Großes ccc-Limit und verbundene Korrelationsfunktionen in 2d2d2d QFT

Question

Großes ccc-Limit und verbundene Korrelationsfunktionen in 2d2d2d QFT

Physik
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen
konforme-Feld-Theorie
Stress-Energie-Impuls-Tensor

MBolin

BEARBEITEN : Diese Frage wurde dank eines Kommentars bearbeitet. Eine meiner Definitionen war falsch, also habe ich die ganze Frage umgeschrieben.

Ich las dieses Papier über $T \bar{T}$ Verformungen von $2d$ -QFTs im Flugzeug. Bis zum Beginn von Abschnitt 3 ist alles in Ordnung. Dort fangen sie an, über die Grenze einer großen Anzahl von Freiheitsgraden zu sprechen. Dies bedeutet eine große zentrale Ladung $c$ in einer CFT und etwas ähnliches für allgemeine QFTs. Sie sagen so etwas wie:

Im großen $c$ Grenzwertkorrelationsfunktionen von $T_{ij}$ faktorisieren ( $T_{ij}$ ist der Energie-Impuls-Tensor in euklidischen Koordinaten).

Der damit verbundene Beitrag zu einer $n$ -Punkt-Funktion von Energie-Impuls-Tensoren ist proportional zu $c$ im Großen und Ganzen $c$ , so dass, wenn wir eine allgemeine Korrelationsfunktion berechnen und den Beitrag dazu betrachten, der ein Produkt von ist $k$ angeschlossenen Komponenten, dann wird dies wie skaliert $c^k$ .

Ich gehe davon aus, dass verbundene Korrelationsfunktionen auf ähnliche Weise wie verbundene Teile von definiert sind $S$ -Matrix in Weinbergs QFT I . Zum Beispiel für eine 6-Punkt-Funktion des Energie-Mometum-Tensors:

⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} T_{5} T_{6} ⟩ = ⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} T_{5} T_{6} ⟩_{C} + ⟨ T_{1} T_{2} T_{3} ⟩_{C} ⟨ T_{4} T_{5} T_{6} ⟩_{C} + Permutationen + ⟨ T_{1} T_{2} ⟩_{C} ⟨ T_{3} T_{4} ⟩_{C} ⟨ T_{5} T_{6} ⟩_{C} + Permutationen

$\langle T_1 T_2 T_3 T_4 T_5 T_6 \rangle = \langle T_1 T_2 T_3 T_4 T_5 T_6 \rangle_c \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \langle T_1 T_2 T_3 \rangle_c \langle T_4 T_5 T_6 \rangle_c + \text{permutations} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \langle T_1 T_2 \rangle_c \langle T_3 T_4 \rangle_c \langle T_5 T_6 \rangle_c + \text{permutations}$

Es gibt keinen Begriff wie $\langle T_1\rangle_c \langle T_2 \rangle_c \langle T_3 \rangle_c \langle T_4 \rangle_c \langle T_5 \rangle_c \langle T_6 \rangle_c$ Weil $\langle T_{ij} \rangle_c = \langle T_{ij} \rangle = 0$ (in der Ebene können Sie dies auf Null setzen). Beachten Sie, dass dies impliziert $\langle T_{ij} T_{kl} \rangle_c = \langle T_{ij} T_{kl} \rangle$ .

FRAGE: Warum verbunden $n$ -Punktfunktionen skalieren als $c$ im Großen und Ganzen $c$ ? Ich meine, warum gilt das Folgende für alle $n$ ?

⟨ T_{{ich}_{1} J_{1}} T_{{ich}_{2} J_{2}} . . . T_{{ich}_{N} J_{N}} ⟩_{C} \underset{C \to \infty}{\propto} C .

$\langle T_{i_1 j_1} T_{i_2 j_2} ... T_{i_n j_n} \rangle_c \underset{c \rightarrow \infty}{\propto} c .$

Das einzige, was mir einfällt, bezieht sich auf die Energie-Impuls-Tensor-Korrelationsfunktionen und $c$ ist die OP

T (z) T (w) \sim \frac{C / 2}{(z - w)^{4}} + \frac{2 T (w)}{(z - w)^{2}} + \frac{\partial T (w)}{z - w} .

$T(z) T(w) \sim \frac{c/2}{(z-w)^4} + \frac{2 T(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T(w)}{z-w}.$

Dies funktioniert innerhalb von Korrelationsfunktionen, und ich weiß nicht, wie es sich innerhalb verbundener Korrelationsfunktionen verhalten würde. Wenn dies der richtige Ansatz wäre, würde es außerdem einen Faktor von ergeben $c$ für jedes Paar $T$ s innerhalb des Korrelators. Zum Beispiel

⟨ T (z_{1}) T (z_{2}) T (z_{3}) T (z_{4}) ⟩ \sim \frac{1 / 4}{(z_{1} - z_{2})^{4} (z_{3} - z_{4})^{4}} C^{2} .

$\langle T(z_1) T(z_2) T(z_3) T(z_4) \rangle \sim \frac{1/4}{(z_1-z_2)^4(z_3-z_4)^4} c^2.$

Lorenz Mayer

Ich denke du hast die Antworten schon gegeben? nimm ein

2 n

$2n$ -Punkt Korrelator von

T

$T$ . Dann sagen die Formeln, die Sie aufgeschrieben haben

⟨ T_{1} \dots T_{2 n} ⟩ \sim ⟨ T_{1} T_{2} ⟩ ⟨ T_{3} T_{4} ⟩ \dots ⟨ T_{2 n - 1} T_{2 n} ⟩

$\langle T_1 \cdots T_{2n} \rangle \sim \langle T_1 T_2 \rangle \langle T_3 T_4 \rangle \cdots \langle T_{2n-1} T_{2n} \rangle$ .

MBolin

@LorenzMayer aber dann der Korrelator

⟨ T_{1} . . . T_{2 n} ⟩

$\langle T_1 ... T_{2n} \rangle$ würde skalieren als

c^{n}

$c^n$ , nicht so wie

c

$c$ (was sie sagen).

Lorenz Mayer

wo sagt man das? auf seite 7 ganz unten steht da verbunden

n

$n$ -Punktfunktionen skalieren wie

c^{n - 1}

$c^{n-1}$ . Ich meine, das hilft nicht bei deinen Problemen 2) und 3), aber 1) sollte damit geklärt werden?

MBolin

Ich denke, sie sagen

n

$n$ -Punktfunktionen skalieren als

t^{n - 2} c^{n - 1}

$t^{n-2} c^{n-1}$ . Aber das große

c

$c$ -limit in diesem Artikel ist ein 't Hooft-ähnliches Limit, das beibehalten wird

t c

$tc$ Konstante. Also eigentlich

t^{n - 2} c^{n - 1} \propto c

$t^{n-2} c^{n-1} \propto c$ , wie ich sagte. Sie sagen dies ausdrücklich unten auf Seite 5.

Lorenz Mayer

Hm. Sie sagen, verbundene Korrelationsfunktionen skalieren wie

c

$c$ , so dass Beiträge zum

n

$n$ -Punktfunktionen von

k

$k$ verbundene Teile skalieren als

c^{k}

$c^k$ . Der Beitrag, den ich geschrieben habe, ist für a

2 n

$2n$ -Punkt-Funktion, ist von

n

$n$ verbundene Komponenten und Waagen wie

c^{n}

$c^n$ , was zu stimmen scheint.

MBolin

Nun, nein. Was Sie sagen, ist, dass ich recht habe. In einer Korrelationsfunktion erhalten Sie einen Faktor von

c

$c$ für jedes Paar

T

$T$ S. Jetzt sind meine Fragen: Warum sagen sie verbunden

n

$n$ -Punktfunktionen skalieren als

c

$c$ und nicht

c^{n / 2}

$c^{n/2}$ ? Und warum kann man eine zerlegen

n

$n$ -Punkt-Funktion ein

k

$k$ zusammenhängende Korrelationsfunktionen?

Lorenz Mayer

Dann habe ich vielleicht falsch verstanden, wonach Sie in Frage 1 gefragt haben). Das tut mir leid. Ich dachte, Sie sprachen von Korrelatoren, nicht von verbundenen Korrelatoren. Wenn Sie sich nicht sicher sind, was die Definition eines verbundenen Korrelators ist und warum

n

$n$ -Punktfunktionen sollten in zerlegbar sein

k

$k$ -verbundene Komponenten: In Weinbergs QFT-Buch, Abschnitt 4.3, wird gezeigt, wie die S-Matrix (die im Wesentlichen die gleiche ist) in ihre verbundenen Teile zerlegt wird. Vielleicht hilft das. Ich habe es nicht überprüft, aber der Algorithmus, den er dort zusammen mit dem OPE angibt, sollte die richtige Skalierung ergeben.

MBolin

Okay, danke für den Hinweis. Jetzt macht alles mehr Sinn, obwohl ich immer noch Zweifel habe. Ich habe die Frage bearbeitet.

Lorenz Mayer

Ich glaube, der Link zum Papier ist falsch.

MBolin

Verzeihung. Jetzt ist es behoben denke ich.

Antworten (1)

Großes ccc-Limit und verbundene Korrelationsfunktionen in 2d2d2d QFT

Ich denke du hast die Antworten schon gegeben? nimm ein $2n$ -Punkt Korrelator von $T$ . Dann sagen die Formeln, die Sie aufgeschrieben haben $\langle T_1 \cdots T_{2n} \rangle \sim \langle T_1 T_2 \rangle \langle T_3 T_4 \rangle \cdots \langle T_{2n-1} T_{2n} \rangle$ .
@LorenzMayer aber dann der Korrelator $\langle T_1 ... T_{2n} \rangle$ würde skalieren als $c^n$ , nicht so wie $c$ (was sie sagen).
wo sagt man das? auf seite 7 ganz unten steht da verbunden $n$ -Punktfunktionen skalieren wie $c^{n-1}$ . Ich meine, das hilft nicht bei deinen Problemen 2) und 3), aber 1) sollte damit geklärt werden?
Ich denke, sie sagen $n$ -Punktfunktionen skalieren als $t^{n-2} c^{n-1}$ . Aber das große $c$ -limit in diesem Artikel ist ein 't Hooft-ähnliches Limit, das beibehalten wird $tc$ Konstante. Also eigentlich $t^{n-2} c^{n-1} \propto c$ , wie ich sagte. Sie sagen dies ausdrücklich unten auf Seite 5.
Hm. Sie sagen, verbundene Korrelationsfunktionen skalieren wie $c$ , so dass Beiträge zum $n$ -Punktfunktionen von $k$ verbundene Teile skalieren als $c^k$ . Der Beitrag, den ich geschrieben habe, ist für a $2n$ -Punkt-Funktion, ist von $n$ verbundene Komponenten und Waagen wie $c^n$ , was zu stimmen scheint.
Nun, nein. Was Sie sagen, ist, dass ich recht habe. In einer Korrelationsfunktion erhalten Sie einen Faktor von $c$ für jedes Paar $T$ S. Jetzt sind meine Fragen: Warum sagen sie verbunden $n$ -Punktfunktionen skalieren als $c$ und nicht $c^{n/2}$ ? Und warum kann man eine zerlegen $n$ -Punkt-Funktion ein $k$ zusammenhängende Korrelationsfunktionen?
Dann habe ich vielleicht falsch verstanden, wonach Sie in Frage 1 gefragt haben). Das tut mir leid. Ich dachte, Sie sprachen von Korrelatoren, nicht von verbundenen Korrelatoren. Wenn Sie sich nicht sicher sind, was die Definition eines verbundenen Korrelators ist und warum $n$ -Punktfunktionen sollten in zerlegbar sein $k$ -verbundene Komponenten: In Weinbergs QFT-Buch, Abschnitt 4.3, wird gezeigt, wie die S-Matrix (die im Wesentlichen die gleiche ist) in ihre verbundenen Teile zerlegt wird. Vielleicht hilft das. Ich habe es nicht überprüft, aber der Algorithmus, den er dort zusammen mit dem OPE angibt, sollte die richtige Skalierung ergeben.
Okay, danke für den Hinweis. Jetzt macht alles mehr Sinn, obwohl ich immer noch Zweifel habe. Ich habe die Frage bearbeitet.

Lorenz Mayer · Answer 1

Ich denke, ich kann einen Hinweis für die angeschlossenen geben $4$ -Punkt-Funktion, die vielleicht hilft zu verstehen, warum sie für den allgemeinen Fall wahr sein sollte. Wählen Sie hierfür vier Punkte aus $z_1,z_2,z_3,z_4$ , lassen $z_{ij} = z_i - z_j$ Und $T_i = T(z_i)$ . Dann die Vierpunktfunktion im Limit $z_1 \rightarrow z_2$ Und $z_3 \rightarrow z_4$ :

⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} ⟩ \sim ⟨ (⟨ T_{1} T_{2} ⟩ + 2 z_{12}^{- 2} T_{2}) (⟨ T_{3} T_{4} ⟩ + 2 z_{34}^{- 2} T_{4}) ⟩ + weniger einzigartig = = ⟨ T_{1} T_{2} ⟩ ⟨ T_{3} T_{4} ⟩ + 4 z_{12}^{- 2} z_{34}^{- 2} ⟨ T_{2} T_{4} ⟩ + weniger einzigartig .

$\langle T_1 T_2 T_3 T_4 \rangle \sim \langle ( \langle T_1 T_2 \rangle + 2 z_{12}^{-2} T_2)(\langle T_3 T_4 \rangle + 2z_{34}^{-2}T_4) \rangle + \text{less singular} = \\ = \langle T_1 T_2 \rangle \langle T_3 T_4 \rangle + 4 z_{12}^{-2} z_{34}^{-2} \langle T_2 T_4 \rangle + \text{less singular} \ .$

Es folgt für die zusammenhängende Korrelationsfunktion

⟨ T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} ⟩_{C} \sim 4 z_{12}^{- 2} z_{34}^{- 2} ⟨ T_{2} T_{4} ⟩ + weniger einzigartig

$\langle T_1 T_2 T_3 T_4 \rangle_c \sim 4 z_{12}^{-2} z_{34}^{-2} \langle T_2 T_4 \rangle + \text{less singular}$

was in ordnung ist $c$ .

Als die $n$ -te zusammenhängende Korrelationsfunktion durch Induktion definiert ist, könnte dies der einfachste Weg sein, sie für allgemeine zusammenhängende Korrelationsfunktionen zu beweisen.

Hier ist auch eine Referenz für diese Operatoralgebra-Berechnungen, insbesondere Kapitel 6.

Das könnte es erklären. Ich verstehe aber nicht, warum Sie jeden behandeln können $T_{ij}$ (in euklidischen Koordinaten) als a $T_{zz}$ (in holomorphen Koordinaten). Ich meine, Sie verwenden das OPE $T_{zz} T_{zz}$ , aber Sie könnten genauso nehmen $T_{zz} T_{\bar{z} \bar{z}} \sim 0$ , und Sie würden nein bekommen $c$ überhaupt.

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