Gravitation als Eichtheorie

Eine Theorie wird normalerweise als „Eichtheorie“ bezeichnet, wenn alle Wechselwirkungen in dieser Theorie eingeführt werden, indem globale Symmetrien zu Eichsymmetrien befördert werden. Beachten Sie, dass eine Eichtheorie eine eichinvariante Theorie ist, aber eine eichinvariante Theorie keine Eichtheorie sein muss (zum Beispiel ist das Standardmodell eichinvariant, aber es ist keine Eichtheorie, da die skalare Selbstinteraktion dies nicht tut). t Vergrößerung der Spursymmetrie des Modells). Die Yang-Mills-Theorie ist ein Beispiel für die Eichtheorie, aber nicht alle Eichtheorien sind vom Typ Yang-Mills. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Eichtheorie in dreierlei Hinsicht, nämlich:

1. Invarianz unter Diffeomorphimen . Diffemorphismus kann als lokale (geeichte) Version von Übersetzungen angesehen werden$\delta x^{\mu}\rightarrow a^{\mu}(x)$. Damit die Theorie diff. invariant, eine kovariante Ableitung$\nabla$müssen partielle Ableitungen ersetzen$\partial$(eine allgemeine, dynamische Metrik$g$Tensor muss Minkowski-Metrik ersetzen$\eta$auch). Hier ist das Feld, das der Yang-Mills-Verbindung am ähnlichsten ist, die Levi-Civita-Verbindung$\Gamma$(Beachten Sie, dass dieses Feld in Palatinis Formulierung unabhängig von der Metrik ist), was sich in einen Tensor plus einen Term umwandelt, der die Ableitung von beinhaltet$a(x)$, ähnlich der Transformation eines nicht-abelschen Körpers.

2. Invarianz unter infinitesimalem diff . Man kann sich trennen$g$in einem festen Hintergrund und einer dynamischen Störung$h$, und die Wirkung eines infinitesimalen diff. auf die Störung stellt sich heraus$\delta h_{\mu\nu}=\partial_{\mu}a_{\nu}+\partial_{\nu}a_{\mu}$, was ebenfalls eine Eichsymmetrie ist. Dies ist die Eichsymmetrie, die mit der Masselosigkeit von Gravitonen verbunden ist (ähnlich wie$SU_c(3)$hängt mit der Masselosigkeit von Gluonen zusammen und$U_{em}(1)$auf die Masse von Photonen). Hier besteht das ähnlichste Feld zu Yang-Mills Verbindung$h$, die sich allerdings ähnlich wie das elektromagnetische Potential umwandelt$h$ist keine Verbindung in irgendeiner Weise, die mir bekannt ist.

3. Invarianz unter lokalen Lorentz-Transformationen. Es stellt sich heraus, dass es zweckmäßig ist, die Tetradenformulierung einzuführen, um Spinoren an das Gravitationsfeld zu koppeln. Bei diesem Ansatz gibt es eine Eichsymmetrie, die mit der Freiheit zusammenhängt, dass man unterschiedliche Basis in verschiedenen Raum-Zeit-Punkten wählen muss. Man muss eine kovariante Ableitung (anders als die erste in dieser Antwort) einführen, die es uns ermöglicht, die Basis zu ändern. Diese Formulierung kommt der Yang-Mills-Theorie am nächsten (na ja, Ashtekar-Variablen sind wahrscheinlich sogar noch näher). Der Hauptunterschied besteht darin, dass es in GR neben einer dynamischen Verbindung (entspricht dem Eichfeld in Yang-Mills) ein Tetradenfeld gibt (aufgrund der Tatsache, dass die Metrik ein dynamisches Feld in der Schwerkraft ist), das kein a hat Gegenstück in Yang-Mühlen. Hier ist das nächstgelegene Feld zu Yang-Mills die zuvor erwähnte Spin-Verbindung,

Gravitation ist keine Yang-Mills-Theorie im engeren Sinne – nun, abgesehen von Äquivalenzen wie AdS/CFT oder Matrix-Theorie, die implizieren, dass eine Quantengravitationstheorie vollständig äquivalent zu einer Eichtheorie ist, die in einem anderen Raum lebt (z. B. in AdS/ CFT, an der Grenze der AdS-Fläche).

Die Schwerkraft ist jedoch eine Eichtheorie im weiteren Sinne, da sie bequem mit der Diffeomorphismus-Symmetriegruppe formuliert wird. Die Diffeomorphismen identifizieren physikalische Konfigurationen, die physikalisch äquivalent sind, genau wie im Fall von Yang-Mills, sodass sie, obwohl sie nicht vom Typ Yang-Mills sind, in Yang-Mills-Theorien genauso behandelt werden müssen wie Yang-Mills-Symmetrien.

Die Gravitation kann als Eichtheorie der Lorentz-Gruppe angesehen werden (die auf den Tangentialraum einwirkt). Darauf wurde in den 50er und 60er Jahren von Kibble und Sciama hingewiesen.

Wie John zuvor sagte, ist es besser in Bezug auf differenzielle Formen zu sehen.

Eine weitere Referenz, die Sie vielleicht interessant finden, sind die Vorlesungsnotizen zur Chern-Simons-Schwerkraft von Jorge Zanelli (verfügbar in arXiv).