Über Unitarität und R-Ladung in der 2+1 superkonformen Feldtheorie

Warum ist die Skalendimension größer als 1/2?

Der Grund ist die (Kallen-Lehman) Spektraldarstellung. Lassen

$$G(s-s') = \langle0|\phi^\dagger(s)\phi(s')|0\rangle$$

Für jedes Feld$\phi$, und erweitern Sie die Fourier-Transformation von G in Energiezuständen:

$$G(k) = \int ds {\rho(s)\over k^2-s + i\epsilon}$$

Mit anderen Worten, G ist eine Superposition von Propagatoren von Massenquadraten von s mit Koeffizienten$\rho(s)$. Dann$\rho(s)>0$, weil es eine positive bestimmte Norm des Zustands ist, die die Fourier-Transformation des Felds ist$\phi$wirkt auf das Vakuum.

Wenn$\rho(s)$eine Delta-Funktion bei Null ist, hat das Feld einen masselosen freien Feldpropagator von (euklidisch) 1/r, und dieser Abfall ist das Quadrat der Dimension des Feldes, also hat das Feld die Dimension 1/2, die kanonische freie Felddimension. Will man eine andere Dimension für das Feld, muss man Freifeldpropagatoren mit positiven Koeffizienten addieren. Um eine skalenfreie Verteilung zu erhalten, wie es in einer konformen Theorie erforderlich ist, müssen Sie eine Potenzgesetzüberlagerung verwenden:$\rho(s) = s^{-\alpha}$, und aus physikalischen Gründen$\alpha>0$, ansonsten der$\rho$wächst bei großen k. Eine wachsende Zustandsdichte bei großen k bedeutet, dass die Theorie unendlich viele verschiedene Arten auf kurze Distanzen hat.

Der Abfall in k ist also (durch Dimensionsanalyse)${1\over k^{2- 2\alpha}}$, was bedeutet, dass der Abfall in x ist (wieder durch dimensionale Analyse)${1\over x^{1+2\alpha}}$, was bedeutet, dass die Skalendimension ist${1\over 2}+\alpha$.

Sie können dies intuitiv verstehen, wenn Sie wissen, dass kostenlose Propagatoren als abfallen$1\over k^2$und jeder schnellere Abfall erfordert Auslöschungen, die in einer Quantenfeldtheorie durch Positivität verboten sind.

Warum impliziert die Maßstabsdimension 1/2 frei

Der Grund dafür ist, dass es in einer konformen Theorie keine Skala für gibt$\rho$, kann also keine andere Form als ein Potenzgesetz haben. Wenn also die Skalendimension genau 1/2 ist,$\rho$kann nur eine Delta-Funktion bei 0 sein, und der Operator hat einen freien masselosen Propagator. Wenn es interagieren würde, hätte es Matrixelemente ungleich Null mit n-Teilchenzuständen, was ein positives Ergebnis ergeben würde$\rho$irgendwo weg von null.

Wann gibt es erlaubte Phasenübergänge?

Ich denke, dass das hier verwendete Kriterium für das Zulassen von Phasenübergängen darin besteht, dass Sie die Theorie mit einem Operator mit Dimensionen kleiner oder gleich 3 deformieren können, wodurch die Felder einen VEV erhalten. Damit wird auch die konforme Invarianz gebrochen.

Ich glaube, dass die Operatoren, die hier betrachtet werden, sind$tr(\bar{\phi}^2) + tr(\phi^2)$Und$|tr(\phi^2)|^2$. Die Dilatationsgeneratoren sind Quadrate der Supersymmetriegeneratoren, daher werden ihre Skalentransformationseigenschaften von der R-Ladung bestimmt, um von 2 auf 1/2 und von 4 auf 1 zu gehen$|tr(\phi^2)|$Der Term geht durch die Dimension 3 und bei größeren Kopplungen als dieser können Sie die Aktion stabil verformen, um einen Phasenübergang zu erhalten, indem Sie die beiden Terme addieren und die Spur von angeben$\phi^2$ein VEV.

Ich bin mir darüber nicht sicher, weil ich nicht sicher bin, ob der Phasenübergang außerhalb des konformen Punktes liegt. Mehr Kontext, wie zum Beispiel zu sagen, welche Theorie Sie im Sinn haben, wäre hilfreich.