Vakuum und abstoßende Schwerkraft

Die Einsteinschen Feldgleichungen sagen eigentlich überhaupt nichts über die Natur der Materie aus. Ihre Struktur besteht darin, dass sie ein bestimmtes Maß der Raumzeitkrümmung G mit dem Spannungsenergietensor T in Beziehung setzen:$G_{ab}=8\pi T_{ab}$. Der Spannungs-Energie-Tensor beschreibt jede vorhandene Materie; es ist Null in einem Vakuum. Trivialerweise können Sie beliebige Gleichungen aufschreiben, die eine beliebige Raumzeit beschreiben, die Sie sich ausgedacht haben, und dann können Sie durch Berechnen von G das T finden, das erforderlich ist, um die Existenz dieser Raumzeit zu ermöglichen. Dieses T kann jedoch Eigenschaften haben, die sich von denen jeder bekannten Art von Materie unterscheiden. T hat eine sehr spezifische Struktur für bestimmte Arten von Materie, wie elektromagnetische Strahlung oder "Staub" (was bedeutet, dass eine perfekte Flüssigkeit aus Teilchen besteht, die Geschwindigkeiten haben$\ll c$relativ zueinander). Es gibt verschiedene Vermutungen, sogenannte Energiebedingungen, darüber, welche Arten von Spannungs-Energie-Tensoren für realistische Arten von Materie physikalisch möglich sind. Sie haben Namen wie schwacher Energiezustand (WEC), starker Energiezustand (SEC) usw. Der WEC kommt einer Aussage gleich, dass die Energiedichte in keinem Bezugsrahmen negativ ist. Wenn es verletzt wurde, könnten Sie eine abstoßende Schwerkraft bekommen. Grundsätzlich ist bekannt, dass alle energetischen Bedingungen unter Umständen verletzt werden. Hier ist eine nette Diskussion darüber: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0205066

Die kosmologische Konstante wird manchmal als separater Term in den Einstein-Feldgleichungen verwendet, kann aber auch als eine Art Materie mit einem bestimmten Beitrag zum Spannungs-Energie-Tensor behandelt werden. Eine Raumzeit mit nur einer kosmologischen Konstante und nichts anderem darin verletzt verschiedene Energiebedingungen.

Wir brauchen eine klare operative Bedeutung dessen, was es bedeutet, dass die Schwerkraft „abstoßend“ ist. Wenn wir zu naiv darüber nachdenken ... sagt ein entfernter Beobachter in der Schwarzschild-Raumzeit, der eine Teilchenumlaufbahn betrachtet, für die Schwarzschild-Zeit$t$hat eine klare operative Bedeutung und Schwarzschild-Radialkoordinate$r$ist gut genug. Kann die Umlaufbahn positiv haben$d^2r/dt^2$, dh eher nach außen als nach innen beschleunigen? Ja, absolut: Tatsächlich muss es so sein, denn in diesen Koordinaten erreicht ein radial frei fallendes Teilchen niemals den Horizont.

Aber das ist einfach pervers. Lassen Sie uns nach einer lokalen operationalen Definition suchen. Nehmen Sie zum Beispiel eine kleine (nahe beieinander liegende) Ansammlung von sich mitbewegenden Testpartikeln mit vier Geschwindigkeiten$u$, und sehen, was sie tun. Ihre geodätische Abweichung ist durch den Riemann-Krümmungstensor gegeben, und wenn wir eine kleine Volumenkugel haben$V$, Dann

$$\lim_{V\to 0}\frac{\ddot{V}}{V}\vert_{t=0} = -R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu} u^\mu u^\nu,$$ und dieser kontrahierte Riemann-Tensor ist die Ricci-Krümmung $R_{\mu\nu}$. Somit ist das anziehende oder abstoßende Verhalten des Testpartikelballs durch die Ricci-Krümmung gegeben.

Werfen Sie einen Blick auf die starke Energiebedingung: für jeden zukunftsweisenden zeitähnlichen Vektor$u$,

$$\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right)u^\mu u^\nu \geq 0.$$ Es ist nicht sofort ersichtlich, was das eigentlich bedeutet, aber die Kontraktion der Einstein-Feldgleichung $R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$bekommt dich $R - \frac{1}{2}Rg^\mu{}_\mu = 8\pi T$, dh, $R = -8\pi T$: Der Ricci-Skalar ist nur die negative Spur des Spannungs-Energie-Tensors bis auf eine Konstante. Rücksubstitution in die Feldgleichung und voila: $$R_{\mu\nu} = 8\pi\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right),$$ also sagt die SEC das nur $R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \geq 0$.

Schlussfolgerung: Für diese vernünftige lokale Vorstellung davon, was es bedeutet, dass die Schwerkraft anziehend/abstoßend ist, ist die Schwerkraft nicht abstoßend, wenn und nur wenn die Bedingung der starken Energie gilt .

Bei einer perfekten Flüssigkeit$T^{\mu\nu} = (\rho+p)u^\mu u^\nu + pg^{\mu\nu}$, so dass$T = T^\mu{}_\mu = -\rho + 3p$. Aus dem Rahmen, der sich mit der Flüssigkeit bewegt, ergibt sich eine Substitution$\rho + 3p\geq 0$. Auf der anderen Seite nähert man sich einem lichtähnlichen$u$in einer der Raumrichtungen ergibt$\rho + p\geq 0$, wobei dieser Schritt durch Kontinuität gerechtfertigt ist.

Da die Einstein-Feldgleichung mit einer kosmologischen Konstante einfach a hinzufügt$\Lambda g_{\mu\nu}$gegenüber dem Spannungs-Energie-Tensor entspricht es einer perfekten Flüssigkeit mit Dichte$\rho = \Lambda/8\pi$und Druck$p = -\Lambda/8\pi$. Daher brauchen wir eine positive Vakuumenergiedichte, um die SEC zu brechen.

Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie bewegen sich kleine Testpartikel auf Geodäten . Eine Geodäte ist eine Verallgemeinerung einer geraden Linie (z. B. auf einer gekrümmten Oberfläche wie einem Fußball). Die Geodäten werden durch die Metrik bestimmt$g_{\mu \nu}$.

Die Einstein-Gleichung ist$G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}$.

$G_{\mu \nu}$besteht aus der Metrik$g_{\mu \nu}$und seine Derivate.

$T_{\mu \nu}$ist Materie und hat spezifische Formen, je nachdem, welche Materie vorhanden ist, wie Staub, Strahlung oder Lambda. Sie können sich vorstellen$T_{\mu \nu}$als Eingabe für das Problem, wie ein schwerer Stern, der im Zentrum des leeren Raums sitzt.

Aufgrund der konkreten Form von$G_{\mu \nu}$wie von Einstein niedergeschrieben, wenn man die Gleichung für Staub oder Strahlung löst,$g_{\mu \nu}$wird so sein, dass Testpartikel scheinbar von der durch beschriebenen Materie angezogen werden$T_{\mu \nu}$. Bei einem schweren Stern, der in der Mitte des leeren Raums sitzt, beugt sich die Geodäte von Testteilchen, die von sehr weit entfernt kommen, in Richtung des schweren Sterns. Diese Lösung ist eigentlich berühmt dafür, die erste explizite Lösung eines Problems im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie zu sein, und wird nach Karl Schwarzschild Schwarzschild-Lösung oder Schwarzschild-Metrik genannt.