Konforme QFTs für D>2D>2D > 2

Die Klasse von 3D-QFTs, die offensichtlich einheitlich sind und klassische On-Shell-Lagrangianer haben, die unter den starren unveränderlich sind$N$-erweiterte konforme Superalgebra sind dafür bekannt, eine nette Charakterisierung zuzulassen$N>3$. Diese Charakterisierung geht auf Gaiotto und Witten (in Abschnitt 3.2 von https://arxiv.org/abs/0804.2907 ) zurück und ebnete den Weg für eine Reihe nachfolgender Klassifizierungsergebnisse für$N>3$SCFTs in 3D in den letzten Jahren.

Die generische On-Shell$N=3$Lagrangian innerhalb dieser Klasse beinhaltet einen Chern-Simons-Begriff für ein nicht-dynamisches Eichfeld, das mit Hypermultiplett-Materiefeldern in einer realen Darstellung der Eichgruppe gekoppelt ist. Klassisch$N=3$Die superkonforme Symmetrie legt das Superpotential eindeutig in Form einer kanonischen quadratischen Funktion fest, die aus der Materiedarstellung aufgebaut ist. Nicht-Renormalisierungstheoreme legen nahe, dass jede solche Theorie auf der Quantenebene genau dieselbe superkonforme Symmetrie genießt. Eine Wahl der Eichgruppe, der Materiedarstellung und der Chern-Simons-Kopplungen reicht daher aus, um eine solche Lagrangian zu definieren.

Die starre Form der$N=3$Das Superpotential kann abgeleitet werden, indem die mögliche Struktur von Yukawa-Kopplungen im On-Shell-Lagrangian betrachtet wird. Insbesondere folgt aus der Forderung, dass sie unter den invariant sind${\mathfrak{so}} (3)$R-Symmetrie in der$N=3$Superalgebra. Die Schlüsseleinsicht von Gaiotto und Witten bestand darin, diese Erweiterung zu realisieren$N>3$superkonforme Symmetrie kann nur auftreten, wenn diese Yukawa-Kopplungen invariant unter der sind${\mathfrak{so}} (4)$R-Symmetrie in der$N=4$Superalgebra. Kurz gesagt, ihre Charakterisierung dafür ist, dass die Eichalgebra und die Materiedarstellung sich in den geraden und ungeraden Teilen einer bestimmten Hilfslügen-Superalgebra sammeln müssen.

Zum$N>4$, stellt sich heraus, dass jeder unzerlegbare Lagrangian innerhalb dieser Klasse auf einer irreduziblen Materiedarstellung basiert, die durch eine Einbettung in eine der klassischen einfachen Lügen-Superalgebren gekennzeichnet ist (klassifiziert von VG Kac im Jahr 1977). Zum$N=5$, jede Art von klassischer einfacher Lügen-Superalgebra kodiert einen superkonformen Lagrangian. Die Verfeinerung zu$N>5$stellt die von Schnabl und Tachikawa in https://arxiv.org/abs/0807.1102 erhaltene Klassifizierung wieder her , die die berühmten ABJ(M)- und BLG-Modelle als Sonderfälle enthält. Das kann man beweisen$N=7$kommt nicht vor, da es automatisch impliziert$N=8$.

Zum$N=4$, ist das Gesamtbild etwas komplizierter. Gegeben$N>4$Superkonforme Symmetrie, folgt daraus, dass der Zielraum für die Hypermultiplet-Skalare flach sein muss. Dies ist nicht unbedingt der Fall für$N=4$obwohl und man konstruieren kann$N=4$SCFTs, ​​bei denen der Hypermultiplet-Lagrangian durch ein gemessenes nichtlineares Sigma-Modell (mit nicht flachem HyperKähler-Ziel) ersetzt wird. Das Unzerlegbare$N=4$SCFTs mit flachem Ziel haben eine ziemlich ausgefeilte Klassifizierung (umrissen am Ende von Abschnitt 3.1 in https://arxiv.org/abs/0908.2125 ) in Bezug auf bestimmte Ketten klassischer einfacher Lügen-Superalgebren, deren Verknüpfungsregeln an das Dominospiel erinnern !