Die kosmologische Konstante als Lagrange-Multiplikator?

Question

Die kosmologische Konstante als Lagrange-Multiplikator?

Aktion
Schwere
Physik
Kosmologie
generelle Relativität
kosmologische Konstante

Cham

Die kosmologische Konstante $\Lambda$ kann wie folgt in die Gravitationswirkung eingeführt werden:

S = \frac{1}{2 κ} \int_{Ω} (R - 2 Λ) \sqrt{- g} d^{4} x + Materie Begriffe .

$\begin{equation} S = \frac{1}{2 \kappa} \int_{\Omega} (R - 2 \Lambda) \sqrt{-g} \; d^4 x + \text{matter terms}. \end{equation}$ Die Raumzeitregion

Ω

$\Omega$ ist hier willkürlich. Nun, was mich erstaunt, ist, dass wir das auch schreiben können:

\begin{matrix} (1) & - \frac{Λ}{8 π G} \int_{Ω} \sqrt{- g} d^{4} x = - \frac{Λ v_{4}}{8 π G}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} -\: \frac{\Lambda}{8 \pi G} \int_{\Omega} \sqrt{-g} \; d^4 x = -\: \frac{\Lambda \, \mathcal{V}_4}{8 \pi G}, \end{equation}$ wo

V_{4}

$\mathcal{V}_4$ ist das 4-Volumen der Raumzeitregion

Ω

$\Omega$ . Also die kosmologische Konstante

Λ

$\Lambda$ kann als konjugierte "Variable" interpretiert werden

V_{4}

$\mathcal{V}_4$ , und als Lagrange-Multiplikator, der einer 4-Volumen-Einschränkung zugeordnet ist. Das könnten wir seither vermuten

V_{4}

$\mathcal{V}_4$ sollte sehr groß sein und die Aktion

S

$S$ "angemessen", dann

Λ

$\Lambda$ sollte klein sein. Meine Intuition sagt mir, dass es eine Gleichung wie diese geben sollte:

\begin{matrix} (2) & Λ v_{4} \sim Λ_{max} v_{Mindest}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \Lambda \, \mathcal{V}_4 \sim \Lambda_{\text{max}} \mathcal{V}_{\text{min}}, \end{equation}$ wo

V_{min}

$\mathcal{V}_{\text{min}}$ ist das kleinste physikalisch sinnvolle 4-Volumen;

V_{min} \approx ℓ_{P}^{4}

$\mathcal{V}_{\text{min}} \approx \ell_{\text{P}}^4$ (

ℓ_{P}

$\ell_{\text{P}}$ ist die Planck-Länge) und

Λ_{max} \approx ℓ_{P}^{- 2}

$\Lambda_{\text{max}} \approx \ell_{\text{P}}^{-2}$ ist der "natürliche" Wert, der mit dem Quantenvakuum verbunden ist. Wir bekommen dann

\begin{matrix} (3) & Λ \sim \frac{ℓ_{P}^{2}}{v_{4}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \Lambda \sim \frac{\ell_{\text{P}}^2}{\mathcal{V}_4}, \end{equation}$ das ist also sehr klein. Die Beziehung

Λ V_{4} \approx ℓ_{P}^{2} \propto ℏ

$\Lambda \, \mathcal{V}_4 \approx \ell_{\text{P}}^2 \propto \hbar$ ist auch einer Heisenbergschen Unschärferelation ähnlich;

Δ t Δ E \geq ℏ

$\Delta t \, \Delta E \ge \hbar$ , was nicht verwunderlich ist, da die kosmologische Konstante auf der Ebene der Aktion eingeführt wird!

Können wir die vorherige Idee "rigoroser" machen? Ist es sinnvoll zu interpretieren $\Lambda$ als Lagrange-Multiplikator, verbunden mit einem eingeschränkten 4-Volumen, das in die Handlung eingeführt wird?

Wenn das Universum räumlich geschlossen ist ( $k = 1$ ) und auch rechtzeitig geschlossen (insbesondere wenn $\Lambda$ negativ), dann wäre das 4-Volumen des gesamten Universums endlich.

Irgendeine Meinung dazu?

Cham

Ich habe gerade eine Webseite mit einer Beschreibung gefunden, die der oben gezeigten sehr ähnlich ist: ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept02/Padmanabhan/Pad7.html . Mehr Details zu dieser Sichtweise auf die kosmologische Konstante als Lagrange-Multiplikator gibt es leider nicht.

Alexander Nelson

Man könnte daran interessiert sein, Anhang X.7 in Zees Einstein Gravity in a Nutshell zu lesen, der arXiv:gr-qc/0505104 und arXiv:0711.3170 zitiert .

William J. Cunningham

Dies ist ein zentraler Bestandteil des kausalen Set-Ansatzes zur Quantengravitation, siehe arxiv.org/pdf/0706.0041.pdf neben anderen Referenzen

Antworten (1)

Die kosmologische Konstante als Lagrange-Multiplikator?

Ich habe gerade eine Webseite mit einer Beschreibung gefunden, die der oben gezeigten sehr ähnlich ist: ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept02/Padmanabhan/Pad7.html . Mehr Details zu dieser Sichtweise auf die kosmologische Konstante als Lagrange-Multiplikator gibt es leider nicht.
Man könnte daran interessiert sein, Anhang X.7 in Zees Einstein Gravity in a Nutshell zu lesen, der arXiv:gr-qc/0505104 und arXiv:0711.3170 zitiert .
Dies ist ein zentraler Bestandteil des kausalen Set-Ansatzes zur Quantengravitation, siehe arxiv.org/pdf/0706.0041.pdf neben anderen Referenzen

Cham · Answer 1

Nur eine teilweise und naive "Antwort" unter Verwendung des Unsicherheitsprinzips.

Ein Beobachter macht eine Energiemessung in einem leeren Volumen $V_3$ während eines Zeitintervalls $\Delta t$ . Nach der Heisenbergschen Unschärferelation erhält er eine Unschärfe $\Delta E$ zur Energiemessung:

\begin{aligned} Δ t Δ E & \approx Δ t ρ_{vac} Δ v_{3} \\ = Δ t \frac{Λ c^{4}}{8 π G} Δ v_{3} \\ = \frac{Λ Δ v_{4} c^{3}}{8 π G} \geq \frac{ℏ}{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \Delta t \; \Delta E &\approx \Delta t \; \rho_{\text{vac}} \, \Delta V_3 \\[12pt] &= \Delta t \; \frac{\Lambda \, c^4}{8 \pi G} \; \Delta V_3 \\[12pt] &= \frac{\Lambda \; \Delta\mathcal{V}_4 \; c^3}{8 \pi G} \ge \frac{\hbar}{2}, \end{align}$ wo ich die Ungewissheit auf 4-Volumen der Raumzeitregion eingefügt habe, die der Beobachter studiert;

Δ V_{4} = c Δ t Δ V_{3}

$\Delta\mathcal{V}_4 = c \, \Delta t \; \Delta V_3$ . Daher

\begin{matrix} (1) & Λ Δ v_{4} \geq 4 π ℓ_{P}^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \Lambda \; \Delta \mathcal{V}_4 \ge 4 \pi \, \ell_{\text{P}}^2. \end{equation}$ Anscheinend die kosmologische Konstante

Λ

$\Lambda$ hängt von der Größe des abgetasteten Raumzeitbereichs ab. Das ist seltsam!

Wir könnten das Ergebnis auch umkehren und sagen, dass bei einem gewissen experimentellen Wert von $\Lambda$ , dann hätte der für jeden Beobachter zugängliche Teil der Raumzeit eine durch eingeschränkte Unsicherheit

\begin{matrix} (2) & Δ v_{4} \geq \frac{4 π ℓ_{P}^{2}}{Λ_{exp}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \Delta\mathcal{V}_4 \ge \frac{4 \pi \, \ell_{\text{P}}^2}{\Lambda_{\text{exp}}}. \end{equation}$ Die Planck-Länge ist

ℓ_{P} \approx 1.6 \times 10^{- 35} m

$\ell_{\text{P}} \approx 1.6 \times 10^{-35} \text{m}$ . Der aktuelle Wert der kosmologischen Konstante ist

Λ_{exp} \sim 10^{- 52} m^{- 2}

$\Lambda_{\text{exp}} \sim 10^{-52} \text{m}^{-2}$ , was die kleinste Unsicherheit auf dem 4-Band ergibt:

\begin{matrix} (3) & Δ v_{4 Mindest} \sim 3 \times 10^{- 17} m^{4} \sim (0,0757 mm)^{4} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \Delta \mathcal{V}_{4 \, \text{min}} \sim 3 \times 10^{-17} \text{m}^4 \sim (0.0757 \text{mm})^4. \end{equation}$ (Anmerkung: Das 4-Volumen unseres beobachtbaren Universums ist

V_{4} = c Δ t V_{3} \sim (5 \times 10^{26} m)^{4}

$\mathcal{V}_4 = c \, \Delta t \; \mathcal{V}_3 \sim (5 \times 10^{26} \text{m})^4$ )

Das Problem mit dieser "Antwort" ist, dass sie nicht sagt, warum $\Lambda$ könnte als Lagrange-Multiplikator interpretiert werden, der zur Gesamtwirkung des Universums addiert wird.

Es gibt einen Fehler in der obigen Argumentation: die Lautstärke $V_3$ und 4 Bände $\mathcal{V}_4$ sollten durch ihre Unsicherheiten ersetzt werden ; $\Delta V_3$ und $\Delta \mathcal{V}_4$ , beziehungsweise. Dann ist die $\Delta\mathcal{V}_4 \sim 10^{-17} \text{m}^4$ macht eigentlich Sinn! Die Änderungen nehme ich später vor.

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Cham

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