Schwerkraft im 2D-Raum und umgekehrtes lineares Gesetz

Die Frage stellt gleichzeitig sowohl die Newton-Schwerkraft (NG) als auch die Einstein-Schwerkraft / Allgemeine Relativitätstheorie (GR), die zwei verschiedene Theorien sind.

1. Für die Newton-Schwerkraft (NG) in 2+1D ist die Gravitationskraft umgekehrt proportional zur Entfernung. Allgemeiner, in$n$räumliche Dimensionen, dann die Gravitationskraft$F\propto r^{1-n}$. Dies liegt am Gauß'schen Gesetz, weil es eine Gaußsche Fläche ist$n-1$dimensional. Die Coulomb-Kraft in der Elektrostatik wird eine ähnliche radiale Abhängigkeit haben, da auch sie dem Gesetz von Gauß gehorchen muss.

2. Die Einstein-Schwerkraft in 2+1D ist eine topologische Feldtheorie . Das linearisierte EFE ist ohne propagierende physikalische Freiheitsgrade. Das schließt zB gravistatische Effekte aufgrund konischer Singularitäten nicht aus .

3. In 3+1D Newton Gravitation (NG) kann von GR in einer geeigneten Grenze abgeleitet werden, siehe zB Methoden, die in diesem Phys.SE-Beitrag verwendet werden. In 2+1D hat GR keine Newtonsche Grenze für die kosmologische Konstante Null$\Lambda=0$. Für negative kosmologische Konstante$\Lambda<0$, gibt es BTZ-Schwarze Löcher in 2+1D.

In Elektrostatik kann man schreiben$F=qQ/(4\pi\epsilon_0 r^2)$in 3D, oder als$\vec\nabla \cdot \vec E = \rho/\epsilon_0$Und$\vec F=q\vec E.$Und die späteren verallgemeinern zu 2d als a$1/r$Gewalt.

In Newtonscher Gravitation kann man schreiben$F=mMG/r^2$in 3D, oder als$\vec\nabla \cdot \vec C = \rho 4\pi$Und$\vec F=m\vec C.$Und die späteren verallgemeinern zu 2d als a$1/r$Gewalt.

Aber Sie können einwenden und sagen, dass dies kein Elektromagnetismus ist, schließlich ist Elektromagnetismus mehr als Elektrostatik. In n=4=3+1 Raumzeitdimensionen kann man sich ein n-Vektorpotential vorstellen$A$und seine äußere Ableitung ist das elektromagnetische Feld, und die$n(n-1)/2$Komponenten des elektromagnetischen Feldes zerfallen nur in einer 3+1 dimensionalen Raumzeit in zwei (n-1)-Vektorfelder (bezogen auf ein Bezugssystem). Sie können es immer noch in einen relativen (n-1)-Vektor und einen relativen (n-1)-Bivektor zerlegen, der von a stammt$(n-1)(n-2)/2$dimensionaler Raum.

Ebenso kann man sagen, dass Schwerkraft mehr als a ist$1/r^2$Gewalt. Was Sie haben, ist gekrümmte Raumzeit. Und Sie können verschiedene Arten von Krümmungen haben. Sie können die Art der Krümmung im Vakuum um einen Stern der Masse M haben. Sie können die Art der Krümmung im Vakuum um einen Stern der Masse m herum haben.

Und Sie können sie entlang einer kugelförmigen Fläche zusammennähen$4\pi R^2.$Und wenn Sie die Außenseite des nähen$M$Lösung zum inneren Teil der Masse$m$Lösung u$M>m$dann ist das genau wie etwas Energie von Energie$(M-m)c^2$kann zwei Lösungen zusammennähen. Dies ist, was Energie in der allgemeinen Relativitätstheorie tut, es braucht zwei Regionen, die normalerweise wie Vakuumkrümmungen sein können, und näht sie zusammen. Und so wird die Krümmung in der allgemeinen Relativitätstheorie stark, wenn Materie kollabiert, die äußere Region, die die hat$M$Typ Krümmung erstreckt sich tiefer in Richtung des Zentrums des sich bildenden Sterns oder Planeten. Und diese Art von Krümmung wird näher hinein stärker. Daher hinterlässt die kollabierende Materie eine stärkere Krümmung außerhalb, da die Schnittstelle zwischen den beiden Krümmungsarten an einer neuen Stelle endet.

Dies ist ähnlich wie beim Elektromagnetismus, bei dem ein radiales elektrisches Feld außerhalb eines Leiters in ein Nullfeld im Inneren übergeht. Beide sind Vakuumlösungen, und die Ladung auf der Oberfläche ermöglicht es Ihnen, sie zusammenzunähen.

Aber erinnern Sie sich, wie wir die vereinfachte elektrostatische Kraft durch ein vollständiges elektromagnetisches Feld ersetzt haben, das die äußere Ableitung eines skalaren Potentials war? Und dann war dies ein völlig anderes Tier in anderen Dimensionen?

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die gekrümmte Raumzeit das Fundamentale. (Genauso wie das elektromagnetische Feld die grundlegende Sache im Elektromagnetismus war.) Und alles, was diese Quellen bewirken, ist, welche Lösungen zusammengenäht werden können. (Genauso wie Ladungen und Strom elektromagnetische Felder auseinanderlaufen lassen und sich anders entwickeln, als sie es sonst könnten.)

So wie wir unser Vektorpotential ändern mussten und plötzlich das Magnetfeld ein Skalarfeld war, haben Sie ganz andere Vakuumlösungen, mit denen Sie arbeiten können. Die Dinge, die die Quellen zusammennähen sollen, sind unterschiedlich. In den Dimensionen 1 + 1 und 2 + 1 sind die Vakuum-Raumzeiten flach, sodass es keine Dinge mehr gibt, die zusammengenäht werden müssen, sodass Materie nur irgendwo eine Krümmung haben kann, sodass Sie keine Krümmung zurücklassen können, wenn etwas zusammenbricht.