Minimale vs. nicht minimale Kopplung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ich gebe als Beispiel den Fall eines Skalarfeldes. Wir nehmen die Einstein-Hilbert-Wirkung an:

$$\begin{equation} S_{\text{grav}}=\int d^4x\ \sqrt{|g|}R \end{equation}$$ Nun wollen wir ein Quantenfeld in der Raumzeit betrachten: $$S=S_{\text{grav}}+S_{\text{matter}}+S_{\text{coupling}}$$ In erster Ordnung in der Krümmung, dem einzigen Skalar, der Gravitation und das Quantenfeld koppelt, das wir aus einem Skalarfeld aufbauen können $\phi$und krümmungsbezogene Tensorobjekte, ist $R \phi^2$. Im Allgemeinen wird es Terme höherer Ordnung geben, wenn man höhere Energien betrachtet. Wir nehmen den Standard-Lagrange-Operator für ein Skalarfeld. Die totale Aktion ist jetzt $$\begin{equation} S=\int d^4x \sqrt{|g|}\bigl(R+\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi+(m^2+\xi R)\phi^2\bigr) \end{equation}$$ Wo $\xi$ist die Kopplungskonstante. Minimale Kopplung läuft auf Setzung hinaus $\xi=0$. Wie Sie sich vorstellen können, ist dies der einfachste (und vielleicht natürlichste?) Fall. Eine andere einigermaßen beliebte Wahl scheint zu sein $\xi=\frac{1}{6}$. In diesem Fall sagen wir, dass das Feld konform mit der Gravitation gekoppelt ist, weil die Wirkung nun unter konformen Transformationen der Metrik invariant ist: $$g_{\mu\nu}\rightarrow \Omega^2(x)g_{\mu\nu}$$ Alle möglich $\xi\neq 0$ist ein Fall von nichtminimaler Kopplung. Grundsätzlich bedeutet minimale Kopplung, dass keine zusätzlichen Terme in die Aktion eingeführt werden.