Energie-Impuls-Tensor in der konformen Feldtheorie

Ich werde versuchen, auf den Kern Ihrer Fragen einzugehen, ohne mich zu sehr um mathematische Strenge/Details zu kümmern (wie es der Physiker tut), aber hoffentlich gibt es genügend Details, damit die Antwort klar ist.

Warum hat das etwas mit Energie oder Impuls zu tun?

Zuerst ein bisschen Hintergrund. In der Physik eine Theorie der Felder$\phi$auf einem Verteiler$M$wird oft durch eine Aktion angegeben$S$; ein Funktional, das eine gegebene Feldkonfiguration abbildet$\phi$zu einer Zahl (oft ist die Zielmenge der Aktion entweder$\mathbb R$oder$\mathbb C$). Betrachten Sie zur Konkretheit eine Feldtheorie$\mathbb R^d$. Wie sich oft herausstellt, ist die Wirkung einer solchen Feldtheorie translationsinvariant. Dies bedeutet, dass, wenn wir die Aktion der Gruppe von Übersetzungen von definieren$\mathbb R^d$auf den Feldern$\phi$der Theorie von$\phi\to\phi_\epsilon$Wo

$$\phi_\epsilon(x) = \phi(x-\epsilon)$$ Dann $$S[\phi] = S[\phi_\epsilon]$$ In solchen Fällen garantiert ein Theorem in der Feldtheorie namens Noether-Theorem die Existenz eines konservierten Tensors $T^{\mu\nu}$dieser Invarianz zugeordnet, nämlich eine für die $$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ Dieser konservierte Tensor, der mit der Translationsinvarianz der Aktion verbunden ist, nennen wir den Energie-Impuls-Tensor, und das ist im Wesentlichen der Tensor, über den wir im Kontext der konformen Feldtheorie sprechen.

Also, was zum Teufel hat dieses Objekt mit Energie und/oder Impuls zu tun? Nun, wir können dies physisch durch Beispiele begründen. Nimmt man als Beispiel für eine Feldtheorie den Elektromagnetismus, dann findet man die Komponenten$T^{\mu\nu}$des Energie-Impuls-Tensors physikalisch Größen wie die in den Feldern gespeicherte Energiedichte darstellen. Man findet zum Beispiel, dass die$00$Komponente des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors hat den Ausdruck

$$T^{00} = \frac{1}{8\pi}(\mathbf E^2 + \mathbf B^2)$$ was man mit anderen Mitteln zeigen kann, ist genau die physikalische Energiedichte, die in den elektromagnetischen Feldern gespeichert ist.

Konforme Invarianz wird durch die Bedingung impliziert$\mathrm{tr} \,T=a_1+a_3=0$. (Was bedeutet dieser Satz?)

Man kann das unter einer Koordinatentransformation zeigen$x\to x+\epsilon(x)$, transformiert sich die Wirkung einer hinreichend generischen Feldtheorie als

$$S \to S+\frac{1}{2}\int d^dx \,T^{\mu\nu}(\partial_\mu\epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu) + O(\epsilon^2)$$ Eine konforme Transformation hat die Eigenschaft, dass $$\partial_\mu\epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu = \frac{2}{d}\partial_\rho \epsilon^\rho \,\delta_{\mu\nu}$$ was gibt $$S \to S+ \frac{1}{d}\int d^dx\, T^\mu_{\phantom\mu\mu}\partial_\rho\epsilon^\rho + O(\epsilon^2)$$ Beachten Sie, dass der Integrand die Spur enthält $T^\mu_{\phantom\mu\mu}$des Energie-Impuls-Tensors, und wir sehen, dass, wenn diese Spur verschwindet, die Aktion die Eigenschaft hat $$S \to S+ O(\epsilon^2)$$ Es ist invariant zur ersten Ordnung $\epsilon$. Dies ist eine Art "infinitesimaler Invarianz", wie ein Physiker es nennen könnte, und darauf bezieht sich die Aussage in diesem Zusammenhang.

Welche Art von Objekt ist$T(z)$? Und wie wird aus erhalten$T$?.

Für eine konforme Feldtheorie auf$\mathbb R^2$, nachdem Sie zu komplexen Koordinaten gegangen sind$z,\bar z$das kann man zeigen$\partial_{\bar z} T_{zz}(z,\bar z) = 0$, so schreibt man der notationellen Kompaktheit wegen oft$T_{zz}(z, \bar z) = T(z)$