicht wirklich, ob Sie ähnliche Dinge auch erklären möchten oder ob Sie sie kennen) – eine, die durch eine Realitätsbedingung eingeschränkt sein kann. Das zusätzliche Epsilon für die Raumzeit-Lorentz-Indizes ändert nichts an den Realitätsverhältnissen, da diese 2-dimensionale Spinor-Darstellung von$Spin(2,1)$ist echt.

Der Rest der Lagrange-Funktion (A.4) ergibt sich gerade als Umschreibung der Superraum-Lagrange-Teile wie (2.3) und (2.5) sowie des Superpotential-Terms (2.9), eines Sonderfalls von (2.10), zu dem Sprache der Komponenten. Die Objekte wie z$s$(ein bilinearer) sind Buchhaltungsgeräte, um die Struktur des interagierenden Lagrange zu vereinfachen, der Dinge wie die Wechselwirkungen sechster Ordnung enthält (wenn sie in Form von Komponenten geschrieben sind), sodass diese Wechselwirkungsterme als kubische umgeschrieben werden können$s$, zumindest einige von ihnen. Einige dieser Konstruktionen – und hoffentlich alle, die mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht selbsterklärend sind – werden in der Arbeit erklärt, und wenn etwas nicht detailliert genug ist, sollten Sie angeben, worum es bei der Verwirrung geht, da Sie sonst Ich bitte die Stack Exchange-Benutzer wirklich, eine "detailliertere (dh wahrscheinlich längere) Version eines 47-seitigen Papiers" zu schreiben, was möglicherweise zu viel verlangt ist.

Es sollte nicht überraschen, dass Weinberg oder Wess und Bagger diesen speziellen Fall von 3D-Supersymmetrie mit diesen speziellen Materiefeldern nicht diskutieren. Die Artikel über die superkonformen 3D-Chern-Simons-Theorien mit Materie sind Entdeckungen der letzten fünf Jahre oder so, Teile der Membran-Minirevolution, die vor Jahrzehnten unbekannt waren, als Wess und Bagger und Weinberg ihre Lehrbücher über Supersymmetrie schrieben. Es ist jedoch klar, dass ein Benutzer von Xis und Davides Papier – und anderen – Dinge wie die symplektische Symmetrie kennen muss. Dein Rechtschreibfehler von$USp$als$US_p$bietet einen Hinweis darauf, dass Sie die Gruppe nicht wirklich kennen und dass Sie fortgeschrittene Dinge wie die 3D-Chern-Simons-Theorie in Verbindung mit Materie nicht studieren können, ohne gute Kenntnisse über so grundlegende mathematische Elemente wie die symplektische Symmetrie zu haben.

Konforme Invarianz

In solchen Kontexten kann die konforme Invarianz der Quantentheorie bewiesen werden, indem die klassische konforme Invarianz bewiesen wird; und das Verschwinden der Quantenkorrekturen, die die Skaleninvarianz brechen könnten. Ganz allgemein reicht es aus, die Skaleninvarianz zu beweisen – die Theorie ist ein Fixpunkt – und das reicht auch aus, damit die Theorie die volle konforme Symmetrie hat. Wenn eine Theorie eine Skaleninvarianz und Supersymmetrie hat, reicht es aus, die superkonforme Invarianz zu beweisen, da die extrafermionischen superkonformen Generatoren als Kommutatoren von konformen Generatoren und SUSY-Generatoren erhalten werden können.

Es gibt Ausnahmen – skaleninvariante Theorien, die nicht konform sind – aber diese Ausnahmen können in den meisten physikalischen Kontexten wie diesem nicht vorkommen. Ich habe wirklich vergessen, was die Ausnahmen erfordern.

Die gewöhnliche reine 3D-Chern-Simons-Theorie ist topologisch – Observable hängen nur von der Raumzeit- (oder Weltvolumen-) Topologie ab – also ist sie natürlich auch exakt konform. Wenn man Materie hinzufügt, hört die Theorie auf, topologisch zu sein, aber mit einigen guten Entscheidungen kann sie konform bleiben. In der Arbeit von Xi und Davide wird die konforme Symmetrie der komplizierten Theorie auf Seite 8 demonstriert. Sie demonstrieren sie auf zwei Arten. Im${\mathcal N}=2$Sprache, sie fügen ein Superpotential mit Koeffizient hinzu$\alpha$. Um die Skaleninvarianz oder ihren Ausfall zu überprüfen, reicht es aus, den RG-Lauf dieses neuen Parameters zu berechnen$\alpha$, dh die Beta-Funktion, und sie ist durch Gleichung (2.11) gegeben.

Ganz allgemein reicht es zu verifizieren, dass die Theorie renormierbar ist und der RG-Verlauf aller renormierbaren dimensionslosen Kopplungen verschwindet. Für die richtige Auswahl der Kupplungen wurde dies in ihrem Papier getan. Die einzige Korrektur der Quantenschleifen an den Parametern in diesen Theorien ist eine feste Verschiebung auf das Chern-Simons-Niveau$k$.