Kanonische Definition des Integranden in der planaren N=4 SYMN=4 SYM\mathcal{N}=4 \\mathrm{SYM} Theorie

Gemäß Seite 101 von Scattering Amplitudes (Elvang, Huang) kann man die Zonenvariablen verwenden j um im planaren Fall einen eindeutigen Integranden zu definieren.

Dies geschieht, indem man sagt, dass die Impulse einer internen Linie zugeordnet sind j A − j B Wo j A Und j B sind die Zonenvariablen, die den zwei Zonen zugeordnet sind, die an die bestimmte Linie angrenzen.

Ist es in diesem Schema notwendig, auch ein Schema zur kanonischen Kennzeichnung der inneren Zonenvariablen zu entwickeln, um eine wohldefinierte Integrandenfunktion zu erhalten?

Zur Verdeutlichung, wenn man ein doppeltes Kastenintegral betrachtet und die beiden Zonenvariablen, die den Innenflächen zugeordnet sind, vertauscht, erhält man zwei unterschiedliche Beiträge zum Integranden. Tatsächlich wird es zwei interne Zeilen geben, deren Propagatoren sind ( j 4 − j A ) − 2 ( j 2 − j B ) − 2 das ist nicht die selbe funktion wenn man tauscht A mit B .

Antworten (1)

Gute Frage. Die Antwort ist, dass man den Integranden bezüglich immer (vollständig) symmetrisieren kann L ! Loop-Variablen. Zum Beispiel die Zweischleife

   1             2
    \     x1    /
     \_________/
     |    |    |
  x4 | y1 | y2 | x2
     |____|____|
    /          \
   /      x3    \
  4              3

Integral in dualen Koordinaten ist (der Zähler ist so gewählt, dass das Integral dualkonform invariant ist):

∫ D 4 j 1 D 4 j 2 2 ! ( X 1 − X 3 ) 4 ( X 2 − X 4 ) 2 ( j 1 − X 3 ) 2 ( j 1 − X 4 ) 2 ( j 1 − X 1 ) 2 ( j 2 − X 1 ) 2 ( j 2 − X 2 ) 2 ( j 2 − X 3 ) 2 ( j 1 − j 2 ) 2 + ( j 1 ↔ j 2 )

Die Leute schreiben diese Integrale normalerweise in Momentum-Twistor-Variablen. Wie Sie sich erinnern, zu jeder der Schleifenvariablen j ich es gibt ein zugehöriges Twister-Paar ( Z A ich , Z B ich ) . Das obige Integral ergibt sich zu

∫ ( A 1 B 1 , A 2 B 2 ) ⟨ 1234 ⟩ 2 ⟨ 2341 ⟩ ⟨ A 1 B 1 41 ⟩ ⟨ A 1 B 1 12 ⟩ ⟨ A 1 B 1 23 ⟩ ⟨ A 2 B 2 23 ⟩ ⟨ A 2 B 2 34 ⟩ ⟨ A 2 B 2 41 ⟩ ⟨ A 1 B 1 A 2 B 2 ⟩ ,
Wo ( A 1 B 1 , A 2 B 2 ) bedeutet, dass das Integrationsmaß einen Faktor von hat 1 2 ! darin von der Symmetrisierung ( A 1 B 1 ↔ A 2 B 2 ) .

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