Gravitation in ddd Raumzeitdimensionen

Question

Gravitation in ddd Raumzeitdimensionen

Anonym

Angesichts der folgenden Aktion

S = \frac{1}{16 π G} \int D^{4} X \sqrt{- G} (R + A R^{2} + B R_{μ v} R^{μ v} + C R_{μ v λ σ} R^{μ v λ σ}),

$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x \sqrt {-g}(R+aR^2+bR_{\mu\nu}R^{\mu\nu}+cR_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma}),$ das ist in 4D.

Wie können wir diese Aktion verallgemeinern in $d$ Raumzeit-Dimension? Wobei ich die spezifische Form der Skalarkrümmung, des Ricci-Tensors und des Riemann-Tensors benötige.
Außerdem möchte ich wissen, ob der Proportionalitätsfaktor $\frac{1}{16\pi G}$ Änderungen?

Bearbeitet, um hinzuzufügen: Eine Möglichkeit, mir selbst zu antworten, besteht darin, den Riemann-Tensor in Bezug auf den Weyl-Tensor als zu schreiben

R_{μ v ρ σ} = C_{μ v ρ σ} + \frac{1}{D - 2} (G_{μ ρ} R_{v σ} + R_{μ ρ} G_{v σ} - G_{v ρ} R_{μ σ} - R_{v ρ} G_{μ σ}) - \frac{1}{(D - 1) (D - 2)} R (G_{μ ρ} G_{v σ} - G_{μ σ} G_{v ρ})

$R_{\mu\nu\rho\sigma}=C_{\mu\nu\rho\sigma}+\frac{1}{D-2}(g_{\mu\rho}R_{\nu\sigma}+R_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\nu\rho}R_{\mu\sigma}-R_{\nu\rho}g_{\mu\sigma})-\frac{1}{(D-1)(D-2)}R(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})$ wo man Kontraktion verwenden kann, um abzuleiten

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ Und

R

$R$ . Aber gibt es einen einfacheren Weg?

Jerry Schirmer

Ändern Sie die 4 in ein d. Das Einzige, was für vier Dimensionen spezifisch ist, ist das Maß.

Benutzer67742

Ja, aber dann Wert für Skalarkrümmungen, Ricci-Tensor und Riemann-Tensor in der d-Dimension? auch was wäre die Änderung für

\frac{1}{16 π G}

$\frac{1}{16\pi G}$

Photon

Natürlich müssen Sie mit a arbeiten

d

$d$ -dimensionale Metrik und neu berechnen

R

$R$ ,

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ Und

R_{μ ν λ σ}

$R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ für die

d

$d$ -dimensionale Metrik.

π

$\pi$ ist eine universelle Konstante, ob Sie sich ändern möchten

G

$G$ liegt an Ihnen.

Benutzer67742

Ich denke, jetzt ist die Frage klarer.

Photon

Die Krümmungen können aus der Metrik auf die gleiche Weise wie für berechnet werden

d = 4

$d=4$ weil diese Formeln nicht von der Dimension abhängen. Nur die Metrik unterscheidet sich jetzt.

Andreas

Als Hinweis, was sind die Dimensionen (Einheiten) von: (1) der Aktion [sollte raumzeitdimensionsunabhängig sein], (2) dem Maß, (3) der Krümmung und lastl but definitiv not least in dieser Frage (4 )

G

$G$ ?

JamalS

Die Ausdrücke für die Krümmungen in Bezug auf eine generische Metrik ändern sich nie , wenn Sie die Dimension ändern.

d

$d$ . Sie können jedoch alternative, bequemere äquivalente Ausdrücke zulassen, wie z. B. in the case

d = 2

$d=2$ .

Arthur Suworow

In

4

$4$ Maße

R^{2} - 4 R_{μ ν} R^{μ ν} + R_{α β γ δ} R^{α β γ δ}

$R^2 - 4 R_{\mu \nu} R^{\mu \nu} + R_{\alpha \beta \gamma \delta} R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ bildet die Gauß-Bonnet-Invariante und integriert trivial zu Null. Ihre Aktion in

4

$4$ Die Abmessungen entsprechen denen, mit denen Sie geschrieben haben

c = 0

$c=0$ , während in

d > 4

$d > 4$ , die Dynamik wird anders sein, wenn

c \neq 0

$c \neq 0$ .

Antworten (1)

Gravitation in ddd Raumzeitdimensionen

Ändern Sie die 4 in ein d. Das Einzige, was für vier Dimensionen spezifisch ist, ist das Maß.
Ja, aber dann Wert für Skalarkrümmungen, Ricci-Tensor und Riemann-Tensor in der d-Dimension? auch was wäre die Änderung für $\frac{1}{16\pi G}$
Natürlich müssen Sie mit a arbeiten $d$ -dimensionale Metrik und neu berechnen $R$ , $R_{\mu\nu}$ Und $R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ für die $d$ -dimensionale Metrik. $\pi$ ist eine universelle Konstante, ob Sie sich ändern möchten $G$ liegt an Ihnen.
Die Krümmungen können aus der Metrik auf die gleiche Weise wie für berechnet werden $d=4$ weil diese Formeln nicht von der Dimension abhängen. Nur die Metrik unterscheidet sich jetzt.
Als Hinweis, was sind die Dimensionen (Einheiten) von: (1) der Aktion [sollte raumzeitdimensionsunabhängig sein], (2) dem Maß, (3) der Krümmung und lastl but definitiv not least in dieser Frage (4 ) $G$ ?
Die Ausdrücke für die Krümmungen in Bezug auf eine generische Metrik ändern sich nie , wenn Sie die Dimension ändern. $d$ . Sie können jedoch alternative, bequemere äquivalente Ausdrücke zulassen, wie z. B. in the case $d=2$ .
In $4$ Maße $R^2 - 4 R_{\mu \nu} R^{\mu \nu} + R_{\alpha \beta \gamma \delta} R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ bildet die Gauß-Bonnet-Invariante und integriert trivial zu Null. Ihre Aktion in $4$ Die Abmessungen entsprechen denen, mit denen Sie geschrieben haben $c=0$ , während in $d > 4$ , die Dynamik wird anders sein, wenn $c \neq 0$ .

JamalS · Answer 1

In Bezug auf eine Metrik $g_{ab}$ , der Riemann-Krümmungstensor ist gegeben durch

R_{B C D}^{A} = \partial_{C} Γ_{D B}^{A} - \partial_{D} Γ_{C B}^{A} + Γ_{C e}^{A} Γ_{D B}^{e} - Γ_{D e}^{A} Γ_{C B}^{e}

$R^a_{bcd} = \partial_c \Gamma^a_{db} - \partial_d \Gamma^a_{cb} + \Gamma^a_{c e} \Gamma^e_{d b} - \Gamma^a_{de} \Gamma^e_{c b}$

und sich folglich verändern $d$ ändert die Formel nicht , obwohl sich natürlich die tatsächlichen numerischen Maße der Krümmung ändern können. Trotzdem gibt es Fälle, in denen es zusätzliche, äquivalente Ausdrücke gibt, weil sich die Dinge in bestimmten Dimensionen vereinfachen können. Im Falle $d=2$ , wir haben,

R_{A B C D} = \frac{1}{2} R (G_{A C} G_{B D} - G_{A D} G_{B C})

$R_{abcd} = \frac{1}{2}R \left(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc} \right)$

ein bequemer Ausdruck aufgrund der Symmetrien der Tensoren. Es zeigt das in zwei Dimensionen, die Tatsache, dass $R=0$ reicht aus, um zu implizieren $R_{abcd} = 0$ , dh volle Riemannsche Ebenheit. Bei einer beliebigen Dimension ist dies im Allgemeinen nicht der Fall, $d$ , und ist nicht der Fall in $d=4$ (wo wir normalerweise allgemeine Relativitätstheorie machen).

Daher erfordert Ihr Ausdruck keine allgemeinen Anpassungen $d$ , außer $4 \to d$ . Davon abgesehen, wenn Sie sich für einen Wechsel entscheiden $4$ sagen, $2$ Dimensionen, einige Begriffe können vereinfacht werden, da z $^\dagger$

\frac{1}{4 π} \int_{M} D^{2} X \sqrt{G} R = χ (M)

$\frac{1}{4\pi} \int_M d^2x \, \sqrt{g} \, R = \chi(M)$

ist eine topologische Invariante, die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit. Davon abgesehen sollte man bedenken, dass sich die Dimension ändert $d$ einer Aktion können wichtige phänomenologische und physikalische Implikationen haben, da beispielsweise die Renormierbarkeit davon abhängig ist $d$ .

$\dagger$ Dies ist eine Folge des Chern-Gauß-Bonnet-Theorems , das wiederum aus dem Atiyah-Singer-Index-Theorem folgt , einem allgemeineren Ergebnis. Beachten Sie, es gilt iff $M$ ist kompakt.

Danke @JamalS, ja, wie Sie erwähnt haben, wird die allgemeine Form des Riemann-Tensors durch Ihren ersten Ausdruck angegeben. Was ich frage, ist, was Sie in 2- $d$ aber in n- $d$ . Was wäre die Form der Maßnahme? Was wäre die Form von Chrisoffel Symbolds, um damit zu beginnen und etc ...
@Ilia Alles ist gleich. Das Maß ein $d$ Abmessungen ist nur $d^d x \, \sqrt{|g|}.$
Ok, lass mich das richtig verstehen. Riemann-Tensor ist definiert als $R_{ρ σ μ v} = \frac{1}{2} (\partial_{μ} \partial_{σ} G_{ρ σ} - \partial_{μ} \partial_{ρ} G_{v σ} - \partial_{v} \partial_{σ} G_{ρ μ} + \partial_{v} \partial_{ρ} G_{μ σ})$ $R_{\rho\sigma\mu\nu}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\partial_{\sigma}g_{\rho\sigma}-\partial_{\mu}\partial_{\rho}g_{\nu\sigma}-\partial_{\nu}\partial_{\sigma}g_{\rho\mu}+\partial_{\nu}\partial_{\rho}g_{\mu\sigma})$ Ist diese Definition in der d-Dimension dieselbe? da es zum Beispiel in d = 2 vereinfacht wird.
Das ist genau meine ursprüngliche Frage @JamalS, wie würde es in der D-Dimension aussehen? Was wäre auch die Form des Ricci-Tensors und der Skalarkrümmung in der d-Dimension?
@Ilia Aber ich habe dir in meiner Antwort gesagt, dass sich die Formel in keiner ändert $d$ Maße!

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