U(1)U(1)U(1) 5-dimensionale topologische Kaluza-Klein-Defekte

Es ist bekannt, dass die fünfdimensionale Kaluza-Klein-Theorie vorhersagt, dass das elektromagnetische Feld als eine gekräuselte zusätzliche Dimension über der vierdimensionalen Raumzeit beschrieben werden kann. Das heißt, Sie brauchen nur die Allgemeine Relativitätstheorie und eine zusätzliche gewellte kreisförmige Dimension, um ein masseloses Vektorfeld zu erhalten, das zur Beschreibung des Elektromagnetismus passt

Zum Beispiel, wenn wir die lokale KK-Raumzeit als Faser beschreiben können U ( 1 ) × M 4 , und wenn wir uns das bildlich vorstellen M 4 als Schlauchlänge, dann die U ( 1 ) Faser ist wie die Schlauchdicke

Was mich interessiert, ist nach dieser Theorie, was das erwartete Verhalten einfacher Defekte in der Topologie wäre.

Ein Mangel, den ich besonders berücksichtigen möchte, ist das Bild des Schlauchs, aber das Verbinden eines neuen Schlauchbeins mit einem vorhandenen Schlauch, wodurch im Grunde ein Schlauch mit 3 Beinen (oder einer 3-Bein-Hose, wenn Sie es vorziehen) entsteht. In diesem Fall liegt die Faser oben auf M 4 wäre U ( 1 ) nur in der Region, die weit vom Defekt entfernt ist. Eine andere Möglichkeit, dies darzustellen, ist die Vorstellung eines T und unseres M 4 Universum ist der obere Arm des T.

Wie würde ein solcher Defekt auf unserer Seite des Universums aussehen? Wie würde das elektromagnetische Feld in der Nähe eines solchen Defekts aussehen, der das Einfache erheblich verändert? U ( 1 ) Topologie?

Nur um wählerisch zu sein: Um sicherzustellen, dass Sie nur Elektromagnetismus und Gravitation haben, muss der Dilaton ebenfalls auf eine Konstante eingestellt werden.
Kannst du das so schreiben X × M 4 , Wo X ist etwas eindimensional? Ich bin mir nicht sicher, warum Sie diesen Schlauch mit drei Beinen (übrigens normalerweise als Hose oder die dreilochige Kugel im 2D-Fall bezeichnet) einen "Defekt des U ( 1 ) topology" , andernfalls. Könnten Sie das näher erläutern?
@CuriousMind Ok, das meinte ich X Vielfältig ist U ( 1 ) weit vom Defekt entfernt, so dass Sie den Elektromagnetismus im asymptotischen Bereich wiedererlangen. Einverstanden, dass die dreibeinige Hose eine bessere bildliche Beschreibung ist, die mit anderen Lehrbüchern über Kobordismus und dergleichen übereinstimmt.
@ JamalS, stimmt ... Obwohl sich das Dilaton, wenn ich mich erinnere, wie ein neutrales Skalarfeld verhält? oder koppelt es an das elektromagnetische Feld?
@diffeomorphism Es koppelt an das elektromagnetische Feld. Sie können dies sehen, indem Sie die Berechnung mit dem Ansatz selbst durchgehen. Ich habe die Berechnung auch hier durchgeführt: physical.stackexchange.com/q/64735

Antworten (1)

So wie ich es verstehe, impliziert Ihre Frage, dass sich der "Schlauch" in einer bestimmten Region befindet M 4 , dieses Bild ist erlaubt, wenn Sie Ihre berücksichtigen X × M 4 Eingebettet in den 6-dimensionalen Raum, macht es jedoch keinen Sinn zu sagen, dass die Topologie einer Schleife (1 kompakte Dimension) von einer Schleife in zwei umgewandelt werden kann ...

Sie können lokale Änderungen im Radius dieser Schleife haben, dies ist auf eine nicht konstante Dehnung zurückzuführen (Fluktuationen davon werden als "Radion" bezeichnet). Wenn diese Schleife nicht mehr kreisförmig ist, verlieren Sie Ihre U ( 1 ) Isometrie und damit Ihr masseloses Eichfeld.

Lassen Sie uns jedoch diese Möglichkeit in Betracht ziehen, dass es eine gewisse Einbettung in den 6-dimensionalen Raum gibt und der "Schlauch" sich aufspaltet. Dies würde physikalisch bedeuten, dass sich das 4-dimensionale Universum in Regionen der (vorgeteilten) Raumzeit, in denen diese Spaltung stattfindet, in zwei Teile aufteilt. In der Nähe dieser Teilung kann die kompakte zusätzliche Dimension nicht mehr kreisförmig sein, sodass ich vermuten würde, dass die U ( 1 ) Das Eichfeld nimmt eine Masse an, um es bald darauf wieder in das neue Universum zu verlieren, und die Zirkularität wird zurückgesetzt.

Hinweis: Die Diskussion mit ACuriousMind hat dazu beigetragen, die Antwort zu verfeinern, siehe Kommentare.

Die disjunkte Vereinigung zweier Kreise ist immer noch eine eindimensionale Mannigfaltigkeit - sie ist nur getrennt, daher ist "es macht keinen Sinn zu sagen, dass die Topologie einer Schleife (1 kompakte Dimension) sich von einer Schleife in zwei verwandeln kann" eine Übertreibung - Ja, die Topologie ist anders, aber die disjunkte Vereinigung zweier Kreise ist immer noch kompakt und eindimensional. Oder gibt es etwas, das den 5D-Raum dazu zwingt, global zu sein? X × M 4 mit dem gleichen X ?
Meine war zwar keine strenge mathematische Aussage. Aber was ich meinte war, wenn Sie zwei disjunkte Schleifen hätten und Sie bitten würden, mir Ihre 5-dimensionalen Koordinaten zu geben, wie würden Sie das machen? entweder muss man zwei Nummern angeben, eine für jede Schleife, dann geht es tatsächlich X × X × M 4 . Oder Sie müssen sagen, dass Sie zwei Kopien haben M 4 Universum, wo ich in jeder Kopie eine der beiden zusätzlichen Koordinaten angeben kann, um sie also gleichzeitig anzugeben, muss ich sozusagen über zwei Punkte in zwei parallelen Universen sprechen
Nein, zwei disjunkte Kreise sind immer noch eine eindimensionale Mannigfaltigkeit, die durch genau eine Koordinate beschrieben wird. Nimm die Koordinate θ ∈ [ 0 , 4 π ) und sagen, dass die Werte in [ 0 , 2 π ) einen Kreis beschreiben (als offensichtliche Winkelkoordinate θ ) und die Werte in [ 2 π , 4 π ) beschreibe den anderen Kreis (als Winkel θ − 2 π , natürlich). Dies ist eine vollkommen gute Koordinate. Disjunkte Vereinigung erhöht im Gegensatz zu Produkten die Dimension nicht. (Beachten Sie, dass S 1 × S 1 ist nicht die Vereinigung zweier Kreise S 1 ∪ S 1 , aber der Torus T 2 , was wirklich zweidimensional ist)
Nun, dann ist in diesem Fall Fall zwei realisiert. Denn was ist dann der physikalische Unterschied zwischen einem Punkt ( T 1 , X → 1 , θ 1 ) Und ( T 1 , X → 1 , θ 1 + 2 π ) ? Wenn es keinen Unterschied gibt, ist dieses Bild überflüssig. Wenn es sich (wie es sein sollte) um zwei verschiedene Punkte handelt, dann haben wir zwei parallele Universen
Um körperlich transparenter zu sein. Wenn alle Streuamplituden invariant sind unter θ → θ + 2 π dann sind diese beiden Universen überflüssig. Wenn einige von ihnen dies nicht sind, woher wissen Sie dann angesichts Ihrer 4-D-Koordinaten, welche Amplitude realisiert wird? Sie müssen wissen, ob Sie im Universum sind θ ∈ [ 0 , 2 π ] oder hinein θ ∈ [ 2 π , 4 π ] ... Dies setzt natürlich gleiche Radien voraus. Wenn die Radien nicht gleich sind, wird jedes Universum eindeutig durch seine Ausdehnung VEV angegeben
Ich denke, Sie sollten das (die "physische Transparenz") zu Ihrer Antwort hinzufügen. Ich hatte gehofft, Sie hätten tatsächlich ein Argument, warum wir eine solche Struktur nicht von 5D Kaluza-Klein bekommen können, aber selbst ohne das ist es eine Antwort.
"Es macht keinen Sinn zu sagen, dass die Topologie einer Schleife (1 kompakte Dimension) von einer Schleife in zwei verwandeln kann". Der Schlauch (oder das Hosenbein) wird zu einem T-förmigen Schlauch (oder einer T-förmigen Hose). Das obere _ Segment soll unser Full sein M 4 , und die | des T soll eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit sein, die sich mit einer kompakten Region des T verbindet M 4 . Ich versuche nur, einige grobe Vorhersagen darüber zu erhalten, wie sich der Elektromagnetismus in der Nähe eines solchen Defekts verzerren würde
Eines ist sicher, dass ein glatter Übergang entlang dieser Verbindungsstelle definitiv die kreisförmige Isometrie zerstören würde, die ein masseloses Eichboson ergeben würde ... vielleicht hätte es eine effektive positionsabhängige Masse?
Das heißt, es wird nennenswerte Wechselwirkungen zwischen Photonen und Radionen geben
Wenn es solche Objekte im Universum gäbe, wie finde ich sie?
Wie würde sich das elektromagnetische Feld in der Nähe des Defekts verhalten?
Photonen wären massiv => kurze Reichweite und v<c.. Sie würden auch auf unkonventionelle Weise an Gravitonen koppeln ... Mit anderen Worten, sie ähneln Photonen in keiner Weise mehr
U(1)U(1)U(1) 5-dimensionale topologische Kaluza-Klein-Defekte
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