In der großen DDD-Grenze der Allgemeinen Relativitätstheorie ist nur Vakuum möglich?

Die Einstein-Gleichungen mit einer kosmologischen Konstante Λ gelesen als:

R μ v − 1 2 R G μ v + Λ G μ v = 8 π T μ v

Deshalb,

R − D 2 R + D Λ = 8 π T

( D ist die Anzahl der Raumzeitdimensionen.)

Oder,

Λ = 8 π T D + ( D − 2 2 D ) R

Deshalb,

Λ = ( D − 2 2 D ) R 0 Wo R 0 := R v A C u u M

Aus den Feldgleichungen R μ v − 1 2 R G μ v + ( D − 2 2 D ) R 0 G μ v = 8 π T μ v

Deshalb, 8 π T = D − 2 2 ( R 0 − R )

Jetzt im Großen D Grenze, der einzige Weg T kann vor dem Abweichen bewahrt werden R Ansatz R 0 . Dies bedeutet, dass im Großen und Ganzen D Grenze, R = R 0 überall, dh die großen D Grenze der Allgemeinen Relativitätstheorie lässt nur Vakuumlösungen zu.

Ich poste diese Frage, um zu bestätigen, ob die Schlussfolgerung, zu der ich gelangt bin, angemessen ist, da ich anderswo auf keine solche Behauptung gestoßen bin. Wenn dies angemessen ist, bezeichnet es dann etwas Interessantes oder Tiefgründigeres? (Mit anderen Worten, kann es mit einigen ziemlich bekannten Tatsachen oder Prinzipien in Verbindung gebracht werden?)

PS: Mir ist gerade aufgefallen, dass auch im 2-dimensionalen Fall (1+1-dimensionaler Fall) nur die Vakuumlösungen existieren können und die kosmologische Konstante ebenfalls verschwinden muss. (Man kann es trivial verifizieren, indem man setzt D = 2 in der Formel für Λ Und T über.)

Sie geben also die skalare Krümmung an ≈ R 0 aber dann eine Behauptung über die R μ v ?
Also, T Da es sich um eine Spur handelt, ist es nicht unerwartet, dass sie skaliert werden kann ∼ D , und es ist also nichts Falsches daran, dass es divergiert. Mit anderen Worten, wir erwarten T auseinandergehen in der D → ∞ Grenze, linear ein D .
@AHusain Ich weiß, dass man nicht allgemein behaupten kann, erhalten zu haben R μ v nur durch Wissen R . Aber hier, da R = R v A C u u M , ich denke, das kann man mit Sicherheit sagen R μ v = ( R μ v ) v A C u u M . Im Grenzfall von Λ = 0 , kann man das ziemlich deutlich als sehen R v A C u u M = 0 In diesem Fall.
@AccidentalFourierTransform Aber führt das nicht zu Problemen? Im statischen Fall würde dies beispielsweise bedeuten, dass auch die Energiedichte divergiert.
@Electrodynamist gut, die Grenze D → ∞ ist höchst künstlich und unkörperlich. Um ehrlich zu sein, erwarte ich nicht, dass es sich um eine wohlerzogene und intuitive Grenze handelt. Das Energieschicksal kann divergieren oder auch nicht. Ich würde eine divergierende Energiedichte nicht als Problem ansehen, schließlich nehmen Sie eine unphysikalische Grenze.
@AccidentalFourierTransform unendliche Dimensionen ist in vielen Fällen ebenfalls nützlich. Die Genauigkeit der mittleren Feldtheorie kann seltsam gut funktionieren.
Nein, ich denke, das ist reine Vermutung. Erstens bedeutet T = 0 beides nicht T μ v = 0. In der Tat T = ρ − 3 P , also ist es entweder Vakuum oder verletzt die positive Energiebedingung, jedoch nicht so schlimm wie dunkle Energie. Sie müssten beweisen, dass T = 0 ein Vakuum impliziert, was Sie nicht haben. Sie haben viele Schlussfolgerungen gezogen und keine davon bewiesen. Ich denke, dass D ---> unendlich zu implizieren scheint, dass die Energie und andere Entitäten, wenn sie nicht vakuumiert werden, ebenfalls ins Unendliche gehen.
Randnotiz. Möglicherweise interessieren Sie sich für arxiv.org/abs/1302.6382 und die folgenden Artikel von Emparan und Co, die sich schwarzen Objekten in der großen D-Grenze widmen.

Antworten (1)

Ja, höhere Dimensionen ändern, wie Materie Gravitation erzeugt; ein besonderes Beispiel ist das Peeling-Theorem (siehe Godazgar, Real Peeling of the Weyl tensor and gravitational Radiation in Higher Dimensions und Referenzen darin) – die Gravitation fällt mit dem Wachsen schneller ab D . Aber ein spezifisches physikalisches Modell ist erforderlich, um diese mathematischen Aussagen in eine echte physikalische Schlussfolgerung umzuwandeln.

Schlussfolgerungen wie „nur Vakuumlösungen sind in der erlaubt D → ∞ Grenze" sind ohne den richtigen physikalischen Kontext bedeutungslos, da Nicht-Vakuum-Lösungen sicherlich für jedes Mitglied der begrenzenden Sequenz zulässig sind.

Ich kann mir nur vorstellen, dass Ihre Aussage etwa folgendes bedeutet: "Wenn wir diese und diese festen Materiedichten (Teilchenzahlen, Temperaturen, ...) und diese und diese Skalierungen der Fundamentalkonstanten haben (denken Sie daran, dass beide Geschwindigkeiten von Licht und Newtons Gravitationskonstante phänomenologisch durch reale physikalische Phänomene festgelegte Konstanten sind und in Ihren geometrisierten Einheiten verborgen bleiben), werden die Lösungen als Vakuumlösungen konvergieren D → ∞ ."

Aber auch so kann man solche Aussagen ohne ein bestimmtes Materiemodell nicht funktionieren lassen. Beispielsweise ist der Spannungsenergietensor von masselosen Teilchen wie Photonen spurlos. Dh es gibt Raumzeiten mit R = R 0 die sicherlich keine Vakuum sind, und das ganze Argument bricht zusammen.

Also, ich werde nur schnell diskutieren, was folgt R − R 0 für ein bestimmtes Modell die perfekte Flüssigkeit.

Betrachten Sie das relativistische perfekte Fluid, für das die Stressenergie Fluid im mitbewegten Rahmen steht

( ε 0 ⋯ 0 0 P ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ P )
Die Spur ist Frame-invariant, also sehen wir sofort T = ε − ( D − 1 ) P . Dh zumindest ein Teil des Tensors skaliert mit D , also scheint die Spur des Spannungs-Energie-Tensors im Großen nicht vernachlässigbar zu werden D Grenze.

Lassen Sie uns Energie/Temperatur abschätzen, indem wir annehmen, dass wir es mit einem idealen Gas zu tun haben. (Ich bezeichne die Temperatur mit T damit es nicht mit Spuren von Spannungsenergie verwechselt wird.) Die nicht-relativistische Näherung für das ideale Gas gilt solange D k B T ≪ M ( M ist die Masse der Teilchen des Gases), sondern unsere D wird unendlich sein, sodass wir tatsächlich direkt zum ultrarelativistischen Grenzwert wechseln können D k B T ≫ M . für jede endliche Temperatur.

In dieser Grenze haben wir ε ≈ D N k B T , P = N k B T , Wo N ist die Anzahldichte der Teilchen. Sie sehen dann, dass die Spur einfach ist T = N k B T und der thermische Beitrag zu R − R 0 fällt ab wie 1 / D .

Allerdings skaliert die Energie, die Sie benötigen, um das Gas auf diese Temperatur zu erhitzen D . Dh bei fester Menge an investierter thermischer Energie pro Partikel und bei festen Partikeldichten in Volumeneinheiten der Beitrag zu R − R 0 fällt von als 1 / D 2 .

Betrachten wir ein weiteres Beispiel für ein Gas bei Nulltemperatur ("Staub"), das wir haben P = 0 Und ε = M N . M N ist einfach die Ruheenergiedichte und ihr Beitrag dazu R − R 0 fällt ab wie 1 / D . Das heißt, man kann schlussfolgern, dass zumindest für ein ideales Gas und eine feste Energiemenge pro Volumeneinheit R − R 0 wird immer mindestens so schnell abfallen wie 1 / D .

Ehrlich gesagt ist es schwierig, intuitive Argumente dafür zu finden, denn das ist es sicherlich nicht R − R 0 → 0 bedeutet zwangsläufig geschwächte Schwerkraft. Dies liegt daran, dass die vollständigen Einstein-Gleichungen (mit einer geeigneten Skalierung der kosmologischen Konstante) immer noch auf sehr ähnliche Weise an Materie koppeln können. R − R 0 → 0 bedeutet einfach, dass sich der Charakter der Gravitation in großen Dimensionen zu einer Art konform gekoppelter Gravitation ändert. (Keine Überraschung, das wissen wir sogar in D = 5 Viele Dinge ändern sich im Vergleich zu D = 4 .)

Außerdem wäre ich noch sehr vorsichtig, was die Einschätzung anbelangt, dass großdimensionale Gravitation ausmacht R − R 0 verschwinden, ohne sich auf den Rahmen zu beziehen, in dem Sie arbeiten. Ein Grund dafür ist, dass Sie je nachdem, wie Sie Ihre höherdimensionale Schwerkraft mit der Realität in Beziehung setzen, möglicherweise a haben ∼ D Faktor, der in die Gravitationskonstante vor dem Spannungs-Energie-Tensor in den Einstein-Gleichungen eingebaut ist, um selbst mit der gröbsten Newtonschen Phänomenologie auf einer (effektiven/herausintegrierten/privilegierten) 4D-Hyperfläche, die unser Universum darstellt, übereinzustimmen.

Ich möchte darauf hinweisen, dass die kosmologische Konstante und die Feinstrukturkonstante Dimensionen haben, die davon abhängig sind D ( C Und ℏ nicht abhängen D und sind hier versteckt. Auch : Λ ∼ L − 2 unabhängig davon D ) :
G ∼ L D − 2 , a ∼ L D − 4 .
Daher ist es nicht verwunderlich, dass diese Konstanten a erhalten können D -Faktor in ihnen "versteckt". Das D -Abhängigkeit hat mich immer beeindruckt, und ich weiß nicht, was für eine "Metaphysik" wir daraus ableiten könnten.
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