breitenlohner freeman stabilitätszustand

Um die Grenze schnell (und etwas schmutzig) abzuleiten, gehen Sie wie folgt vor: Erinnern Sie sich, dass in Poincaré-Koordinaten die Metrik von$AdS_{d+1}$Ist

$$ds=\frac{1}{z^2}\left(dz^2+\eta^{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\right).$$ Die Bewegungsgleichung für einen Skalar lautet $$(\Box-m^2)\,\phi(z,x)=0,$$ Wo $\Box=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_a \sqrt{-g}g^{ab}\partial_b$. Fügen Sie die AdS-Metrik ein, die Sie erhalten $$\partial_z^2\phi(z,x)-\frac{d-1}{z}\partial_z \phi(z,x)+z^2\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi(z,x)-\frac{m^2}{z^2}\phi(z,x)=0.$$ Verwenden Sie nun eine ebene Wellenbasis, um das auszudrücken $x$-Abhängigkeit der Lösungen, dh $$\phi(z,x)=\varphi(z)e^{ik_\mu x^\mu}$$ Dann werden die Bewegungsgleichungen $$\partial_z^2\varphi(z)-\frac{d-1}{z}\partial_z\varphi(z)-k_\mu k^\mu \varphi(z)-\frac{m^2}{z^2}\varphi(z)=0$$ Machen Sie den Ersatz $\varphi(z)\rightarrow z^{\frac{-d+1}{2}}\varphi(z)$Ankommen in $$(-\partial_z^2 +V(z))\varphi(z)=\omega^2\varphi(z).$$ Wo $$V(z)=\vec{k}^2+\frac{1}{z^2}\left(m^2+\frac{d^2-1}{4}\right).$$ Jetzt können Sie das bekannte (?) Ergebnis verwenden, dass eine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung nur dann eine stabile Lösung zulässt, wenn $V>-\frac{1}{4}$, dh $$m^2>-\frac{d^2}{4}.$$

Details zu diesem letzten Argument finden Sie hier und darin enthaltene Referenzen. Eine weitere Quelle ist diese Lösung zu einem Problemsatz aus einer Klasse von Gary Horowitz: web.physics.ucsb.edu/~phys230B/Solution2.pdf

Der Grund, warum negative Masse$^2$Lösungen erlaubt sind, ist, dass AdS ein Gravitationspotential enthält, das die negative Masse angibt$^2$Eigenzustände eine insgesamt positive Energie.