Freiheitsgrade des Gravitons versus klassische Freiheitsgrade

Ich habe ein Rätsel, das ich nicht einmal verstehen kann. Ein Graviton wird allgemein in verstanden D Dimensionen als Feld mit einigen unabhängigen Komponenten oder Freiheitsgraden (DOF), aus einem spurlosen symmetrischen Tensor minus Nebenbedingungen erhalten wir:

  1. Ein masseloses Graviton hat D ( D − 3 ) / 2 dof ein D -dimensionale Raumzeit.

  2. Ein massives Graviton hat D ( D − 1 ) / 2 − 1 dof ein D -dimensionale Raumzeit.

Problem: In der klassischen Gravitation, gegeben durch die Allgemeine Relativitätstheorie, haben wir eine Metrik (einen symmetrischen Tensor) und die Einstein-Feldgleichungen (EFE) liefern ihre Dynamik. Die Metrik hat 10 unabhängige Komponenten und EFE stellt 10 Gleichungen bereit. Bianchi-Identitäten reduzieren die Anzahl der unabhängigen Komponenten um 4. Daher haben wir 6 unabhängige Komponenten. Allerdings z D = 4 , wir bekommen

  1. 2 unabhängige Komponenten.

  2. 5 unabhängige Komponenten.

Ist die Diskrepanz zwischen "unabhängigen" Komponenten der Gravitationsfreiheitsgrade (Gravitonkomponenten) einer der Gründe, warum die Allgemeine Relativitätstheorie nicht als Quantentheorie für das Graviton verstanden werden kann?

Natürlich ist ein massives Graviton etwas anderes als GR, aber selbst ein naives Zählen von Graviton dof ist nicht mit GR kompatibel und sollte es, oder? Zumindest vom perturbativen Ansatz. Wo habe ich den Fehler gemacht?

Hilft das? -- en.wikipedia.org/wiki/… . Ich sehe überhaupt keine Quantenmechanik in der Frage. Es wirkt rein klassisch.
Diese Frage (v3) wird zB auch in this und this Phys.SE beantwortet.
@BenCrowell Nun, ich habe sicherlich einige Verwirrung, deshalb habe ich gefragt. GR ist eine klassische Feldtheorie für die Metrik (ohne Torsion). Gravitationsfeld wird mit Hilfe einer Metrik bereitgestellt. Daher interessiert mich die Anzahl der unabhängigen Komponenten des "Gravitons" aufgrund der oben geschriebenen Weinberg-Formeln. Das Zählen unabhängiger dof stimmt jedoch nicht mit dem überein, woran ich glaubte.

Antworten (4)

Was das Zählen von DOFs für GR angeht, glaube ich, dass es geht: Beginnen Sie mit einem symmetrischen Tensor (10 DOF in 4-D). Wirf 4 wegen der Bianchi-Identitäten weg (6 dof links). Werfen Sie wegen der Invarianz unter Raum-Zeit-Diffeomorphismen weitere 4 weg (mit anderen Worten, GR ist unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant, sodass Sie 4 unphysikalische Freiheitsgrade haben). Somit bleiben nur noch zwei Freiheitsgrade übrig.

Zur massiven Gravitation siehe: Theoretical Aspects of Massive Gravity von Kurt Hinterbichler [arxiv 1105.3735] mit einer recht lesbaren Einleitung.

Frage: Waren nicht die Bianchi-Identitäten die 4 Beziehungen aufgrund von Diff. Invarianz selbst auch? Wie auch immer, ich denke, ich verstehe dieses Zeug besser, wenn ich es weiß ... :). Übrigens danke für den Hinweis.
Der 4 Bianchi-Identitäten reduzieren die Anzahl unabhängiger Einstein-Gleichungen auf 6 aus 10 und dies steht im Einklang mit der Reduzierung der Anzahl unabhängiger Freiheitsgrade der Metrik aus 10 Zu 6 aufgrund der Diffeomorphismus-Invarianz der Einstein-Gleichungen. Bianchi-Identitäten und Diffeomorphismus-Invarianz stellen die gleiche Redundanz dar – daher sollten sie einfach verifiziert werden, um die gleiche Anzahl von Freiheitsgraden zu nehmen, sollten nicht hinzugefügt werden. Korrigiere mich, wenn ich falsch verstehe. Ich stütze mein Verständnis auf S. Weinberg, Kapitel 7, Abschnitt 4, S. 161 .

Wie ich mich erinnern kann, beginnt für den Fall der klassischen Elektrodynamik die Dof-Zählung nach der Annahme der Bianchi-Identität, und am Ende kam das gewünschte Ergebnis alle aus der Eichfreiheit. In der Tat ∂ [ μ F v a ] = 0 Wählen Sie nur ein geeignetes Formular für F μ v , Zum Beispiel

F μ v = ∂ μ A v − ∂ v A μ .
Nach dieser Auswahl aus den vier Komponenten von A μ (unser Ausgangspunkt für die Dof-Zählung) müssen wir die Eichfreiheit bei der Wahl des Viererpotentials berücksichtigen, dh
A μ ∼ A μ + ∂ μ Λ .
Zum Beispiel, wenn wir wollen ∂ μ A μ = 0 , müssen wir mit eine Eichtransformation durchführen Λ so dass
◻ Λ = − ∂ μ A μ .
An dieser Stelle bleibt uns noch eine weitere mögliche Eichtransformation (Rest-Eichfreiheit) wie z ∂ μ A μ = 0 immer noch gilt, dh wir müssen eine andere wählen Λ mit
◻ Λ = 0 .
Es ist die Eichfreiheit, die die richtigen Freiheitsgrade für das Photon festlegt
4 − 1 − 1 = 2.
Bei GR ist der Weg derselbe: Einstein-Gleichung, Differential-Bianchi-Gleichung für R μ v a β und die Eichfreiheit (Raum-Zeit-Diffeomorphismen). Auch hier können Sie zwei dieser Transformationen durchführen, und Sie haben, was Sie sagen 10 − 4 − 4 = 2 dof

Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist: „Zum Beispiel, wenn wir wollen ∂ μ A μ = 0 , müssen wir mit eine Eichtransformation durchführen Λ so dass
◻ Λ = − ∂ μ A μ .
" kannst du es erklären ?

Früher habe ich Dofs in Bezug auf die Spinor-Darstellung gezählt. Es gibt zwei Spinor-Darstellungen von SO(3,1) (1/2,0) und (0,1/2), die durch Punkt- und Nicht-Punkt-Indizes gekennzeichnet sind. Vektordarstellung (Spin 1) in Spinor-Indizes ist (1/2,0) X (0,1/2) = (1/2,1/2), was 4 dofs hat. Wenn die Theorie masselos ist, ist die Theorie eichinvariant, es gibt einen Eich dof, der durch die Eichfixierungsbedingung eliminiert werden kann. Ein dof ist zeitähnlich, was nicht physisch ist. Es verbleiben also 4-1-1 = 2 physische DOFs. Für symmetrische Tensoren haben wir (1/2,1/2)X (1/2,1/2) = (1,0)+ (0,1)+ (1,1)+(0,0) Das Irreduzible symmetrische Darstellung ist nur 9-dimensional. Die allgemeine Koordinatentransformation eliminiert 4 dofs (was im Wesentlichen 4 Raum-Zeit-Koordinaten sind). Der Massive Spin 2 hat also 9-4=5 dofs. Die masselose Spin-2-Theorie wird eichinvariant sein, wobei wir 1 dof eliminieren können. Zwei dofs sind zeitartig, die sich nicht ausbreiten. Es bleiben also nur 5-1-2 DOFs übrig. Wir können das Argument auf eine beliebige Dimension erweitern.

Können Sie das im Detail erklären: „Für symmetrische Tensoren gilt (1/2,1/2)X (1/2,1/2) = (1,0)+ (0,1)+ (1,1) +(0,0) Die irreduzible symmetrische Darstellung ist nur 9-dimensional. " ?

Sie können sich diff als bianchi id vorstellen. Die zusätzlichen 4 dof werden durch die Tatsache getötet, dass 4 der 4 des EFE Beschränkungen sind.

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