Wie kann ich Instantonen als Garben verstehen?

Insbesondere werden Instantonen als torsionsfreie kohärente Garben betrachtet oder interpretiert. Warum ist das so? Gibt es eine schöne Möglichkeit, diese Beziehung zu verstehen und natürlich auch zu verstehen, wie die beiden Modulräume (Instantons und torsionsfreie kohärente Garben) identifiziert werden?

Mehr Hintergrund : der Modulraum von Instantonen M R , k Wo R ist der Rang der Eichgruppe oder des Vektorbündels und k ist die Instantonzahl, die auch als zweite Chern-Klasse des Vektorbündels definiert ist. Nun sollen diese Instantons eingerahmt sein, was dem Erfordernis der Feldstärke entspricht F im Unendlichen zu verschwinden oder, mit anderen Worten, die Instantonen im Unendlichen in reinem Maßstab zu sein. Nach Donaldson wird dieser Raum der "gerahmten" Instantons mit dem Modulraum des gerahmten Ranges identifiziert R -Vektorbündel ein P 2 = C 2 ∪ l ∞ Wo l ∞ = P 1 = C ∪ { ∞ } . Rahmung bedeutet, dass an der Linie im Unendlichen ( l ∞ ), so dass das Vektorbündel dort trivial ist.

Jetzt der Raum M R , k wird auch mit dem Modulraum torsionsfreier Scheiben identifiziert E An P 2 so dass Rang ( E ) = R Und C 2 ( E ) = k zwei Bedingungen erfüllen

  • E ist torsionsfrei auf P 2 und lokal frei (projektiv) in einer Nachbarschaft von l ∞ (das heißt, dass die Garbe in einer Umgebung von Unendlich wie ein Vektorbündel wie oben aussieht) und
  • Es gibt eine Rahmung wie oben (für das Vektorbündel).

Was ich verlange, ist Intuition zu den oben genannten Objekten. Inwiefern kann ich die Instantonen als Garben sehen? Wenn der Instanton-Modulraum keine Singularitäten aufwies und glatt war, ist es ziemlich einfach, die Vektorbündelkonstruktion zu verstehen. Garben werden benötigt, um diese Singularitäten zu berücksichtigen, richtig? Und wie hängt die garbentheoretische Konstruktion zusammen Hilb N ( X ) . Ich weiß, dass das Problem darin besteht, dass, wenn sich zwei punktähnliche Instantons annähern, eine Singularität erscheint und daher die Vektorbündelkonstruktion nicht gut definiert ist, aber ich verstehe nicht ganz, wie die garbentheoretische Konstruktion das Problem löst.

Dies könnte viel mehr Kontext gebrauchen - was ist Ihre genaue Definition von Instanton in diesem Zusammenhang, und woran denken Sie bei den Garben? Damit die Wörter "torsionsfrei" und "kohärent" Sinn machen, benötigen Sie einen (vorzugsweise lokal) beringten Raum , welchen betrachten Sie und was ist seine Strukturgarbe? Ich vermute, dass dies nichts anderes ist, als ein Instanton (oder besser gesagt die Instanton-Nummer) als ein Hauptbündel zu betrachten und dann das Bündel mit seinem Bündel von Abschnitten zu identifizieren. Umgekehrt ergibt eine Garbe mit den richtigen Eigenschaften (die "torsionsfrei kohärent" sein kann) ein Bündel.
Ich bin mir nicht sicher, wie ich den Kontext hinzufügen soll. Ich versuche zu verstehen, warum der Modulraum gerahmter Instantons mit dem Modulraum kohärenter torsionsfreier Garben identifiziert werden kann, wodurch Instantonen mit den Garben identifiziert werden. Der Modulraum ist in der Tat ein lokal beringter Raum und alle oben genannten Eigenschaften sind gültig. Ich hätte gerne eine Schritt-für-Schritt-Erklärung, wie man mit der Physiksprache der Instantonen als Lösungen der ASD-Gleichungen beginnt und zu den kohärenten Garben gelangt.
Nun, das ist ein Anfang! Fügen Sie zum einen Ihre Definition von "gerahmtem Instanton" hinzu (die Instanton-Literatur ist schrecklich verwirrend, gerade weil die Leute dazu neigen, über verwandte, aber unterschiedliche Dinge zu sprechen). Sagen Sie dann Garben auf was . Sie sagen, der Raum von Instanton-Bündeln soll der Raum von Garben sein, was für mich darauf hinweist, dass sich sowohl die Bündel als auch die Garben über demselben Raum befinden (Raumzeit vielleicht?), Und es ist dieser Raum - nicht die Moduli-Räume - welcher muss lokal beringt werden. Dh was sagen X in den Bündelkarten π : P → X ia und offene Teilmengen davon, auf welchem ​​Raum die Garben leben.
Der Raum, der lokal umringt werden muss, ist der Modulraum, richtig? Ich meine, die Raumzeit ist sowieso, da sie eine glatte Mannigfaltigkeit ist und Sie den Ring kontinuierlicher Funktionen erhalten. Die Garben befinden sich "auf" dem Modulraum, den ich annehme, gerade wenn sich zwei punktartige Instantons zufällig an derselben Stelle befinden, sodass der Rang des Bündels nicht konstant ist und es sich somit nicht um ein Vektorbündel handelt. Ich werde versuchen, meine Frage ein wenig zu bearbeiten, aber da Sie anscheinend schon viel mehr wissen als ich, würde ich mich freuen, wenn Sie etwas Licht ins Dunkel bringen könnten!
Nun, ich könnte es vielleicht verstehen, wenn Sie mir eine Referenz geben, in der die Äquivalenz von Instantonen und Garben behauptet wird. Was lokal beringt werden muss, ist der Raum, in dem die Garben leben - und es wäre für mich natürlicher, die Garben in der Raumzeit zu haben , da jedes Bündel eine Garbe ergibt, indem es nur Abschnitte nimmt. Es könnte aber sein, dass hier etwas ganz anderes gemeint ist. Ich habe auch Probleme mit der "torsionsfreien" Bedingung, da dies normalerweise für ein integrales Schema mit Zariski-Topologie definiert ist, was die Raumzeit nicht ist.
@ACuriousMind Ich habe viele Informationen hinzugefügt. Vielleicht ist es einfacher für Sie, mir jetzt ein wenig zu helfen, aber ich denke immer noch, dass der lokal beringte Raum, von dem Sie sprechen, der Modulraum der Garben ist.
Ich habe versucht, eine teilweise Antwort zu geben, aber ich bin weit davon entfernt, ein Experte auf diesem Gebiet zu sein. Bei spezifischen Fragen zu algebrogeometrischen Details können Sie auch math.SE/MathOverflow ausprobieren.

Antworten (1)

Okay, ich kann Ihnen nicht vollständig erklären, was vor sich geht, aber ich kann die Objekte, mit denen wir es zu tun haben, präzisieren:

Hier gibt es zwei Leerzeichen:

  1. Der Modulraum M Sch ( R , k ) aus gerahmten torsionsfreien zusammenhängenden Ranggarben R und zweite Chern-Klasse k auf dem projektiven Schema P 2 als komplexer analytischer Raum mit seinem Strukturbündel analytischer Funktionen betrachtet.

  2. Der Modulraum M In ( R , k ) von gerahmten Instanton-Bündeln einer Eichgruppe von Rang R und zweite Chern-Klasse k auf der 4-Sphäre S 4 = R 4 ∪ { ∞ } , Wo ∞ hinzugefügt, um den Begriff der Rahmung zu präzisieren.

Eingerahmt bedeutet im ersten Fall, dass die Garbe an der Linie im Unendlichen lokal frei ist, eingerahmt im zweiten Fall bedeutet, dass die Eichfeldkonfiguration am Punkt im Unendlichen reines Eichfeld ist. Diese beiden Räume sind nicht identisch. Insbesondere, M Sch ist nichtsinguläres while M In ist singulär, und genau dies ist die Motivation, die folgende Äquivalenz zu finden, die anscheinend von Donaldson bewiesen wurde:

Der Modulraum gerahmter Instantons M In ist in Bijektion zur Teilmenge M 0 , Sch Reg ⊂ M Sch von lokal freien Garben .

Heuristisch ist es nicht schwer zu sehen, dass ein Vektorbündel eine Garbe definiert. Ein Bündel gegeben P → X , die entsprechende Garbe ist definiert durch U ↦ Γ ( U , P ) , dh die Garbe, die jeder offenen Menge ihre lokalen Abschnitte einfach zuordnet. Der Beweis der obigen Behauptung ist jedoch weitaus komplizierter: S 4 ist nur die R 4 ≅ C 2 mit einem Punkt im Unendlichen , aber P 2 ist dasselbe mit einer *-Linie im Unendlichen. Sie müssen zeigen, dass jede lokal freie Garbe auf der letzteren wirklich ein Bündel auf der ersteren definiert und dass die Bündel auf der ersteren wirklich eine richtige Garbe auf der letzteren ergeben, die auch gut mit der Garbe der analytischen Struktur zusammenspielt. Schließlich ist ein Hauptbündel kein Vektorbündel, und der Beweis der Behauptung beruht auf einem Beweis, dass das Instanton bündelt S 4 entsprechen umrahmten holomorphen Vektorbündeln auf P 2 .

Angesichts des Satzes von Donaldson sehen wir nun, warum der Übergang von Instantonen zu Garben das Problem der Singularitäten löst - der Raum aller torsionsfreien Garben ist nicht singulär, was den Begriff Instanton / lokal freie Garbe / holomorpher Vektor leicht verallgemeinert Bündel zu einer torsionsfreien Garbe beseitigt das Problem.

Der Bezug zu Hilbert-Schemata ergibt sich dadurch

M Sch ( 1 , k ) ≅ H ich l B k ( C 2 )

Donaldsons Beweis ist da

Donaldson, "Instantons und geometrische Invariantentheorie" , Comm. Mathematik. Phys. 93 (1984)

und stützt sich auf frühere Arbeiten von Atiyah und Ward.

Atiyah und Ward, "Instantons und algebraische Geometrie" , Comm. Mathematik. Phys. 55 (1977)

Die letzte Korrespondenz findet sich beispielsweise in

Nakajima, "Vorlesungen über Hilbert-Schemata von Punkten auf Oberflächen" , AMS

Das ist eine sehr aufschlussreiche Antwort! Wie macht man dies jedoch mit der Tatsache vereinbar, dass Prinzipal- oder Vektorbündel mit Rang 1 eine verschwindende zweite Chern-Klasse haben? Ich meine, wenn Sie sich damit zufrieden geben würden, außerhalb der algebraischen Umgebung zu bleiben, würden Sie sagen, dass Instantons Rang 1 haben k = 0 , aber wenn man das Problem irgendwie in die Welt der Garben einbettet, bekommt man Rang 1 Instantons mit k ≠ 0 . Ist dies nur ein Artefakt des Wunsches, einen Modulraum von etwas zu verdichten?
@StephenPietromonaco Ich fürchte, ich verstehe die Frage nicht - die Lügengruppe auf Rang 1 S U ( 2 ) lässt sicherlich Hauptbündel mit einer zweiten Chern-Klasse ungleich Null zu.
Ach tut mir leid. Ich bezog mich auf U ( 1 ) Hauptbündel, deren zugehörige Vektorbündel Linienbündel sind. Diese, glaube ich, werden keine zweite Chern-Klasse haben k , und doch in die algebraische Geometrie eingebettet, erhalten Sie einen Modulraum wie Hilb k ( C 2 ) für k ≥ 0 . Ich entschuldige mich, wenn ich wegen etwas noch Grundlegenderem verwirrt bin. Aber vorausgesetzt, ich rede keinen Unsinn ... ist dies nur aus Verdichtungsgründen? Ich verstehe in der Tat, wie Rang-1 - Garben eine zweite Chern-Klasse haben können.
@StephenPietromonaco Obwohl ich jetzt sehe, dass weder die Antwort noch die Frage dies irgendwo ausdrücklich angeben, soll die Messgerätegruppe hier eine der klassischen Gruppen sein S U , S P , S Ö , siehe auch den Anfang von Donaldsons Aufsatz. Insbesondere die spezifische ADHM-Konstruktion z S U ( N ) verwendet wird, behaupte ich nichts darüber U ( 1 ) Eichtheorien in dieser Antwort.
Der Modulraum von Garben ist nicht singulär, aber sobald wir die Gieseker-Mayurama-Kompaktifizierung verwenden, treten Singularitäten auf. Andererseits kann der Modulraum von Instantonen glatt sein, es gibt eine Bedingung, an die ich mich im Moment nicht erinnere. Mein Punkt ist, dass man diese Räume für die sinnvollsten Berechnungen verdichten muss. Mein Eindruck war, dass wir, wenn wir die punktartigen Instantons in den Modulraum von Instantons aufnehmen, tatsächlich diese GM-Kompaktifizierung durchführen, um den singulären, aber kompakten Modulraum von Garben zu erhalten.
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