Dimensionsreduktion der höherdimensionalen Einstein-Hilbert-Wirkung

Question

Dimensionsreduktion der höherdimensionalen Einstein-Hilbert-Wirkung

Physik
kaluza-klein
Verdichtung
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Raumzeit-Dimensionen

Hakanaou

Ich nehme eine Raumzeit der Form $\mathcal{M}_{d+1}\times \mathbb{S}^n$ , mit $\mathcal{M}_{d+1}$ einige generische nicht-kompakte $(d+1)$ -dimensionale Raumzeit und $\mathbb{S}^n$ ein $n$ -dimensionale Sphäre, sodass ihre Metrik die folgende Form hat:

\begin{matrix} (1) & D S^{2} = {\tilde{G}}_{μ v} (X) D X^{μ} D X^{v} + ρ^{2} (X) D Ω_{(N)}^{2} \equiv G_{A B} D X^{A} D X^{B} . \end{matrix}

$\mathrm{d}s^2=\tilde{g}_{\mu\nu}(x)\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu+\rho^2(x)\mathrm{d}\Omega_{(n)}^2\equiv G_{AB}\mathrm{d}X^A\mathrm{d}X^B. \tag{1}$

Wo $\rho^2(x)$ hängt nur davon ab $x^\mu$ Koordinaten, das heißt, es hängt nicht von den Koordinaten der Kugel ab. Die Einstein-Hilbert-Aktion in $d+1+n$ Abmessungen ist:

\begin{matrix} (2) & S \propto \int D^{D + 1 + N} X \sqrt{- G} (R^{(G)} - 2 Λ) . \end{matrix}

$S\propto \int\mathrm{d}^{d+1+n}x\sqrt{-G}(\mathcal{R}^{(G)}-2\Lambda). \tag{2}$

Mit $\mathcal{R}^{(G)}$ die skalare Krümmung der $G_{AB}$ metrisch und $\Lambda$ die kosmologische Konstante. Ich möchte jetzt die Wirkung auf die Kugel reduzieren $\mathbb{S}^n$ . Ich verstehe, wie man die ersten Schritte macht, dh schreiben, integrieren über die Kugelkoordinaten durch Trennen $\mathrm{d}^{d+1+n}x=\mathrm{d}^{d+1}x\mathrm{d}^n\Omega$ , und vereinfachen Sie auch die Determinante zu $\sqrt{-G}=\sqrt{-\tilde{g}}\rho^n(x)$ , damit ich bekomme:

\begin{matrix} (3) & S \propto Ω_{(N)} \int D^{D + 1} X \sqrt{- \tilde{G}} ρ^{2} (X) (R^{(G)} - 2 Λ) . \end{matrix}

$S\propto \Omega_{(n)}\int\mathrm{d}^{d+1}x\,\sqrt{-\tilde{g}}\rho^2(x)\left(\mathcal{R}^{(G)}-2\Lambda\right). \tag{3}$

Aber ich sehe nicht, wie ich das weiter vereinfachen könnte. Insbesondere denke ich, dass es einen cleveren Weg geben sollte, um zu reduzieren $\mathcal{R}^{(G)}$ Zu $\mathcal{R}^{\tilde{g}}$ plus einige Terme proportional zu $(\partial\rho)^2$ Und $\rho$ , aber ich sehe nicht, wie ich das richtig machen soll, und ohne alle Berechnungen für die Christoffel-Symbole, den Riemann-Tensor, den Ricci-Tensor und die skalare Krümmung von Grund auf neu zu machen.

Kann mir bitte jemand helfen? Ich habe einige Ableitungen für die eindimensionale Reduktion auf einem Kreis gefunden, aber normalerweise wird es auf einem Skalarfeld durchgeführt $\phi$ um zu zeigen, dass ein massiver Turm von Zuständen entsteht, und nicht über die Einstein-Hilbert-Aktion selbst - und ich habe fast nichts für den Kugelfall gefunden.

BEARBEITEN: Nach einigen weiteren Recherchen habe ich ein detaillierteres Papier gefunden und festgestellt, dass ich den Abschnitt über die Dimensionsreduktion von gelesen habe $\mathcal{N}=4$ Supergravitations-Lagrange von D = 7 bis D = 11 (um S. 59 des Artikels), dass die Leute immer eine KK-Reduktion für einen sehr allgemeinen Ansatz von Metriken mit nicht diagonalen Termen durchgeführt haben, die zu den Eichpotentialen in niedrigeren Dimensionen führen. Aber in meinem Fall habe ich wirklich eine blockdiagonale Metrik, die nur etwas Dilaton geben sollte $\varphi$ In $d+1$ Dimensionen, auf die ich mich beziehe $\rho$ über $\rho(x)=e^{\varphi(x)}$ . Aus diesem Grund habe ich mich entschieden, die Berechnungen auf die harte Tour durchzuführen, dh durch explizites Berechnen der Christoffel-Symbole, des Riemann-Tensors und der Ricci-Tensorkomponenten, um die Komponenten explizit zu erhalten $\rho$ Abhängigkeit, und dann alles zusammengezogen. Die Aktion, die ich in diesem Fall bekomme, ist dann:

\begin{matrix} (4) & S \propto Ω_{(N)} \int D^{D + 1} X \sqrt{- \tilde{G}} [ρ^{N} R^{(\tilde{G})} + N (N - 1) ρ^{N - 2} (\partial ρ)^{2} + N (N - 1) ρ^{N - 2} - 2 ρ^{N} Λ] \end{matrix}

$S\propto\Omega_{(n)}\int\mathrm{d}^{d+1}x\sqrt{-\tilde{g}}\left[\rho^n\mathcal{R}^{(\tilde{g})}+n(n-1)\rho^{n-2}(\partial\rho)^2+n(n-1)\rho^{n-2}-2\rho^n\Lambda \right] \tag{4}$

Wo $(\partial\rho)^2\equiv\tilde{g}^{\mu\nu}\partial_\mu\rho\partial_\nu\rho=G^{MN}\partial_M\rho\partial_B\rho$ seit $\rho$ hängt nur von den Koordinaten ab $\mathcal{M}_{d+1}$ .

Die Aktion befindet sich im String-Frame. Um also zum üblichen Einstein-Frame zurückzukehren, führe ich eine Weyl-Neuskalierung durch

\begin{matrix} (5) & {\tilde{G}}_{μ v} \to G_{μ v} = e^{2 ω (X)} {\tilde{G}}_{μ v} mit ω (X) := \frac{N}{D - 1} φ (X) \end{matrix}

$\tilde{g}_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}=e^{2\omega(x)}\tilde{g}_{\mu\nu} \text{ with } \omega(x):=\frac{n}{d-1}\varphi(x) \tag{5}$

Um endlich zu bekommen:

\begin{matrix} (6) & S \propto \frac{2 π^{\frac{N + 1}{2}}}{Γ (\frac{N + 1}{2})} \int D^{D + 1} X \sqrt{- G} [R^{(G)} + (\frac{D N^{2}}{D - 1} + N (N - 1)) (\bar{\partial} φ)^{2} + (N (N - 1) e^{- 2 φ} - 2 Λ) e^{- \frac{2 N}{D - 1} φ}] \end{matrix}

$S\propto \frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}\int\mathrm{d}^{d+1}x\sqrt{-g}\left[\mathcal{R}^{(g)}+\left(\frac{dn^2}{d-1}+n(n-1)\right)(\bar{\partial}\varphi)^2+\left(n(n-1)e^{-2\varphi}-2\Lambda\right)e^{-\frac{2n}{d-1}\varphi}\right] \tag{6}$

Womit bezeichne ich $\bar{\partial}^\mu=e^{\frac{2n}{d-1}\varphi}\partial^\mu$ ein kontravarianter Vektor mit einem Index, der mit der neu skalierten Metrik angehoben wurde $g_{\mu\nu}$ . Das scheint genau das zu sein, wonach wir gesucht haben, da wir einen kinetischen Begriff dafür erhalten $\varphi$ mit $(\bar{\partial}\varphi)^2$ und ein exponentielles Potential $V(\varphi)$ :

\begin{matrix} (7) & v (φ) := (N (N - 1) e^{- 2 φ} - 2 Λ) e^{- \frac{2 N}{D - 1} φ} \end{matrix}

$V(\varphi):=\left(n(n-1)e^{-2\varphi}-2\Lambda\right)e^{-\frac{2n}{d-1}\varphi} \tag{7}$

Ich bin mir nicht 100% sicher, ob dies wirklich die richtigen Koeffizienten sind, und ich denke, es kann einige Feinheiten mit dem kinetischen Begriff geben, um die kanonische Normalisierung zu erhalten. Hat jemand diese Berechnung bereits durchgeführt, oder hat vielleicht jetzt, da das Problem klarer identifiziert ist, jemand einen Artikel gesehen, in dem diese Berechnung zur doppelten Überprüfung durchgeführt wurde? Ansonsten habe ich wohl meistens meine Antwort bekommen.

Cham

Interessante Frage. Ich möchte auch die Berechnungsdetails sehen. Ich erwarte, dass eine Art Yang-Mills-Feld-Lagrangian davon getrennt wird

R^{(G)}

$\mathcal{R}^{(G)}$ . Außerdem glaube ich nicht, dass man das schon integrieren könnte

n

$n$ Winkelvariablen und extrahieren Sie diese

Ω_{(n)}

$\Omega_{(n)}$ in deiner letzten Gleichung. Bitte fügen Sie jeder Ihrer Gleichungen ein Tag hinzu, indem Sie den Befehl \tag{#} verwenden.

Hakanaou

Theoretisch weiß ich, dass ich so etwas wie d + 1 dimensionale Skalarkrümmung plus einen kinetischen und potenziellen Begriff für finden sollte

ρ

$\rho$ , die dann nach einiger Weyl-Neuskalierung die Rolle der Dilatation spielen würde - aber das ist nur die Idee, ich sehe nicht, wie ich das richtig machen soll. Was die Winkelkoordinaten betrifft, so hängt in der Aktion nichts davon ab, also könnte ich sie theoretisch herausintegrieren. Vielen Dank für den Bearbeitungsvorschlag, er ist korrigiert!

Cham

Woher wissen Sie, dass der Skalar

R^{(G)}

$\mathcal{R}^{(G)}$ hängt nicht davon ab

n

$n$ Winkelkoordinaten? Die Metrik

G

$G$ hängt von ihnen ab (mehrere

\sin ϑ \dots

$\sin{\vartheta} \ldots$ ).

Hakanaou

Ja, ich verstehe deinen Punkt. Ich nahm an, Sie könnten eine Art Variablenänderung vornehmen, um die Kugel in euklidischen Koordinaten zu erhalten, aber das könnte den Ausdruck von ändern

R^{(G)}

$\mathcal{R}^{(G)}$ auch, also ist es vielleicht nicht so einfach.

Kosm

können Sie nicht den allgemeinen KK-Ansatz nehmen und Vektorfelder auf Null setzen?

Antworten (1)

Dimensionsreduktion der höherdimensionalen Einstein-Hilbert-Wirkung

Interessante Frage. Ich möchte auch die Berechnungsdetails sehen. Ich erwarte, dass eine Art Yang-Mills-Feld-Lagrangian davon getrennt wird $\mathcal{R}^{(G)}$ . Außerdem glaube ich nicht, dass man das schon integrieren könnte $n$ Winkelvariablen und extrahieren Sie diese $\Omega_{(n)}$ in deiner letzten Gleichung. Bitte fügen Sie jeder Ihrer Gleichungen ein Tag hinzu, indem Sie den Befehl \tag{#} verwenden.
Theoretisch weiß ich, dass ich so etwas wie d + 1 dimensionale Skalarkrümmung plus einen kinetischen und potenziellen Begriff für finden sollte $\rho$ , die dann nach einiger Weyl-Neuskalierung die Rolle der Dilatation spielen würde - aber das ist nur die Idee, ich sehe nicht, wie ich das richtig machen soll. Was die Winkelkoordinaten betrifft, so hängt in der Aktion nichts davon ab, also könnte ich sie theoretisch herausintegrieren. Vielen Dank für den Bearbeitungsvorschlag, er ist korrigiert!
Woher wissen Sie, dass der Skalar $\mathcal{R}^{(G)}$ hängt nicht davon ab $n$ Winkelkoordinaten? Die Metrik $G$ hängt von ihnen ab (mehrere $\sin{\vartheta} \ldots$ ).
Ja, ich verstehe deinen Punkt. Ich nahm an, Sie könnten eine Art Variablenänderung vornehmen, um die Kugel in euklidischen Koordinaten zu erhalten, aber das könnte den Ausdruck von ändern $\mathcal{R}^{(G)}$ auch, also ist es vielleicht nicht so einfach.
können Sie nicht den allgemeinen KK-Ansatz nehmen und Vektorfelder auf Null setzen?

Dualität · Answer 1

Dies ist eine sehr interessante Frage, und obwohl Ihre Antwort größtenteils richtig ist, gibt es neben einer fehlenden konzeptionellen Vereinfachung einige Fehler. Ich werde von Gl $.~(2)$ . Wir beginnen mit der Aktion für das Produkt Raumzeit $\mathcal{M}_m = \mathcal{M}_{d+1}\times \tilde{\mathbb{S}}_n$ wo die Norm $n$ -Sphäre wird durch eine glatte Funktion verformt $\rho(x)$ das hängt nur von der nicht-kompakten ab $d+1$ Richtungen. Die Aktion ist in diesem Fall

\begin{matrix} (2) & S \propto \int D^{D + 1 + N} X \sqrt{- G} (R^{(G)} - 2 Λ) . \end{matrix}

$S\propto \int\mathrm{d}^{d+1+n}x\,\sqrt{-G}\left(\mathcal{R}^{(G)}-2\Lambda\right). \tag{2}$

wobei ich die Winkelabhängigkeit noch nicht heraus integriert habe.

Wir können die skalare Krümmung zerlegen als $\mathcal{R}^{(G)} = G^{MN}\mathcal{R}_{MN} = G^{\mu\nu}\mathcal{R}_{\mu\nu} + G^{ij}\mathcal{R}_{ij}=\mathcal{R}^{(\tilde{g})}+\mathcal{R}^{(\tilde{\mathbb{S}}_n)}$ aufgrund der Tatsache, dass die Metrik blockdiagonal ist. Um Chams Frage zu beantworten, da die Isometriegruppe der Metrik eine Untergruppe enthält, die unter sphärischen Transformationen invariant ist, haben wir Tötungsvektoren entlang dieser sphärischen Richtungen. Mit anderen Worten: „Die intrinsische Krümmung entlang der $n$ -Sphäre ist überall gleich", so dass es keine besondere Abhängigkeit von den Winkelvariablen geben kann. Da nun die Lagrange-Funktion unabhängig von den sphärischen Richtungen ist, rechtfertigt dies, die Aktion auszudrücken und den Tippfehler zu korrigieren $\rho$ , als

\begin{matrix} (3) & S \propto Ω_{(N)} \int D^{D + 1} X \sqrt{- \tilde{G}} ρ^{N} (X) (R^{(G)} - 2 Λ) . \end{matrix}

$S\propto \Omega_{(n)}\int\mathrm{d}^{d+1}x\,\sqrt{-\tilde{g}}\rho^n(x)\left(\mathcal{R}^{(G)}-2\Lambda\right). \tag{3}$

Um die konzeptionelle Vereinfachung zu veranschaulichen, sehen wir uns an, was mit der skalaren Krümmung entlang der sphärischen Richtungen passiert. Nehmen wir für den Moment an, dass Sie einen Standard in Betracht ziehen $n$ -Sphäre, wobei das relevante metrische Element ist $\text{d}s^2_\Omega = r^2\text{d}\Omega_{(2)}^2$ , dann ist die skalare Krümmung genau bekannt:

R^{(S_{N})} = \frac{N (N - 1)}{R^{2}}

$\mathcal{R}^{(\mathbb{S}_n)} = \frac{n(n-1)}{r^2}$

Für eine deformierte Kugel $\text{d}s^2_\Omega = \rho(x)^2\text{d}\Omega_{(n)}^2$ , besteht die konzeptionelle Vereinfachung darin, dass die Krümmung gleich sein muss, da die sphärischen Metriken bis zu einem Laplace-Term konform äquivalent sind. Ich finde folgenden Ausdruck

\begin{aligned} (3.1) & R^{({\tilde{S}}_{N})} & = \frac{N (N - 1)}{ρ^{2}} - \frac{N (N - 1)}{P - (D + 1)} (\frac{1}{\sqrt{- G}} \partial_{M} [\sqrt{- G} G^{M N} \partial_{N} (Protokoll (ρ))]) \\ (3.2) & = \frac{N (N - 1)}{ρ^{2}} - β_{N} \nabla_{M} X^{M} \end{aligned}

$\begin{align}\mathcal{R}^{(\tilde{\mathbb{S}}_n)} &= \frac{n(n-1)}{\rho^2}-\frac{n(n-1)}{p-(d+1)}\left(\frac{1}{\sqrt{-G}}\partial_M\left[\sqrt{-G}\,{G}^{MN}\partial_N(\log(\rho))\right]\right)\tag{3.1}\\&=\frac{n(n-1)}{\rho^2}-{\beta_{n}}\nabla_M X^M\tag{3.2}\end{align}$

Wo $p=n+d$ ist die Gesamtzahl der räumlichen Dimensionen. Die Aktion wird dann

\begin{aligned} S \propto Ω_{(N)} [\int_{M_{D + 1}} D^{D + 1} X \sqrt{- \tilde{G}} ρ^{N} (R^{(\tilde{G})} + \frac{N (N - 1)}{ρ^{2}} - 2 Λ) - β_{N} \int_{\partial M_{D + 1}} (\dots)] \end{aligned}

$\begin{align}S\propto\Omega_{(n)}\left[\int_{\mathcal{M}_{d+1}}\text{d}^{d+1}x\sqrt{-\tilde{g}}\rho^{n}\left(\mathcal{R}^{(\tilde{g})}+\frac{n(n-1)}{\rho^2}-2\Lambda\right)-\beta_n\int_{\partial\mathcal{M}_{d+1}}(\cdots)\right]\end{align}$

Je nach Abfallverhalten von $\rho$ (zusammen mit der Tatsache, dass das Aktionsintegral die Dynamik in der Masse berücksichtigt) kann das Grenzstück abgezogen werden, wobei ein endlicher Beitrag zurückbleibt. Nach der gleichen Weyl-Neuskalierung

\begin{matrix} (3.3) & S \propto Ω_{(N)} \int_{M_{D + 1}} D^{D + 1} X \sqrt{- G} [R^{(G)} + (\frac{D N^{2}}{D - 1}) (\bar{\partial} φ)^{2} + (N (N - 1) e^{- 2 φ} - 2 Λ) e^{- \frac{2 N}{D - 1} φ}] \end{matrix}

$S\propto \Omega_{(n)}\int_{\mathcal{M}_{d+1}}\mathrm{d}^{d+1}x\sqrt{-g}\left[\mathcal{R}^{(g)}+\left(\frac{dn^2}{d-1}\right)(\bar{\partial}\varphi)^2+\left(n(n-1)e^{-2\varphi}-2\Lambda\right)e^{-\frac{2n}{d-1}\varphi}\right] \tag{3.3}$

Wo $d>1$ . Dies hat sowohl die Kinematik des Dilatons als auch einen potenziellen Begriff, wie Sie zuvor angemerkt haben.

Eine Randbemerkung

Für $d=1$ , die Weyl-Neuskalierung bricht zusammen, aber es könnte interessant sein, eine Kompaktifizierung von in Betracht zu ziehen $n$ -Sphäre zu a $1+1$ Theorie, in der die reine Schwerkraft bereits konform ist, und sehen Sie, welche Geometrien zulässig sind, wenn Materie auf den Hintergrund zurückreagiert. Wieder eine tolle Frage!

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Hakanaou

Cham

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Cham

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Kosm

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