Superpartner für den Stress-Energie-Tensor

Ich weiß nicht viel über Supersymmetrie, aber wenn Sie keine anderen Antworten haben, profitieren Sie vielleicht unendlich von meinen Vermutungen.

Denken wir an eine nicht-wechselwirkende SUSY-Theorie mit einem bosonischen und einem fermionischen Feld$S \sim \int\text d^2z\left(\partial X\bar{\partial}X - \left(\psi\bar{\partial}\psi + \bar{\psi}\partial\bar{\psi}\right)\right)$. Dann haben wir aus Raum-Zeit-Symmetrien einen konservierten Energie-Impuls-Tensor$T(z) = T_{boson}(z) + T_{fermion}(z)$(keine Kopplung, da sie nicht interagieren) und Ähnlichkeit für den antiholormorphen Teil. Es ist dann sehr natürlich zu erraten, dass Ihr$G(z)$ist nichts anderes als die erhaltene Ladung, die aus der Supersymmetrie stammt (die aus dem Satz von Noether abgeleitet werden könnte). Nun wissen wir, dass wir ein primäres Feld haben$\psi(z)$(das Fermion) mit$h_{\psi}=\frac 12$Und$j(z)=i\partial X(z)$(das Boson) mit$h_j=1$. Es ist natürlich, das zu vermuten$G(z)$ist eine Kombination aus$\psi(z)$Und$j(z)$, was es möglicherweise zu einem primären Feld mit konformer Dimension machen könnte$h_G = h_{\psi} + h_j = \frac 32$. Der$T(z)G(w)$OPE ist nichts anderes als die Aussage, dass$G(z)$ist ein primäres Feld mit$h_G=\frac 32$. Der$G(z)G(w)$OPE sollte dann unter Verwendung der OPEs von abgeleitet werden$\psi(z)$Und$j(z)$zusammen mit dem Wicks-Theorem, wie üblich.

Für die$\mathcal N = 2$Fall, keine Ahnung. Wenn Sie weniger faul sind als ich und diese Berechnung tatsächlich durchführen, schreiben Sie bitte einen Kommentar, ob es funktioniert oder nicht.

WARNUNG: Der Inhalt dieser Antwort ist nicht durchdacht und könnte völlig falsch sein.

EDIT: Bezüglich warum$G(z)$wird als Superpartner bezeichnet$T(z)$. Ich erinnere mich vage, dass man normalerweise Supersymmetrie in Bezug auf Superräume und Superfelder macht. Meine Vermutung wäre, dass man einen Super-(Feld-)Energie-Impuls-Tensor konstruieren kann, wahrscheinlich von der Form$\sim G(z) + \theta T(z)$, und dann sind sie auf diese Weise "Superpartner".

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EDIT2: @Arnirbit, in meiner Antwort habe ich Kenntnisse einiger grundlegender Aspekte der nicht-supersymmetrischen 2d-CFT vorausgesetzt. Insbesondere das freie Boson und Fermion (ich muss mich als CFT-Neuling und daher kein Experte erklären).

Nun zu deinen Fragen. Ein Primärfeld ist ein Feld, das sich unter konformen Transformationen besonders "schön" transformiert$(z,\bar z)\rightarrow (f(z), \bar f(\bar z))$,

$$\phi(z,\bar z) \rightarrow \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^h\left(\frac{\partial \bar f}{\partial \bar z}\right)^{\bar h} \phi\left(f(z),\bar f(z)\right),$$ Wo $\phi(z,\bar z)$ist ein primäres Feld mit konformer Gewichtung $(h,\bar h)$. Es gibt einen Zusammenhang zwischen Transformationseigenschaften von Feldern und OPE's, man kann zum Beispiel zeigen, dass ein primäres Feld Gewicht hat $(h,\bar h)$haben die folgende OPE mit dem Energie-Impuls-Tensor $$T(z)\phi(w,\bar w) = \frac h{(z-w)^2}\phi(w,\bar w) + \frac 1{z-w}\partial_w\phi(w,\bar w) + \text{regular terms},$$ und ähnliches für den antiholormorphen Teil (eine Möglichkeit, dies abzuleiten, ist die Verwendung von Ward-Identitäten). Diese Gleichheit muss natürlich unter einer zeitlich geordneten Korrelationsfunktion als gültig interpretiert werden. Eine weitere Eigenschaft von Primärkörpern ist, dass ihre Zweipunktfunktion durch Symmetrie fest zu sein ist $$\left<\phi(z,\bar z)\phi(w,\bar w)\right> = \frac C{(z-w)^{2h}(\bar z-\bar w)^{2\bar h}}.$$

Konzentrieren wir uns nun auf die freie bosonische Theorie

$$S[X] = T\int\text d^2z\;\partial X(z,\bar z)\bar{\partial}X(z,\bar z).$$ Die Bewegungsgleichungen sind $\partial\bar{\partial}X(z,\bar z) = 0$, bedeutet, dass $j(z)\equiv i\partial X(z,\bar z)$ist holormorph (hängt nur ab von $z$, nicht $\bar z$) und ähnlich für $\bar j(\bar z)\equiv i\bar{\partial}X(z,\bar z)$. Man kann die Zweipunktfunktion berechnen $\left<X(z,\bar z)X(w, \bar w)\right> \propto \log\left|z-w\right|^2$. Dies hat nicht die obige Form und daher $X(z,\bar z)$ist kein Primärfeld! Jedoch $$\left<j(z)j(w)\right> = -\left<\partial_zX(z,\bar z)\partial_wX(w,\bar w)\right>\propto -\partial_z\partial_w\log\left|z-w\right|^2 = \frac 1{(z-w)^2}.$$ Das sagt das $j(z)$ist ein (chirales) Primärfeld mit konformer Dimension $(1,0)$, mit dem OPE $j(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2} + \dots$(Wenn Sie ausgefallene Wörter mögen, gibt Ihnen dieses OPE eine $\mathfrak{u}(1)$affine Kac-Moody-Algebra). Sie können den Energie-Impuls-Tensor berechnen, der die Form hat $T(z) = -\gamma :\partial X\partial X: = \gamma :jj:(z)$, für eine geeignete Konstante $\gamma$und normale Bestellung $:\; :$auf der Quantenebene notwendig. Unter Verwendung des Wicks-Theorems findet man $$T(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2}j(w) + \frac 1{z-w}\partial_wj(w) + \text{regular terms},$$ was das wiederum sagt $j(z)$hat konforme Abmessungen $(h,\bar h) = (1,0)$. Eine ähnliche Analyse für das freie Fermion wird Ihnen das sagen $\psi$ist ein primäres Feld mit $(h,\bar h) = (\frac 12, 0)$und gebe dir das OPE $\psi(z)\psi(w) = \frac 1{z-w} + \dots$(und ähnlich für $\bar{\psi}$).

Wenn Sie das alles noch nicht kennen, dann reicht meine schnelle Skizze nicht aus und ich empfehle Ihnen, ein Lehrbuch zu Rate zu ziehen. Abschließend denke ich, wenn Sie die Theorie der freien Bosonik und der freien Fermion auf supersymmetrische Weise kombinieren, können Sie herausfinden, warum$G(z)$mit konformem Gewicht$h = \frac 32$erscheint.