Eine gewisse N=2N=2\cal{N}=2 superkonforme Theorie (oder doch?)

Ich weiß nicht, ob das eine Übung ist, aber es gibt eine berühmte Nicolai-Karte für dieses System, die so lautet: Schreibe den komplexen Körper$\phi = \phi_1 + i\phi_2$Dies ist der skalare Teil des chiralen Felds in Bezug auf die realen und imaginären Komponenten. Betrachten Sie dann die stochastische Gleichung (euklidischer Raum):

$$\partial_\bar{z} \phi + W(\phi) = \eta$$

Wo$\eta$komplexes weißes Rauschen ist, was eine Zufallsvariable bedeutet, die von Punkt zu Punkt zufällig ist, und W eine komplexe Funktion der Feldwerte ist. In Bezug auf Real- und Imaginärteil nennt man die beiden Raumkoordinaten x,y:

$$\partial_x \phi_1 + \partial_y \phi_2 + W_1(\phi_1,\phi_2)= \eta_1$$ $$\partial_y \phi_1 - \partial_x \phi_2 + W_2(\phi_1,\phi_2)=\eta_2$$

Die Wahrscheinlichkeit von$\eta$einen gegebenen Wert zu haben ist das Produkt einer Gaußschen Zahl an jedem Punkt im Raum, das bedeutet es, eine stochastische Gleichung zu haben:

$$P(\eta) = e^{-\int {1\over 2} (\eta_1^2 + \eta_2^2)}$$

In dieser Form führen Sie ein ungewichtetes Pfadintegral durch$\eta$um die Wahrscheinlichkeit einer Konfiguration zu finden. Das bedeutet, generieren$\eta$gemäß dieser trivialen Verteilung (Sie können ein Gitter erstellen und die$\eta$s als unabhängige Gaußsche an jedem Punkt). Verwenden Sie dann die obigen nichtlinearen Gleichungen, um das Feld zu finden$\phi$, und dies gibt Ihnen eine Konfiguration der stochastischen Gleichung.

Dann sind die Korrelationsfunktionen des Skalars durch das Pfadintegral gegeben

$$\langle \phi_i(x)\phi_(x') \rangle = \int \phi_i(x)\phi_j(x') P(\eta) D\eta$$

Solange P richtig normiert ist, d. h. Sie dividieren durch das Pfadintegral ohne Einfügungen.

Die Magie der Nicolai-Karte (oder der Parisi-Sourlas-Supersymmetrie jeder stochastischen Gleichung) besteht darin, Variablen zu ändern, um das Pfadintegral zu machen$\phi$. Sie ersetzen in für$\eta$bezüglich$\phi$, und Sie benötigen eine Determinante, um von der zu wechseln$\eta$Variable (bei der das Pfadintegralmaß einheitlich ist) zu der$\phi$Variablen (wobei dies in der normalen Stratonovich-Konvention für Produkte im Pfad ganzzahlig nicht der Fall ist).

Du erhältst

$$S= -{1\over 2} \int (\partial_x \phi_1 + \partial_y \phi_2 +W_1 )^2 + (\partial_y\phi_1 - \partial_x\phi_2+ W_2)^2$$

und das Wegintegral

$$\int e^{-S} \mathrm{det}(\partial_x +\partial_1 W_1, \partial_y + \partial_2 W_1 ; \partial_y + \partial_2 W_2,-\partial_x + \partial_2 W_2)$$

Wo das Semikolon Zeilen einer Matrix trennt (ich weiß nicht, wie man das schreibt). Die fermionische Aktion ergibt den 2d-fermionischen Teil der vollständigen SUSY-Aktion in 2d.

Beachten Sie zunächst, dass die bosonische Wirkung die gewünschte Freifeldwirkung in den Ableitungsteilen reproduziert

$$S_f = -{1\over 2} \int |\nabla\phi_1|^2 + |\nabla\phi_2|^2$$

In den interagierenden Teilen erhalten Sie

$$S_i = -{1\over 2} \int W_1^2 + W_2^2$$

Was am Ende des Tages die superpotentiale Wechselwirkung für das bosonische Feld sein wird. Aber Sie erhalten auch Kreuzterme, die die Rotationsinvarianz im Allgemeinen zerstören

$$S_c = - \int \partial_x \phi_1 W_1 + \partial_y\phi_2 W_1 +\partial_y\phi_1 W_1 - \partial_y\phi_2 W_2$$

Diese Kreuzterme müssen sich aufheben, um ein rotationsinvariantes System zu erhalten. Daraus lernst du, dass (W_1 + iW_2) eine holomorphe Funktion von sein muss$\phi_1 + i\phi_2$, was eine völlig andere Demonstration der Holomorphie des Superpotentials ist, die nicht durch den Superraum oder Diagramme geht, sondern die Rotationsinvarianz der stochastischen Form der euklidischen Theorie erfordert.

Der schnellste Weg, um zu sehen, dass Holomorphie erforderlich ist (Sie können es selbst herausfinden, indem Sie Beispiele ausprobieren), besteht darin, die Kreuzbegriffe in holomorpher Form zu schreiben: Sie sind der reale Teil der Erweiterung in Komponenten von

$$\partial_{z}\phi W(\phi) = \partial_z V$$

Wobei V die Stammfunktion der holomorphen Funktion W ist. V ist auch holomorph und unterscheidet es in Bezug auf$\bar\phi$gibt Null. Die Kreuzterme sind jetzt perfekte Ableitungen (aber Sie brauchen eine Kettenregel zur Interpretation der nicht kommutierenden Produkte, diese gibt automatisch die geschriebene Determinante an).

Die Determinante fügt nun die fermionische Wirkung hinzu

$$S_f = \bar\psi (\sigma\cdot\partial + V'') \psi$$

Für Zweikomponenten-Fermionen mit der Wahl von 2d-euklidischen i-freien Gammamatrizen$\sigma_x, \sigma_z$(die reell sind, miteinander antikommutieren und quadratisch zu 1 sind). Die freie Aktion kann in Bezug auf Linksbeweger und Rechtsbeweger umgeschrieben werden, um zu sehen, dass es jeweils zwei gibt, und die resultierende Aktion ist

$$S = \int |\nabla\phi|^2 + |V'(\phi)|^2 + \bar{\psi}(\sigma\cdot\nabla + V'')\psi$$

Und das ist Ihre dimensional reduzierte euklidische Wess-Zumino-Aktion, die Sie verwendet$V(\phi) = {\phi^{k+3}\over (k+2)(k+3)}$(V ist nur die Stammfunktion von W, was nur das polynomische Superpotential ist, das Ihnen gegeben wurde). Das (2,2) SUSY (zwei nach links und zwei nach rechts gehende Fermionen jeweils SUSic mit dem Skalar) ist automatisch, weil es das Parisi Sourlas SUSY jedes stochastischen Systems ist.

Die Nicolai-Karte gibt Ihnen sofort eine Menge Dinge: Sie gibt Ihnen normalerweise die genaue Grundzustands-Wellenfunktion für die bosonischen Felder, da dies die statistische Verteilung der zugehörigen stochastischen Gleichung ist, die das Exponential von V (und einigen abgeleiteten Teilen) ist. Leider gibt es in diesem Fall gravierende Infrarot-Probleme mit der Verteilung durch die Ableitungsanteile, so dass ich die Grundzustands-Wellenfunktion nie sinnvoll analytisch niederschreiben konnte.

Die Nicolai-Karte bietet Ihnen automatisch eine Möglichkeit, die Theorie auf einem Gitter zu simulieren – einfach generieren$\eta's$und führen Sie die nichtlinearen Transformationen durch. Dies hat sich in den letzten zehn Jahren zu einer Industrie entwickelt, mit einer der führenden Persönlichkeiten, Simon Catterall in Syracuse. SUSY-Systeme sind notorisch schwer zu simulieren, um das SUSY genau zu halten. Die wenigen Nicolai-Kartensysteme (dieses und SUSY QM) sind die einzigen Ausnahmen, bei denen die Simulation des SUSY-Systems einfacher ist als das Nicht-SUSY-System. Zum Glück schließt dies die Matrixtheorie ein, und vielleicht enthält sie N=4 SYM (Catterall will diese Theorie auch machen), obwohl ich dort nicht weiß, wie ich es machen soll (aber ich habe immer das nagende Gefühl, dass es getan werden kann). vielen weiteren Systemen fehlt uns nur eine entscheidende einfache Idee - Catterall tut es, ohne die explizite Nicolai-Karte zu erwähnen (obwohl dies sein Ausgangspunkt war), aber mit einer Gitterteilmenge SUSY, was eine technisch ärgerlichere Art ist, Ähnliches zu sagen Ding,

Das hat sehr wenig mit den Fragen zu tun, die Sie direkt stellen, aber Sie haben darum gebeten. Sie brauchen die SUSY-Generatoren, daraus finden Sie den Spannungsenergietensor und daraus die Primärfelder und so weiter. All dies können Sie direkt tun, ohne etwas über dieses Zeug zu wissen, aber dieses Zeug macht das SUSY im Modell völlig intuitiv.