Ableitung konformer OPE in D>2

Question

Ableitung konformer OPE in D>2

Physik
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen
konforme-Feld-Theorie

levit

Die Operatorprodukterweiterung besagt, dass das Produkt zweier Primärfelder (in diesem Fall mit derselben Dimension) als Summe von Primärfarben und ihren Nachkommen erweitert werden kann

ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (0) = Σ_{Ö} λ_{Ö} C_{Ö} (X, \partial_{j}) Ö (j) |_{j = 0}

$\phi_1(x)\phi_2(0) = {\Large \Sigma_\mathcal{O}}\lambda_\mathcal{O}C_\mathcal{O}(x,\partial_y)\mathcal{O}(y)|_{y=0}$ wo die Summe

Σ_{O}

$\Sigma_\mathcal{O}$ ist über Vorwahlen. Abstiege erscheinen, wenn auf sie von den Derivaten in eingewirkt wird

C_{O} (x, \partial_{y})

$C_\mathcal{O}(x,\partial_y)$ . Unter Berücksichtigung der Dreipunktfunktion und da wir wissen, dass zwei Punktfunktionen diagonal sind, erhalten wir:

⟨ ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (0) Φ (z) ⟩ = λ_{Φ} C_{Φ} (X, \partial_{j}) ⟨ Φ (j) |_{j = 0} Φ (z) ⟩ (1)

$\begin{equation}\langle\phi_1(x)\phi_2(0)\Phi(z)\rangle = \lambda_\Phi C_\Phi(x,\partial_y)\langle\Phi(y)|_{y=0}\Phi(z)\rangle \hspace{0.2cm} (1) \end{equation}$

Nun unter Verwendung bekannter Formen von Zwei- und Drei-Punkt-Funktionen unten

⟨ ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (X_{2}) Φ (X_{3}) ⟩ = \frac{λ_{Φ}}{| X_{12} |^{Δ_{1} + Δ_{2} - Δ_{3}} | X_{23} |^{Δ_{2} + Δ_{3} - Δ_{1}} | X_{13} |^{Δ_{1} + Δ_{3} - Δ_{2}}}

$\langle\phi_1(x)\phi_2(x_2)\Phi(x_3)\rangle = \frac{\lambda_\Phi }{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2}}$

⟨ Φ (j) Φ (z) ⟩ = \frac{1}{| j - z |^{2 Δ_{Φ}}}

$\langle \Phi(y)\Phi(z)\rangle = \frac{1}{|y-z|^{2\Delta_\Phi}}$

man soll die Konstanten fixieren $\alpha, \beta$ In $C_\Phi(x,\partial_y)$ durch die Annahme einer Form

C_{Φ} (X, \partial_{j}) = \frac{1}{| X |^{2 Δ - Δ_{Φ}}} [1 + \frac{1}{2} X^{μ} \partial_{μ} + a X^{μ} X^{v} \partial_{μ} \partial_{v} + β X^{2} \partial^{2} + . . .]

$C_\Phi(x,\partial_y) = \frac{1}{|x|^{2\Delta -\Delta_\Phi}}\Big[1+ \frac{1}{2}x^\mu\partial_\mu + \alpha x^\mu x^\nu \partial_\mu\partial_\nu + \beta x^2\partial^2 + ...\Big]$ Hier sind die Abmessungen von

ϕ_{1}

$\phi_1$ Und

ϕ_{2}

$\phi_2$ sind jeweils

Δ

$\Delta$ und das von

Φ

$\Phi$ Ist

Δ_{Φ}

$\Delta_\Phi$ . Jetzt kann ich mithilfe der Dreipunktfunktion mit Einfügungen sehen

x, 0, z

$x,0,z$ auf der linken Seite von (1) ist

⟨ ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (0) Φ (z) ⟩ = \frac{λ_{Φ}}{| X |^{2 Δ - Δ_{ϕ}} | z |^{Δ_{Φ}} | z - X |^{Δ_{Φ}}}

$\langle\phi_1(x)\phi_2(0)\Phi(z)\rangle = \frac{\lambda_\Phi }{|x|^{2\Delta -\Delta_\phi}|z|^{\Delta_\Phi}|z-x|^{\Delta_\Phi}}$ der führende Begriff bei der Erweiterung um

x

$x$ ,

\frac{λ_{Φ}}{| x |^{2 Δ - Δ_{ϕ}} | z |^{2 Δ_{Φ}}}

$\frac{\lambda_\Phi }{|x|^{2\Delta -\Delta_\phi}|z|^{2\Delta_{\Phi}}}$ stimmt mit der rechten Seite von Gl. (1), kann aber nicht herausfinden, wie man die Koeffizienten von Termen höherer Ordnung findet. Ich versuche, eine binomiale Erweiterung von auszuwerten

| z - x |^{Δ_{Φ}}

$|z-x|^{\Delta_\Phi}$ wo jetzt die Punkte sind

D

$D$ dimensionalen Raum und dazu bin ich nicht in der Lage. Ich versuche nur, bis zwei Bestellungen zu bekommen. Jede Hilfe ist willkommen.

Abdelmalek Abdesselam

Schlagen Sie beliebige Gegenbauer- oder ultrasphärische Polynome nach, die Sie für Ihre Taylor-Entwicklung benötigen

D

$D$ und für beliebige Skalierungsdimension

Δ_{Φ}

$\Delta_{\Phi}$ .

Antworten (1)

Ableitung konformer OPE in D>2

Schlagen Sie beliebige Gegenbauer- oder ultrasphärische Polynome nach, die Sie für Ihre Taylor-Entwicklung benötigen $D$ und für beliebige Skalierungsdimension $\Delta_{\Phi}$ .

Peter Krawtschuk · Answer 1

So bewerten Sie die Serie für

\frac{1}{| z - X |^{Δ_{ϕ}}}

$\frac{1}{|z-x|^{\Delta_\phi}}$ für klein

x

$x$ . Zuerst ziehst du aus

| z |

$|z|$ ,

\frac{1}{| z |^{Δ_{ϕ}} | e - ξ |^{Δ_{ϕ}}},

$\frac{1}{|z|^{\Delta_\phi}|e-\xi|^{\Delta_\phi}},$ Wo

e = \frac{z}{| z |}

$e=\frac{z}{|z|}$ , schreiben

ξ = \frac{x}{| z |}

$\xi=\frac{x}{|z|}$ und arbeite jetzt mit

\frac{1}{| e - ξ |^{Δ_{ϕ}}} = {[\frac{1}{(e - ξ)^{2}}]}^{Δ_{ϕ} / 2},

$\frac{1}{|e-\xi|^{\Delta_\phi}}=\left[\frac{1}{(e-\xi)^2}\right]^{\Delta_\phi/2},$ Verwenden

(e - ξ)^{2} = 1 - 2 (e \cdot ξ) + ξ^{2}

$(e-\xi)^2=1-2(e\cdot\xi)+\xi^2$ und ersetzen

ξ \to ϵ ξ

$\xi\to\epsilon\xi$ Um die Bestellung zu verfolgen, erhalten Sie nur

{[\frac{1}{1 - 2 ϵ (e \cdot ξ) + ϵ^{2} ξ^{2}}]}^{Δ_{ϕ} / 2},

$\left[\frac{1}{1-2\epsilon(e\cdot\xi)+\epsilon^2\xi^2}\right]^{\Delta_\phi/2},$ was jetzt nur noch eine übliche Funktion des Skalararguments ist

ϵ

$\epsilon$ , die Sie in Potenzen erweitern können

ϵ

$\epsilon$ von Hand oder mit Mathematica. Um die allgemeine Antwort zu erhalten, setze

ϵ = t / | ξ |

$\epsilon=t/|\xi|$ und bekomme

{[\frac{1}{1 - 2 T \frac{(e \cdot ξ)}{| ξ |} + T^{2}}]}^{Δ_{ϕ} / 2} = \sum_{J = 0}^{\infty} C_{J}^{(Δ_{ϕ} / 2)} (\frac{e \cdot ξ}{| ξ |}) T^{J} = \sum_{J = 0}^{\infty} C_{J}^{(Δ_{ϕ} / 2)} (\frac{e \cdot ξ}{| ξ |}) | ξ |^{J} ϵ^{J},

$\left[\frac{1}{1-2t\frac{(e\cdot\xi)}{|\xi|}+t^2}\right]^{\Delta_\phi/2}=\sum_{j=0}^\infty C^{(\Delta_\phi/2)}_j\left(\frac{e\cdot\xi}{|\xi|}\right)t^j=\sum_{j=0}^\infty C^{(\Delta_\phi/2)}_j\left(\frac{e\cdot\xi}{|\xi|}\right)|\xi|^j\epsilon^j,$ durch Definition der Gegenbauer-Polynome, wie von Abdelmalek Abdesselam angemerkt.

Kannst du den Bruch nicht taylorisch erweitern? Ich habe das gleiche Problem, verstehe aber Ihre endgültige Antwort nicht ganz.
@chillyspangko, du kannst den Bruch Taylor erweitern, und du wirst feststellen, dass die Koeffizienten vor den Potenzen stehen $t^j$ sind die Gegenbauer-Polynome. Eine Definition von Gegenbauer-Polynomen ist, dass sie genau die Koeffizienten in dieser Erweiterung sind.

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levit

Abdelmalek Abdesselam

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Peter Krawtschuk

verdrehter Verteiler

Peter Krawtschuk

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