Ableitung der Verschränkungsentropie aus der Renyi-Entropie

Ich möchte wissen, ob einige Annahmen über die Beziehung zwischen den Systemen erforderlich sind$A$Und$B$für den Hilbert-Raum als Tensorprodukt zu faktorisieren

Hier ist die allgemeine Idee hinter der Faktorisierung in diesem Zusammenhang. Haftungsausschluss: Dies wird nicht ganz streng sein (wie bei vielen Berechnungen in der Feldtheorie).

Stellen Sie sich zur Orientierung ein klassisches mechanisches System mit zwei unabhängigen Gestaltungsfreiheitsgraden vor$q_A$Und$q_B$. Wenn man ein solches System quantisiert, ordnet man etwa jedem unabhängigen Freiheitsgrad einen Hilbert-Raum zu$\mathcal H_A$Und$\mathcal H_B$, und der Hilbert-Raum für das gesamte System ist das Tensorprodukt$\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$.

Betrachten Sie nun eine klassische Theorie von Feldern auf einer Mannigfaltigkeit$M$. Es gibt unendlich viele Freiheitsgrade für ein solches System, einen für jeden Punkt auf der Mannigfaltigkeit, denn um eine klassische Konfiguration zu spezifizieren, müsste man den Wert der Felder spezifizieren$\phi$an jedem Punkt$x$auf dem Krümmer. Beim Quantisieren weist man daher einen Hilbert-Raum zu$\mathcal H_x$zu jedem dieser klassischen Freiheitsgrade, und der gesamte Hilbert-Raum ist das Tensorprodukt

$$\bigotimes_{x\in M}\mathcal H_x$$ Nehmen wir nun an, dass ich meine Mannigfaltigkeit in zwei Bereiche aufteile $M_A$Und $M_B$, nämlich $M = M_A\cup M_B$Und $M_A\cap M_B = \emptyset$, beachten Sie dann, dass der Hilbert-Raum der Systemfaktoren wie folgt ist: $$\bigotimes_{x_\in M} = \left(\bigotimes_{x\in M_A}\mathcal H_x\right)\otimes\left(\bigotimes_{x\in M_B}\mathcal H_x\right)$$ Der erste Faktor ist das, was man nennen könnte $\mathcal H_A$, der Hilbert-Raum, der allen Freiheitsgraden entspricht, die Punkten in der Region zugeordnet sind $M_A$, und ähnlich für den zweiten Faktor.

wie folgt diese behauptete Gleichheit darauf,$S_A = lim _{n \rightarrow 1} S^{(n)}_A = - lim _{n \rightarrow 1} \frac{\partial \rho^n_A }{\partial n }$

Lassen Sie eine Dichtematrix$\rho$mit Eigenwerten$\lambda_k$gegeben werden. Die zugehörige von-Neumann-Entropie ist definiert durch

$$\begin{align} S(\rho) &= -\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k \end{align}$$ Jetzt beachte das $$\begin{align} \frac{d}{da}x^a &= \frac{d}{da}e^{\ln x^a} =\frac{d}{da}e^{a\ln x} =e^{a\ln x}\ln x =e^{\ln x^a}\ln x =x^a\ln x \end{align}$$ und deshalb $$\begin{align} \lim_{a\to 1}\frac{d}{da} x^a = x\ln x \end{align}$$ Es folgt dem $$\begin{align} S(\rho) &= -\sum_k\lim_{a\to 1}\frac{d}{da}(\lambda_k)^a = -\lim_{a\to 1}\frac{d}{da}\sum_k(\lambda_k)^a. \end{align}$$ Nun lass $n$eine positive ganze Zahl sein und eine Funktion definieren $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{C}$von $$\begin{align} f(n) = \sum_k(\lambda_k)^n. \end{align}$$ Das behaupte ich ohne Beweis $f$analytisch fortgeführt werden kann, so dass ihr Definitionsbereich alle komplexen Zahlen umfasst $a$mit $\Re [a]>1$. Nennen wir dies analytische Fortsetzung $f_c$. Ich behaupte weiter ohne Beweis, dass man eine explizite Formel für diese analytische Fortsetzung durch einfaches Ersetzen von erhält $n$mit $a$; $$\begin{align} f_c(a) = \sum_k(\lambda_k)^a. \end{align}$$ Wir können die Entropie jetzt schreiben als $$\begin{align} S(\rho) = -\lim_{a\to 1^+}\frac{d}{da}f_c(a) \end{align}$$ Für $a =n$Wo $n$eine positive ganze Zahl ist, beachten Sie das $f$ist einfach die Spur von $\rho^n$; $$\begin{align} f(n) &= \mathrm{tr}(\rho^n) \end{align}$$ Wenn wir die analytische Fortsetzung von bezeichnen $\mathrm{tr}(\rho^n)$in der Variablen $n$zu komplexen Werten $a$mit $\Re [a]>1$von $\mathrm{tr}(\rho^a)$, dann erhalten wir die gewünschte Formel $$\begin{align} \boxed{S(\rho) = -\lim_{a\to 1^+}\frac{d}{da}\mathrm{tr}(\rho^a)}. \end{align}$$

Nachtrag. (15. Oktober 2013) Hier ist der Beweis für die erste Gleichberechtigung, wie vor Monaten versprochen :). Ich verwende die gleiche Notation wie oben. Dann beachte das

$$\begin{align} \lim_{a\to 1^+} f_c(a) &= \mathrm{tr}\rho = 1 \\ \lim_{a\to 1^+} f_c'(a) &= -S(\rho) \end{align}$$ Diese erste Gleichheit folgt aus der Tatsache, dass Dichteoperatoren spurlos sind, und die zweite Gleichheit ist im Wesentlichen die zweite Gleichheit, die ich zuvor bewiesen habe. Nun berechnen wir unter Verwendung dieser beiden Tatsachen; $$\begin{align} \lim_{a\to 1^+}\frac{1}{1-a} \ln f_c(a) &= \lim_{a\to 1^+} \frac{1}{1-a} \ln(f_c(1) + f_c'(1)(a-1) + O(a-1)^2) \\ &= \lim_{a\to 1^+} \frac{1}{1-a}\ln(1+S(\rho)(1-a)+ O(a-1)^2) \\ &= \lim_{a\to 1^+} \frac{1}{1-a}(S(\rho)(1-a) + O(1-a)) \\ &= S(\rho) \end{align}$$ wie gewünscht!