Aktion der Supergruppe auf AdS5×S5AdS5×S5AdS_5\times S^5

Question

Aktion der Supergruppe auf AdS5×S5AdS5×S5AdS_5\times S^5

ads-cft
Physik
Yang-Mühlen
Supergravitation
Stringtheorie
Supersymmetrie

twistor59

Im Zusammenhang mit der AdS/CFT-Korrespondenz versuchte ich zu verstehen, wie die Symmetriegruppe des zugrunde liegenden Raums funktioniert $AdS_5 \times S^5$ stellt sich als Supergruppe heraus $SU(2,2|4)$ . Ich kann sehen, wie die bosonische Untergruppe aufsteigt $SU(2,2)\times SU(4)_R$ taucht als Gruppe von Isometrien von auf $AdS_5\times S^5$ , seit $SU(2,2)$ ist eine doppelte Abdeckung von $SO(2,4)$ und dies bewahrt die Signatur (+ + - - - -)Leerzeichen von denen $AdS_5$ entstand. Außerdem die Gruppe der R-Symmetrien $SU(4)_R$ hat eine verblüffende Ähnlichkeit mit $SO(6)$ der die bewahrt $S^5$ metrisch. So weit so gut im bosonischen Land. Was ist jedoch mit den fermionischen Teilen von $SU(2,2|4)$ ? Wie wirken sie auf $AdS_5\times S^5$ ? Irgendetwas mit den Branes, denke ich, aber ich bin mir nicht sicher ...

Lubos Motl

Lieber Twistor, das ist eine verwirrende Frage. Fermionische Generatoren wirken natürlich nicht nur geometrisch auf einen bosonischen Raum. Sie könnten höchstens eine Superraumerweiterung von in Betracht ziehen

A d S_{5} \times S^{5}

$AdS_5\times S^5$ Superräume sind jedoch nicht sehr nützlich, wenn es zu viele Superladungen gibt (sie haben zu viele Komponenten). Es ist also eine Art fehlgeleiteter Ansatz, nur nach der Wirkung der Superladungen auf die Raumzeit zu fragen; Man sollte lernen, was die Aktion der Supergruppe am Hilbert-Raum ist – die ganze eigentliche Theorie – und es ist ziemlich einfach, wenn man das definiert

N = 4

$N=4$ Eichtheorie.

twistor59

Hallo Lubos, der Grund für die Frage war Wittens Aussage in Folie Nummer 11 in seinem Vortrag in diesem Link . Er sagt "

A d S_{5} X S^{5}

$AdS_5XS^5$ Symmetriegruppe hat

P S U (2, 2 | 4)

$PSU(2,2|4)$ ". Ich konnte die geometrische Interpretation der fermionischen Generatoren nicht verstehen. Vielleicht spielt er auf etwas Quantenmechanisches an, wie Sie sagen, aber es war auf der Folie nicht klar. Ich bin mir auch nicht sicher, was das "P" ist bedeutet entweder ....

Lubos Motl

Lieber Twistor, OK, das will Witten wirklich sagen

P S U (2, 2 | 4)

$PSU(2,2|4)$ ist die (oder "eine") maximale Obergruppe von Symmetrien, auf der eine Theorie definiert ist

A d S_{5} \times S^{5}

$AdS_5\times S^5$ könnte haben. Aber er meint sicher nicht, dass alle Generatoren - insbesondere die fermionischen - als Differentialoperatoren definiert werden können, die nur auf die 10 bosonischen Koordinaten dieser Raumzeit wirken.

Lubos Motl

Für die Terminologie von Superalgebren (und denselben Supergruppen) siehe Seite 58 dieser Kac-Rezension (PDF): projecteuclid.org/…

twistor59

@LubošMotl: OK vielen Dank, das ist klar! Posten Sie es in einer Antwort und wir können dieses schließen.

Lubos Motl

Das Extra

P

$P$ In

P S U

$PSU$ bedeutet, dass man einen blockdiagonalen "hypercharge-like"-Generator ausschaltet

S U

$SU$ . Es ist ähnlich wie beim Einbetten von

S U (3) \times S U (2) \times U (1)

$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ In

S U (5)

$SU(5)$ in der großen Vereinigung; im Fall der Superalgebra kann man das konsequent eliminieren

U (1)

$U(1)$ hier zumindest dann, wenn die Anzahl der bosonischen Einträge und fermionischen Einträge (Dimension der fundamentalen Rep) gleich ist. Und es ist gleich, beide sind 4 für

P S U (2, 2 | 4)

$PSU(2,2|4)$ .

twistor59

Ah, OK, vielleicht steht P dann für "projektiv".

Antworten (1)

Aktion der Supergruppe auf AdS5×S5AdS5×S5AdS_5\times S^5

Lieber Twistor, das ist eine verwirrende Frage. Fermionische Generatoren wirken natürlich nicht nur geometrisch auf einen bosonischen Raum. Sie könnten höchstens eine Superraumerweiterung von in Betracht ziehen $AdS_5\times S^5$ Superräume sind jedoch nicht sehr nützlich, wenn es zu viele Superladungen gibt (sie haben zu viele Komponenten). Es ist also eine Art fehlgeleiteter Ansatz, nur nach der Wirkung der Superladungen auf die Raumzeit zu fragen; Man sollte lernen, was die Aktion der Supergruppe am Hilbert-Raum ist – die ganze eigentliche Theorie – und es ist ziemlich einfach, wenn man das definiert $N=4$ Eichtheorie.
Hallo Lubos, der Grund für die Frage war Wittens Aussage in Folie Nummer 11 in seinem Vortrag in diesem Link . Er sagt " $AdS_5XS^5$ Symmetriegruppe hat $PSU(2,2|4)$ ". Ich konnte die geometrische Interpretation der fermionischen Generatoren nicht verstehen. Vielleicht spielt er auf etwas Quantenmechanisches an, wie Sie sagen, aber es war auf der Folie nicht klar. Ich bin mir auch nicht sicher, was das "P" ist bedeutet entweder ....
Lieber Twistor, OK, das will Witten wirklich sagen $PSU(2,2|4)$ ist die (oder "eine") maximale Obergruppe von Symmetrien, auf der eine Theorie definiert ist $AdS_5\times S^5$ könnte haben. Aber er meint sicher nicht, dass alle Generatoren - insbesondere die fermionischen - als Differentialoperatoren definiert werden können, die nur auf die 10 bosonischen Koordinaten dieser Raumzeit wirken.
Für die Terminologie von Superalgebren (und denselben Supergruppen) siehe Seite 58 dieser Kac-Rezension (PDF): projecteuclid.org/…
@LubošMotl: OK vielen Dank, das ist klar! Posten Sie es in einer Antwort und wir können dieses schließen.
Das Extra $P$ In $PSU$ bedeutet, dass man einen blockdiagonalen "hypercharge-like"-Generator ausschaltet $SU$ . Es ist ähnlich wie beim Einbetten von $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ In $SU(5)$ in der großen Vereinigung; im Fall der Superalgebra kann man das konsequent eliminieren $U(1)$ hier zumindest dann, wenn die Anzahl der bosonischen Einträge und fermionischen Einträge (Dimension der fundamentalen Rep) gleich ist. Und es ist gleich, beide sind 4 für $PSU(2,2|4)$ .

Lubos Motl · Answer 1

Fermionische Generatoren wirken natürlich nicht nur geometrisch auf einen bosonischen Raum; alle Differentialoperatoren, die auf bosonische Koordinaten wirken, sind bosonisch.

Sie könnten höchstens eine Superraumerweiterung von in Betracht ziehen $AdS_5 \times S^5$ Superräume sind jedoch nicht sehr nützlich, wenn es zu viele Superladungen gibt (sie haben zu viele Komponenten). Es ist also eine Art fehlgeleiteter Ansatz, nur nach der Wirkung der Superladungen auf die Raumzeit zu fragen; man sollte lernen, was die Aktion der Supergruppe im Hilbert-Raum ist – die ganze eigentliche Theorie – und es ist ziemlich einfach, wenn man das definiert $N=4$ Eichtheorie.

Witten – wenn er erwähnt, dass die Gruppe, die auf dem AdS-Raum mal der Sphäre agiert, die Supergroup ist – will das wirklich sagen $PSU(2,2|4)$ ist die (oder "eine") maximale Obergruppe von Symmetrien, auf der eine Theorie definiert ist $AdS_5\times S^5$ könnte haben. Aber er meint sicherlich nicht, dass alle Generatoren - insbesondere die fermionischen - als Differentialoperatoren definiert werden können, die nur auf die 10 bosonischen Koordinaten dieser Raumzeit wirken.

Für die Terminologie von Superalgebren (und denselben Supergruppen) siehe Seite 58 dieser Kac-Rezension (PDF) .

Zum Schluss das Extra $P$ In $PSU$ bedeutet, dass man einen blockdiagonalen "hypercharge-like"-Generator ausschaltet $SU$ . Es ist ähnlich wie beim Einbetten von $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ In $SU(5)$ in der großen Vereinigung; im Fall der Superalgebra kann man das konsequent eliminieren $U(1)$ hier zumindest dann, wenn die Anzahl der bosonischen Einträge und fermionischen Einträge (Dimensionen der Fundamentaldarstellung) gleich sind. Und es ist gleich, beide sind 4 für $PSU(2,2|4)$ . Wenn Sie eine SE-Frage zu einem ankreuzen $SU(5)$ Zerlegung hier

Einführung in den physischen Inhalt von adjungierten Repräsentationen

die gleichen Dimensionen erlauben es uns, die "Überladungen" der off-block-diagonalen Einträge (alle fermionischen Generatoren) einzustellen, die waren $\pm 5/6$ oben auf null und eliminieren die "hypercharge" $U(1)$ was gerade gezeigt wurde, um vollständig zu einem Zentrum zu werden (Generator, der mit allen anderen pendelt).

Ohne das $P$ was für "projektiv" steht , die bosonische Untergruppe von $SU(2,2|4)$ wäre wirklich $SU(2,2)\times SU(4)\times U(1)$ mit dem zusätzlichen letzten Faktor, der tatsächlich eliminiert wird $PSU$ .

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